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浙教版2026-2027学年九年级上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　)
A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．无法确定
2．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
（第2题） （第4题） （第5题） （第6题）
3．下列命题正确的是 (　　)
A．平分弦的直径平分弦所对的弧 B．垂直平分弦的直线必定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧一定相等 D．相等的弦所对的圆周角一定相等
4． 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 点E在BC延长线上， 若∠DCE=50°， 则∠BOD 等于(　　)
A．100° B．115° C．140° D．150°
5．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．20
6． 如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点 D，交AB于点 E，连结AD， CE相交于点 F.已知 CD=3，则AF的长为(　　)
A． B． C．6 D．8
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
9． 如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，直径AD 平分∠BAC 交BC 于点 E，EF⊥AB 于点F，EG⊥AC 于点G，连结 DF，DG，要求四边形AFDG 的面积，只需知道下列选项中某个三角形的面积，则这个三角形是 (　　)
A．△AEG B．△BEF C．△ABC D．△DEG
10．如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将弧AC绕着点A按逆时针方向旋转得到弧AD，点D恰好落在⊙O上，弧AD与AB相交于点E，若OE=BE=2，则BC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，AB 是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD=8，弦CD 与直径 AB 之间的距离为3，则AB= .
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，DE是⊙O 的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°.
13．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　．
14．如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与交于点E，EF⊥OB于点F.若OD=OF=1，则图中阴影部分的面积是　 　.
15． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　.
16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH。延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH。若则的值为　 　。
（第14题） （第15题） （第16题）
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，，是的两条弦，且．
（1）求证：；
（2）连接，，求证：．
18．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140°.
（1）求这个正多边形每个外角的度数；
（2）求这个正多边形的边数.
19． 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
20． 如图， AB 是⊙O的直径， AC平分∠BAD， CE⊥AB， 垂足为E， BD交CE于点 F.
（1） 求证： CF=BF.
（2） 若AD=6， ⊙O的直径为10， 求 BC的长.
21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD，
（1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长；
（2） 求证：
23． 如图，在中，，以AB为直径作半圆，交BC于点，交AC于点.
（1） 求证：.
（2） 若，求的度数.
（3） 过点作于点，若，，求DF的长.
24．如图1，圆内接四边形ABCD， BD为直径， 点E在 上，且满足 连结 DE 并延长交AB 的延长线于点 F，DE与BC交于点 G.
（1） 若 ⊙O的半径为3，求劣弧 的长.
（2） 如图2， 连结AE， 若AE=DG. 求证：
（3） 如图3， 在 (2) 的条件下， 求△BFG的周长.
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浙教版2026-2027学年九年级上数学第3章圆的基本性质 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是(4，3)，则点 P与⊙O的位置关系是 (　　)
A．点 P 在⊙O内 B．点 P 在⊙O外
C．点P在⊙O上 D．无法确定
【答案】C
【解析】∵点P的坐标是（4，3），且点O为原点，∴OP5，
又∵⊙O的半径为5，∴OP等于圆的半径，
∴点P在⊙O上．
故选：C．
2．如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠AOB=60°，则∠ACB的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】A
【解析】∵∠AOB=60°
∴
故选：A.
3．下列命题正确的是 (　　)
A．平分弦的直径平分弦所对的弧 B．垂直平分弦的直线必定经过圆心
C．相等的圆心角所对的弧一定相等 D．相等的弦所对的圆周角一定相等
【答案】B
【解析】 根据垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦并平分弦所对的弧，但若被平分的弦是另一条直径，则平分它的直径未必垂直于它 ，故A选项不正确；
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分该弦，其逆命题为：若一条直线垂直平分弦，则该直线必为直径所在的直线，即经过圆心，因此命题B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.但C选项未 限定同圆或等圆 ，则命题不成立，即C选项不正确；
相等的弦所对的圆心角相等，但圆周角可能对应优弧或劣弧，导致角度相等或互补，故选项D不正确.
故答案为：B.
4． 如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， 点E在BC延长线上， 若∠DCE=50°， 则∠BOD 等于(　　)
A．100° B．115° C．140° D．150°
【答案】A
【解析】∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5．如图，正n边形内接于⊙O，点A，B是正n边形的两个相邻顶点，点C是异于A，B的一个顶点，若∠ACB=18°，则n为(　　)
A．8 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【解析】如图，连接OA， OB，
则∠
所以有
解得n=10，
经检验，n=10是原方程的解，
即这个多边形是十边形，
故选： B.
6． 如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改造为一个圆弧形的门洞，如图，已知矩形门洞的宽为、高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则改造后的门洞高（圆弧形门洞弓高）为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，连接，交于点，过点O作，延长并延长交于点E，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是直径，
，
，
，
，
∴，
∴改建后门洞的高是，
故选：B．
7．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点 D，交AB于点 E，连结AD， CE相交于点 F.已知 CD=3，则AF的长为(　　)
A． B． C．6 D．8
【答案】C
【解析】∵是半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：6.
8．如图，四边形内接于，是直径，连接，若，，，则的长为（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，过点D作于点H，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴；
∵，，
∴，；
又∵，
∴点O在DH上，
∴O、D、H三点共线，
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B.
9． 如图，⊙O 是锐角三角形ABC 的外接圆，直径AD 平分∠BAC 交BC 于点 E，EF⊥AB 于点F，EG⊥AC 于点G，连结 DF，DG，要求四边形AFDG 的面积，只需知道下列选项中某个三角形的面积，则这个三角形是 (　　)
A．△AEG B．△BEF C．△ABC D．△DEG
【答案】C
【解析】连接BD， DC，
∵AD为直径，
同理
= S△ABC，
故选： C.
10．如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，将弧AC绕着点A按逆时针方向旋转得到弧AD，点D恰好落在⊙O上，弧AD与AB相交于点E，若OE=BE=2，则BC的长为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【解析】连接CD交AB于点F，连接AC，DE，OC，如图所示：，
∵OE=BE=2，
∴OB=OE+BE =4，
∵AB为圆O的直径，BC是弦，
∴OC=OB=4。
由旋转的性质可知：弧AD所在的圆与圆O是等圆，
即，
∴AC =AD
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，AB =AB，AC =AD'，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)，
∴BC=BD，∠CAB=∠DAB
∴，
根据垂径定理得，CD⊥AB.
∵弧长AD所在的圆与圆O是等圆，∠CAB=∠DAB，
而
∴BC = DE，BD=DE，
∴△DBE是等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴BF=EF=BE=1，OF=OB-BF=4-1=3，
在Rt△OCF中，CF=，
在Rt△BCF中，BC =
故答案为：C.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，AB 是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD=8，弦CD 与直径 AB 之间的距离为3，则AB= .
【答案】10
【解析】过O 作 于点 H，
∴
故答案为：10.
12．如图，四边形ABCD 是⊙O的内接四边形，DE是⊙O 的直径，连接AE，若 则∠BAE=　 　°.
【答案】
【解析】∵是的直径，
∴，
∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．如图，AB是⊙O的直径，的度数是55°，的度数是21°，且∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，则∠FDG的度数为　 　．
【答案】52°
【解析】如图，作C、E关于直径AB的对称，对称点为M、N，
则，∠AFC=∠AFM，∠BGD=∠BGN，
∵ ∠AFC=∠BFD，∠AGD=∠BGE，
∴∠AFM=∠BFD，∠BGN=∠AGD，
∵A、F、G、B共线，
∴D、F、M三点共线，D、G、N三点共线，
∵的度数是55°，的度数是21°，
∴、的度数分别为55°、21°，
∴的度数为180°-55°-21°=104°，
根据圆周角定理知， ∠FDG的度数为的度数，
即∠FDG=×104°=52°.
故答案为： 52°.
14．如图，点D在圆心角为90°的扇形AOB的半径OA上，矩形OBCD与交于点E，EF⊥OB于点F.若OD=OF=1，则图中阴影部分的面积是　 　.
【答案】
【解析】连接OE，如图，
∵四边形OBCD为矩形，
∴四边形ODEF和四边形BCEF都为矩形，
∴四边形ODEF为正方形，
∴由AD、DE和弧AE所围成的图形的面积=由BF、FE和弧BE所围成的图形的面积，
∴图中阴影部分的面积
故答案为：
15． 如图，已知菱形OABC的顶点A在⊙O上，且边AB， BC分别与⊙O相交于D， E两点，连结AE.若点D为AB的中点，则 的值为　 　.
【答案】
【解析】过点O作OG⊥BC于点G，OF⊥AB于点F，过点E作EH⊥OA于点H，则四边形OHEG是矩形，
设AD=2a，则AG=4a
∵OG⊥BC，OF⊥AB，
∴CE=2CG，AD=2AF，∠OCG=∠OAF，
又∵OABC是菱形，
∴∠C=∠A，OA=OC=AB=BC=4a，
∴△OGC≌△OFA，
∴CG=AF，
∴CE=AD=2a，OH=CG=AF=a，
∴HA=3a，EH=OG=，
∴，
∴，
故答案为：.
16．如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD和正方形EFGH。延长BE交以AD为直径的半圆于点M，连接MH。若则的值为　 　。
【答案】
【解析】设直角三角形的长直角边为，短直角边为，
由题意，，
连接，
∵为半圆的直径，，
∴，，
∴，，
∴四点共圆，
∴，，
∴，
将绕点旋转，得到，则，，，
∴，
∴三点共线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，，是的两条弦，且．
（1）求证：；
（2）连接，，求证：．
【答案】（1）证明：∵∴，
∴，∴，
∴
（2）证明：如图，
由（1）知：，
∵所对的弧是，所对的弧是，
∴，
∴
18．已知某正多边形的一个内角比相邻的外角大140°.
（1）求这个正多边形每个外角的度数；
（2）求这个正多边形的边数.
【答案】（1）解：设该正多边形的内角为x°，
由题意，得x-(180-x)=140，
解得x=160.
即这个正多边形的外角是20°；
（2）解：因为多边形的外角和是360°，所以
∴这个正多边形是十八边形.
19． 如图，由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙O经过A，B，C三个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图．（保留作图痕迹）
（1）在图1中的圆上找一格点D，使得∠ABC＋∠ADC＝180°；
（2）在图2中的圆上找一点E，使OE平分．
【答案】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示，
20． 如图， AB 是⊙O的直径， AC平分∠BAD， CE⊥AB， 垂足为E， BD交CE于点 F.
（1） 求证： CF=BF.
（2） 若AD=6， ⊙O的直径为10， 求 BC的长.
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠BAC，
∵AB 是⊙O 的直径，点C在圆上，
∴∠ACB=90°，
∵CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA=∠BAC+∠ECA=90°，
∴∠BCE=∠BAC，
∵∠DAC=∠DBC，∴∠BCE=∠DBC，
∴CF=BF.
（2）解：连接OC交BD于G，
∵AB=10， AB=6，
∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC=∠BAC，
∴
∴OG是△ABD的中位线，
∴CG=OC-OG=5-3=2，
在 Rt△BCG 中，由勾股定理得：
21．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=2 ，∠DPA=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：∵直径AB⊥DE， ∴CE= DE= ．
∵DE平分AO，∴CO= AO= OE．
又∵∠OCE=90°， = ，
∴∠CEO=30°．
在Rt△COE中，
OE= = =2．
∴⊙O的半径为2
（2）解：连接OF．
在Rt△DCP中，
∵∠DPC=45°，
∴∠D=90°﹣45°=45°．
∴∠EOF=2∠D=90°．
∴S扇形OEF= ×π×22=π．
∵∠EOF=2∠D=90°，OE=OF=2，
∴SRt△OEF= ×OE×OF=2．
∴S阴影=S扇形OEF﹣SRt△OEF=π﹣2．
22．如图， 四边形ABCD 内接于⊙O， BD为直径， AC平分∠BCD，
（1） 若BC=5cm，CD=12cm， 求AB的长；
（2） 求证：
【答案】（1）解：∵BD为直径，
∴∠BAD=∠BCD=90°，
∵CD=12cm， BC=5cm，
∴BD=13 (cm)，
∵AC平分∠BCD，
∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，
故AB的长为
（2）证明：将△ACD 绕点 A 顺时针旋转90°后可得△ABC'，
由旋转性质可得： △ACD≌△ABC'， ∠CAC' =90°， AC=AC' ，
∴AC' =AC， CD=BC' ， ∠ADC=ABC' ，
∵四边形ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC+∠ABC' =180°，
又∵∠CAC'=90°， AC=AC' ，
∴△C'AC是等腰直角三角形，
，
23． 如图，在中，，以AB为直径作半圆，交BC于点，交AC于点.
（1） 求证：.
（2） 若，求的度数.
（3） 过点作于点，若，，求DF的长.
【答案】（1）证明：如图，连接AD，
是圆O的直径，，
又，
（2）解：弧，，.
由（1）知，，则 ，.
，
（3）解：由（1）得，，.AD
根据面积法：
，
24．如图1，圆内接四边形ABCD， BD为直径， 点E在 上，且满足 连结 DE 并延长交AB 的延长线于点 F，DE与BC交于点 G.
（1） 若 ⊙O的半径为3，求劣弧 的长.
（2） 如图2， 连结AE， 若AE=DG. 求证：
（3） 如图3， 在 (2) 的条件下， 求△BFG的周长.
【答案】（1）解：劣弧.
（2）解：连结BE，
∵BD为直径，
∴∠BED=∠BEF=90°，
设∠ADB=α，
∴∠ADB=∠GDC=∠AEB=α，
∴∠BGD=∠FEA=90°+α，
∴∠FAE=∠BDG，
在△AEF 和△DGB中，
∴△AEF≌△DGB (ASA)
（3）解：连接BE，
∴AE=BC=2，
∵△AEF≌△DGB，
∴DG=2，
∵BD为直径，
∴∠BED=90°，
∴CG=1， ∠EDC=30°，
∴BG=1，
∴EF=1，
∵∠EBC=∠EDC=30°，
△BFG的周长=.
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