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浙教版2026-2027学年七年级上数学第2章有理数的运算 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．计算5+(-2)的结果等于(　　)
A．– 7 B．7 C．– 3 D．3
【答案】D
【解析】．
故答案为：3.
2．－5的倒数是（　　）
A．－5 B．5 C．－ D．
【答案】C
【解析】-5的倒数是-，
故选：C．
3．在数3、、0、中，与的和为0的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．
【答案】A
【解析】∵互为相反数的两个数的和为0，
∴与的和为0的数是3．
故选：A
4．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在 200000000 吨以上，将 200000000 用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】．
故答案为：B.
5．下列说法正确的是(　　)
A．0除以任何一个不等于0的数都得0
B．任何数除以0都得0
C．除以－等于乘2
D．两数相除所得的商就是这两个数的绝对值相除所得的商
【答案】A
【解析】A，0除以任何一个不等于0的数都得0，正确；B，因为0不能做除数，错误；
C，除以－等于乘-2，错误；D，两数相除，同号得正、异号得负，再将两数绝对值相除，表述错误．
故答案为：A．
6．计算的结果是（ ）
A． B．7 C． D．
【答案】C
【解析】，
故答案为：C．
7．如果有理数x，y满足|x-1|+|y+3|=0，那么x+y等于 （　　)
A．4 B．-4 C．2 D．-2
【答案】D
【解析】∵|x 1|＋|y＋3|＝0，
又∵|x 1|≥0，|y＋3|≥0，
∴x 1＝0，y＋3＝0，
解得x＝1，y＝ 3，
∴x＋y＝1＋（ 3）＝ （3 1）＝ 2．
故答案为：D.
8．算式之值介于下列哪两个数之间？(　　)
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】原式=2.45×98.7-(-0.55)×98.7
=2.45×98.7+0.55×98.7
=(2.45+0.55)×98.7
=3×98.7
=296.1，
∴算式2.45×98.7-(-0.55)×98.7之值介于250与300两个数之间.
故选： C.
9．下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都相等，则下列方格中数字能被确定是（　　）
A B C D E F G H I -5 J K
A．A B．E C．K D．以上都不能
【答案】A
【解析】设任意相邻三个数的和为，
∵，，
∴，
∴，
同理，，，，，
∴，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
即的值可确定，
∵，，、的值无法确定，
∴、不能确定．
故答案为：A.
10．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论：
①2026是“快乐数”；
②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”；
③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数”
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】①∵，，，，，
∴2026是“快乐数”，故①正确；
②设A是“快乐数”，B是A的数字重排序（最高位非0），
∴中各个位数的平方和与中各个位数的平方和相等，
∴对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作时，对和进行计算，得到的第一个新数相同，故后面所有重复操作得到结果都一样，
若A是“快乐数”，则重复操作最后计算结果为1，同理重复操作最后计算结果也为1，
∴也是“快乐数”，故②正确；
③设正整数为，各位数字的平方和为，
对于一个正整数，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，
∴相当于是正整数在判断是否为“快乐数”的第一步，若为“快乐数”，则还原可得到也为“快乐数”．
∴①②③正确．
故答案为：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：　 　．
【答案】8
【解析】原式．
故答案为：8．
12． 近似数3.60万精确到　 　位．
【答案】百
【解析】近似数3.60万精确到百位.
故答案为：百.
13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd的值　 　.
【答案】1
【解析】∵a，b互为相反数，∴a+b=0．
∵c，d互为倒数，∴cd=1．∴a+b+cd=0+1=1．
故答案为：1.
14． ， ， ， ， ，则　 　.
【答案】0 或-2
【解析】
或a=-1，b=2，
又∵
故当a=-1时，a+b+c=-1+2+(-3)=-2；
当a=1时，a+b+c=1+2+(-3)=0.
故答案为：0或-2.
15．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是　 　
【答案】120
【解析】要使抽取的3张卡片数字积最大，需利用“负负得正”的规则，优先选择绝对值大的负数与正数组合：
从卡片、、、、中，选择、、，其积为：
．
故答案为：120．
16．已知数轴上点，的位置如图所示，点表示的有理数为，点表示的有理数为，，则比大的最小整数为　 　．
【答案】
【解析】如图所示，，
∴，
∵，
∴，
比大的最小整数为．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式．
18．洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路：
思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 =
（1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算；
（2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算．
【答案】（1）解：原式；
（2）解：原式．
19．国家倡导全民阅读，小慧同学坚持阅读，她每天以阅读分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．她最近从周一到周日的阅读情况记录依次为（单位：分钟）：，，，，，，．请回答下列问题：
（1）小慧哪一天阅读时间最长，阅读了多少分钟？
（2）小慧这周平均每天阅读的时间是多少分钟？
【答案】（1）解：星期六阅读时间最长，
阅读了（分钟）
答：小慧星期六阅读时间最长，阅读了分钟；
（2）解：平均每天阅读的时间是（分钟），
答：小慧这周平均每天阅读的时间是分钟．
20．若定义一种新的运算“★”，规定有理数a★b=4ab，例如：2★3=4×2×3=24.求：
（1）3★(-4)的值.
（2） 的值.
（3）新运算a★b=4ab是否满足乘法交换律 并说明理由.
【答案】（1）解：3★(-4)=4×3×(-4)=-48.
（2）解：72=-480.
（3）解：新运算a★b=4ab满足乘法交换律.
理由如下：
因为a★b=4ab，b★a=4ba，
所以a★b=b★a，
所以新运算a★b=4ab满足乘法交换律.
21．小明有张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：
（1）从中取出张卡片，如何抽取能使这张卡片上的数字相除的商最小求出最小的商
（2）从中取出张卡片，如何抽取能使这张卡片上的数字的乘积最大求出最大的积．
【答案】（1）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，应抽取和1，这2张卡片上的数字相除的商最小，
最小的商为；
（2）解：取出3张卡片，能使这3张卡片上的数字乘积最大，应抽取、、，这3张卡片上的数字乘积最大，最大乘积为．
22．老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题：
原式的倒数为，所以．
（1）请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性；
（2）由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________；
（3）请你运用小明的解法计算：．
【答案】（1）解：=（）÷（）=×（-2）=，
由此可知，小明的解法正确.
（2）这个数
（3）解：原式的倒数==×24==8-4+9=13，
∴原式=.
【解析】（2）根据题意可知：一个数的倒数的倒数等于这个数，
故答案为：这个数；
23．概念学习
规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2+2写作2③，读作“2的3次商”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）写作（-3）④，读作“-3的4次商”，一般地，把写作an，读作“a的n次商”.
初步探究
（1）直接写出计算结果：5②　 　，　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是 　 　（只有一个正确答案）.
A.当m≠0时，
B.当m≠0时，
C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数
D. n次商等于它本身的数是1
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢
除方→乘方（幂）的形式
（3）归纳：请把有理数a的n次商（a≠0，n≥3），写成乘方（幂）的形式为：　 　；
（4）比较：　 　；（填“>”“<”或“=”）
（5）计算：
【答案】（1）1；-；
（2）C
（3）（）n-2；
（4）=
（5）解：
=12+（-）6-2÷25-2×4-（-48）÷44-2
=12+÷8×4-（-48）÷16
=12++3
=15.
【解析】（1） 5② =5 ÷5=1；=（-）÷（-）÷（-）=-××=-；
故第1空答案为：1；第2空答案为：-；
（2）A： 当m≠0时，，所以A正确；
B：当m≠0时，，所以B正确；
C：正数的n次商结果是正数，负数的偶次商结果是正数，负数的奇次商结果是负数，所以C错误；
D： n次商等于它本身的数是1 ，所以D正确。
故答案为：C；
（3）a（n）=a÷a÷a÷a÷...÷a=a××××...×=（）n-2；
故答案为：（）n-2；
（4） ： =（-）8-2=；=（）5-2=；
所以=，
故答案为：=，
24．把几个数用大括号括起来， 中间用逗号隔开， 如： ，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素，如果一个集合满足：当有理数 是集合的元素时，有理数 也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为 "好的集合"，例如集合 就是一个 "好的集合"；集合 不是一个"好的集合"，因为 2 是该集合的元素，但 不是该集合的元素。
（1） 集合 　 　（填 "是" 或 "不是"）"好的集合"；
集合 　 　（填"是"或"不是"）"好的集合"；
（2）请你再写出两个好的集合，要求：①不得与上面出现过的集合重复；②一个集合中要有 5 个元素，另一个集合中要有 6 个元素；
有 5 个元素的集合： }；
有 6 个元素的集合： {
（3）在所有"好的集合"中， 元素个数最少的集合是{　 　
【答案】（1）不是；是
（2）解：∵14-1=13，14-2=12，14-7=7，14-12=2，14-13=1，
∴它们都在集合1，2，7，12，13}里，
∴有 5 个元素的集合为1，2，7，12，13}；
∵14-1=13，14-2=12，14-=3=11，14-11=3，14-12=2，14-13=1，
∴它们都在集合 {1，2，3，11，12，13里
∴有 6 个元素的集合： {1，2，3，11，12，13
（3）7
【解析】（1） ∵14-1=13，13不在集合 里，
∴集合 不是一个“好的集合”，
∵14-（-1）=15，14-1=13，14-15=-1，14-13=1，
∴15，13，-1，1都在集合
∴集合 是“好的集合”
故答案为：不是；是.
（3）∵设这个元素为x，
则14-x=x
解之：x=7.
∴元素个数最少的集合是.
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浙教版2026-2027学年七年级上数学第2章有理数的运算 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．计算5+(-2)的结果等于(　　)
A．– 7 B．7 C．– 3 D．3
2．－5的倒数是（　　）
A．－5 B．5 C．－ D．
3．在数3、、0、中，与的和为0的数是（　　）
A．3 B． C．0 D．
4．大米是我国居民最重要的主食之一，与此同时，我国也是世界上最大的大米生产国，水稻产量常年稳定在 200000000 吨以上，将 200000000 用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是(　　)
A．0除以任何一个不等于0的数都得0
B．任何数除以0都得0
C．除以－等于乘2
D．两数相除所得的商就是这两个数的绝对值相除所得的商
6．计算的结果是（ ）
A． B．7 C． D．
7．如果有理数x，y满足|x-1|+|y+3|=0，那么x+y等于 （　　)
A．4 B．-4 C．2 D．-2
8．算式之值介于下列哪两个数之间？(　　)
A．， B．， C．， D．，
9．下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都相等，则下列方格中数字能被确定是（　　）
A B C D E F G H I -5 J K
A．A B．E C．K D．以上都不能
10．对于一个正整数A，计算它各位数字的平方和，得到一个新数，再计算这个新数各位数字的平方和，不断重复同样的操作，如果在某一次计算之后得到1，就称最初的正整数A为“快乐数”、例如：7→49→97→130→10→1，所以7是“快乐数”．关于“快乐数”，有以下结论：
①2026是“快乐数”；
②将一个“快乐数”的各位数字任意重新排序，所得新数（最高位不是0）仍是“快乐数”；
③若一个正整数的各位数字的平方和是“快乐数”，则这个正整数也是“快乐数”
所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11．计算：　 　．
12． 近似数3.60万精确到　 　位．
13．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，则a+b+cd的值　 　.
14． ， ， ， ， ，则　 　.
15．如图，现有5张写着不同数字的卡片，请你从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的积最大，则积最大是　 　
16．已知数轴上点，的位置如图所示，点表示的有理数为，点表示的有理数为，，则比大的最小整数为　 　．
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．计算：
（1）； （2）； （3）．
18．洪洪在计算的过程中产生了如下两种简便计算思路：
思路一： 解：原式 思路二： 解：原式 =
（1）在思路一中的“□”内填上合适的数，并完成计算；
（2）在思路二中的“○”内填上“”“”、“×”、或“÷”中的一个运算符号，使得运算过程正确．并完成计算．
19．国家倡导全民阅读，小慧同学坚持阅读，她每天以阅读分钟为标准，超过的时间记作正数，不足的时间记作负数．她最近从周一到周日的阅读情况记录依次为（单位：分钟）：，，，，，，．请回答下列问题：
（1）小慧哪一天阅读时间最长，阅读了多少分钟？
（2）小慧这周平均每天阅读的时间是多少分钟？
20．若定义一种新的运算“★”，规定有理数a★b=4ab，例如：2★3=4×2×3=24.求：
（1）3★(-4)的值.
（2） 的值.
（3）新运算a★b=4ab是否满足乘法交换律 并说明理由.
21．小明有张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题：
（1）从中取出张卡片，如何抽取能使这张卡片上的数字相除的商最小求出最小的商
（2）从中取出张卡片，如何抽取能使这张卡片上的数字的乘积最大求出最大的积．
22．老师布置了一道思考题“计算：”，小明用了一种不同的方法解决了这个问题：
原式的倒数为，所以．
（1）请你用不同方法计算“”，验证小明的解法的正确性；
（2）由此可以得到结论：一个数的倒数的倒数等于________；
（3）请你运用小明的解法计算：．
23．概念学习
规定：求n个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2+2写作2③，读作“2的3次商”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）写作（-3）④，读作“-3的4次商”，一般地，把写作an，读作“a的n次商”.
初步探究
（1）直接写出计算结果：5②　 　，　 　；
（2）下列关于除方说法中，错误的是 　 　（只有一个正确答案）.
A.当m≠0时，
B.当m≠0时，
C.正数的n次商结果是正数，负数的n次商结果是负数
D. n次商等于它本身的数是1
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢
除方→乘方（幂）的形式
（3）归纳：请把有理数a的n次商（a≠0，n≥3），写成乘方（幂）的形式为：　 　；
（4）比较：　 　；（填“>”“<”或“=”）
（5）计算：
24．把几个数用大括号括起来， 中间用逗号隔开， 如： ，我们称之为集合，其中的数称为集合的元素，如果一个集合满足：当有理数 是集合的元素时，有理数 也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为 "好的集合"，例如集合 就是一个 "好的集合"；集合 不是一个"好的集合"，因为 2 是该集合的元素，但 不是该集合的元素。
（1） 集合 　 　（填 "是" 或 "不是"）"好的集合"；
集合 　 　（填"是"或"不是"）"好的集合"；
（2）请你再写出两个好的集合，要求：①不得与上面出现过的集合重复；②一个集合中要有 5 个元素，另一个集合中要有 6 个元素；
有 5 个元素的集合： }；
有 6 个元素的集合： {
（3）在所有"好的集合"中， 元素个数最少的集合是{　 　
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