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浙教版2026-2027学年七年级上数学第3章实数 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
2． 8的立方根为(　　)
A．±2 B．2 C．±4 D．4
3．“16的算术平方根是4”，用数学式子表达为（　　）
A． B． C． D．
4．下列四个实数中，比-2大的无理数是(　　)
A．0 B．- 1 C． D．- 5
5．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（　　）
A．1 B． C．1或 D．1、或0
6．如果一个正方形的面积等于5，则这个正方形的边长为（　　）
A．2.5 B． C． D．
7．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（　　）
A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定
9．数轴上的点 A，B分别对应的数为 和 则A，B之间的距离为 (　　)
A．3 B． C． D．
10．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（　　）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．的立方根等于　 　.
12．4的算术平方根为　 　。
13．计算： 　 　．
14．比较大小：4　 　（填“”“”或“”）．
15．已知： 则 　 　．
16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是　 　
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1） （2）
18．把下列各数填入相应的集合内：
3.14， ，- 7， ， ， ，- π，0.7777…
（1）有理数集合： {　 　}
（2）无理数集合： {　 　}
（3）正实数集合： {　 　}
（4）负实数集合： {　 　}
19．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400㎡的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3.
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用 试利用所学知识说明理由.
20．已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
21．已知：实数 a，b满足
（1）可得 a=　 　， b=　 　 ；
（2）若一个正实数 m的两个平方根分别是 2x+a和 b-x，求 x和 m的值.
22．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是　 　；
（2）的二级近似值是　 　；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
23．阅读下面的文字，解答问题．
新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．
请解答下列问题：
（1）的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______；
（2）若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”．
24．【阅读理解】如图①，有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
（1）【拓展探究】因此，我们得到了一种能在数轴上画出无理数所对应的点的方法．如图②，将边长为1的正方形的一个顶点与数轴上的原点重合放置．则数轴上A，B两点表示的数分别为__________．
（2）某同学把长为2、宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图③所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法，求出小正方形的面积及小正方形的边长的值．
（3）若某数的两个平方根分别是和的立方根是2，c为（2）中小正方形边长的整数部分，请计算的平方根．
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浙教版2026-2027学年七年级上数学第3章实数 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．下列各数中，是有理数的是（　　）
A．π B． C． D．
【答案】D
【解析】∵是无限不循环小数，属于无理数，故A不符合题意；
∵是开方开不尽的数，属于无理数，故B不符合题意；
∵是开立方开不尽的数，属于无理数，故C不符合题意；
∵是分数，属于有理数，故D符合题意。
故答案为：D
2． 8的立方根为(　　)
A．±2 B．2 C．±4 D．4
【答案】B
【解析】∵，
∴8的立方根为2，
故选：B．
3．“16的算术平方根是4”，用数学式子表达为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵16的算术平方根是4，
∴，
故选：B．
4．下列四个实数中，比-2大的无理数是(　　)
A．0 B．- 1 C． D．- 5
【答案】C
【解析】，
是无理数
故答案为：C .
5．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（　　）
A．1 B． C．1或 D．1、或0
【答案】D
【解析】∵，，，
∴立方等于它本身数有：1、或0，
故答案为：D．
6．如果一个正方形的面积等于5，则这个正方形的边长为（　　）
A．2.5 B． C． D．
【答案】C
【解析】这个正方形的边长为
故答案为：C .
7．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵=====3.
故答案为：B .
8．对于实数，小丁说：“有平方根．”小张说：“不一定有平方根．”小刘说：“一定有平方根．”他们中说法正确的是（　　）
A．小丁和小刘 B．小丁和小张 C．小张和小刘 D．不能确定
【答案】C
【解析】当时，没有平方根，小丁说法错误；
当为正数时，没有平方根，小张说法正确；
因为，所以一定有平方根，小刘说法正确；
故选：C．
9．数轴上的点 A，B分别对应的数为 和 则A，B之间的距离为 (　　)
A．3 B． C． D．
【答案】A
【解析】A、B之间的距离为： .
故答案为：A.
10．若用表示任意正实数的整数部分，例如：，，，则式子的值为（　　）（式子中的“”，“”依次相间）
A．22 B． C．23 D．
【答案】C
【解析】，，与之间共有个数，
，，与之间共有个数，
，，与之间共有个数，
，
，，
与之间共有个数，
．
故选C．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．的立方根等于　 　.
【答案】
【解析】的立方根为．
故答案为：.
12．4的算术平方根为　 　。
【答案】2
【解析】由于，且
则4的算术平方根是2．
故答案为：2．
13．计算： 　 　．
【答案】0
【解析】原式：=2-2=0，
故答案为：0.
14．比较大小：4　 　（填“”“”或“”）．
【答案】
【解析】∵4=，16＜18，
∴4＜
故答案为：＜。
15．已知： 则 　 　．
【答案】0.1536；485.5
【解析】∵
∴，
故答案为：0.1536；485.5.
16．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为2，4，4，其面积介于整数和之间，那么的值是　 　
【答案】3
【解析】由题意得，，
，
，介于整数和之间，
，
故答案为：3．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）（2）
【答案】（1）解：原式=-1
（2）解：
18．把下列各数填入相应的集合内：
3.14， ，- 7， ， ， ，- π，0.7777…
（1）有理数集合： {　 　}
（2）无理数集合： {　 　}
（3）正实数集合： {　 　}
（4）负实数集合： {　 　}
【解析】∵，，
（1）有理数集合：｛，，，，，｝
（2）无理数集合：｛，｝
（3）正实数集合：｛，，，，｝
（4）负实数集合：｛，，｝
故答案为：3.14， - 7，，， ， 0.7777…； ，- π；3.14，，， ， 0.7777…；.
19．某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，该投资商为减少固定资产投资，将原来400㎡的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的比为5：3.
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否够用 试利用所学知识说明理由.
【答案】（1）解：∵正方形的面积为400m2，
∴正方形的边长为20m，
∴正方形的周长为20×4=80m，
答：原来正方形的周长为80m；
（2）解：这些铁栅栏够用，理由如下：
∵ 长方形场地的长、宽的比为5：3，
∴设长方形的长为5xm，宽为3xm，
∵长方形的面积为315m2，
∴，
∴，
由边长的实际意义，得，
∴长为m，宽为m，
∴长方形的周长为：
，
，
∴这些铁栅栏够用.
20．已知的算术平方根是，的立方根是，是的整数部分．
（1）求的小数部分；
（2）求的平方根．
【答案】（1）解：∵，，
即，
，
，
的整数部分为，
∴的小数部分为；
（2）解：由（）可得，的整数部分为，∴，
∵的算术平方根是，
∴，
解得，
∵的立方根是，
∴ ，
∴，
解得，
∴，
∴的平方根为．
21．已知：实数 a，b满足
（1）可得 a=　 　， b=　 　 ；
（2）若一个正实数 m的两个平方根分别是 2x+a和 b-x，求 x和 m的值.
【答案】（1）-2；3
（2）解：由题意可得：，
∴．
∵，，
∴，
∵
∴
【解析】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，3．
22．阅读与思考
下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应任务.
X年X月X日 星期日 求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法 今天，我在一本书中看到了一种求非完全平方的整数的平方根的近似值的方法. 这种方法如下： 若 n=ab(在各组乘积为 n 的正整数中，a，b 两数最接近)，则的最初近似值为 若m1是的最初近似值，则的二级近似值 的三级近似值 例如： ∵24=1×24=2×12=3×8=4×6， 4， 6最接近， 的最初近似值为 的二级近似值为 的三级近似值为．
任务：
（1）的最初近似值是　 　；
（2）的二级近似值是　 　；
（3）若 的最初近似值是 二级近似值是 求n的值.
【答案】（1）4（2）（3）解：设，
最初近似值，
得，二级近似值，
解得，．
【解析】（1），
与最接近，
的最初近似值为；
故答案为：4；
（2）解：，
和最接近，
最初近似值，
的二级近似值是，
故答案为：；
23．阅读下面的文字，解答问题．
新定义：若无理数的被开方数T（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“阳光区间”为；同理规定无理数的“阳光区间”为．例如：因为，所以，所以的“阳光区间”为，的“阳光区间”为．
请解答下列问题：
（1）的“阳光区间”是______；的“阳光区间”是______；
（2）若无理数（a为正整数）的“阳光区间”为，的“阳光区间”为，求的值；
（3）实数x，y，m满足关系式：，求m的算术平方根的“阳光区间”．
【答案】（1），
（2）解：∵无理数的“阳光区间”为，
∴，
∴，即，
∵的“阳光区间”为，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵a为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴的值为或3；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
两式相减，得，
∴，
∴m的算术平方根为，
∵，
∴，
∴m的算术平方根的“阳光区间”是．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴的“阳光区间”是，的“阳光区间”是；
故答案为：，
24．【阅读理解】如图①，有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边长就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
（1）【拓展探究】因此，我们得到了一种能在数轴上画出无理数所对应的点的方法．如图②，将边长为1的正方形的一个顶点与数轴上的原点重合放置．则数轴上A，B两点表示的数分别为__________．
（2）某同学把长为2、宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图③所示的一个大正方形．请同学们仿照上面的探究方法，求出小正方形的面积及小正方形的边长的值．
（3）若某数的两个平方根分别是和的立方根是2，c为（2）中小正方形边长的整数部分，请计算的平方根．
【答案】（1）
（2）解：大正方形的面积为：，四个三角形的面积为：，
∴中心小正方形的面积为：，
∴小正方形的边长为：；
（3）解：∵某数的两个平方根分别是和的立方根是 2 ，，
，
∵ c为（2）中小正方形边长的整数部分，，
，
，
的平方根为．
【解析】（1）解：根据边长为 1 的正方形的对角线长为，可知，
则数轴上A，B两点表示的数分别为，
故答案为：；
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