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浙教版2026-2027学年九年级上数学第4章相似三角形 培优测试卷
解析版
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知y=2x，则等于（　　）
A． B． C．1 D．-1
【答案】D
【解析】∵，
∴把代入中，得；
故答案为：D．
2．若点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，点D是线段AC的黄金分割点，AD>CD，则（　　）
A．AD=BC B．AD>BC C．AB=3CD D．AB<3CD
【答案】A
【解析】设AB=a，
∵ 点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，
∴，即，，
又∵ 点D是线段AC的黄金分割点，
∴，
∴，
∴AD=BC，
故答案为：A.
3．如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，则EF=（　　）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】∵a//b//c，∴AB：BC=DE：EF，
∵AB=2，BC=3，∴2：3=3：EF，
∴
故选：D.
4． 如图， 已知△ABC∽△ADE， 则下列结论错误的是 (　　)
A．∠C=∠E B．∠1=∠2
C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，，，，
∴，
∴，
∴只有D选项中的结论错误，符合题意，
故选：D．
5．如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】与是以点为位似中心的位似图形，，，
，即，
，
，解得，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：C
6．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形.若要使每一个矩形与原矩形相似，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四个矩形全等，每一个矩形与原矩形相似，
故选： B.
7．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　)。
A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9
【答案】C
【解析】
∴
∵菱形ABCD的对角线.AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形 EFGH ，
∴
，
∴图中阴影部分图形的面积与四边形 EMCN 的面积之比为：
故答案为：C.
8．如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】矩形矩形，
设矩形与矩形的相似比为，即，
设，，
则在矩形、矩形中，，，
矩形、矩形、矩形的对边互相平行，，，
，，
，，
，
，，
=
，
，
，
故选：A．
9．如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵等边三角形，
∴，，
∵沿着折叠，使点恰好落在边上点处，，，
根据折叠的性质，得，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴，
解得，
∴
∴，
解得，
故答案为：C．
10． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， G是△ABC的重心， 点D在边 BC上， DG⊥GC，如果 ，则 值是(　　)
A． B．23 C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，连接并延长交于点F，延长交于点E，连接，
∵G是的重心，
∴都是的中线，
∴为的中位线，
∴，
∴，，
∴，
设，则，
∵，
∴可设，则，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴或（舍去），
∴，
故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，△ABC∽△ACD，点D在AB上.已知AD=1，DB=2.则AC的长为　 　.
【答案】
【解析】∵AD＝1，DB＝2，
∴AB＝AD+DB＝1+2＝3，
∵△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
∴AC2＝3，
∴（舍去负值），
故填：．
12．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连结，与交于点，则　 　
【答案】
【解析】过点F作FG||AC交BD于点G，如图：
∴GC：BG=AF：BF=1：2，
∴BF：BA=2：3
∵FG||AC，
∴△BGF∽△BCA，
∴，
∵BC：CD=2：1，
∴CD：CG=3：2，
∵AC//FG，
∴FN：ND=GC：DC=2：3
故答案为：2：3.
13．如图，在中，，点分别在边上，连接，作于点，连接．若垂直平分，，，则的长为　 　．
【答案】
【解析】如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵垂直平分，且，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴在中，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故填：
14．如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则的值是 　 　 ．
【答案】5
【解析】如图所示，延长AE，BC交于H，可设AD=6a，CD=5a，
∵四边形ABCD是平行四边形，∥AD，
∴∴
由折叠的性质可得
∴
推出
(2a+4a)=2：3，
∴
∴
∴
故答案为：5.
15．如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点 E， BD=2BC，∠CAB=45°， CF⊥AB于点 F，交 BD于点 H.若AF=4，则 EH 的长为　 　.
【答案】
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
是等腰三角形，
是等腰直角三角形，
过E作 于M，
∴EM∥CF，
∵E是AC的中点，∴EM是△ACF的中位线，∴
设FB=x，则MB=MF+FB=2+x， AB=4+x，
在等腰△EBC中， BE=BC，
∴x=2，
∴FB=2， MB=4，
∴
故答案为：
16．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
【答案】
【解析】过B作BE⊥l1于E，延长EB交l3于F，过A作AN⊥l2于N，过C作CM⊥l2于M，
设AE=x，CF=y，BN=x，BM=y，
∵BD=4，
∴DM=y-4，DN=4-x，
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠EAB=∠CBF，
∴△ABE∽△BFC
∴，即
∴xy=mn，
∵∠ADN=∠CDM，
∴△CMD~△AND
∴，即
∴
∵
∴
∴
∴当m最大时，
∵
∴当时，
∴
∴m+n的最大值为
故答案为：.
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B.
（1）求证：△ABD∽△ADE.
（2）若AE=4，AB=9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积.
【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD=∠DAE．
又∵∠ADE=∠B，
∴△ABD∽△ADE
（2）解：∵△ABD∽△ADE
∴
∴AD2=AB·AE=9×4=36
∴AD=6
∴ ∴S△ABD=18
18． 如图， △ABC中∠ACB=90°， CD⊥AB于D， AE平分∠CAB， 分别交CB、CD于点E和点F.
（1） 求证： △ACF ∽ △ABE；
（2） 若 求BC的长.
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°
∵CD⊥AB ∴∠ACD=∠B
∵AE平分∠CAB ∴∠CAE=∠EAB
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵△ACF∽△ABE所以
∴
∴AB=10
19． 如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.
（1）如图1，在图中标出△ABC的重心O.
（2）如图2，在线段AB标出点E，在线段AC上标出点F，连结EF，使得△AEF与△ABC的面积比为4：9.
【答案】（1）解：如图即为所求图形
（2）解：如图即为所求图形
20． 如图， △ABC 中， ∠ACB=120°， 边AB 上有两点 D， E， 满足 是等边三角形.
（1）求证： △ACD∽△CBE；
（2）如果AD=3， BE=4， 求DE的长.
【答案】（1）证明：是等边三角形，
．
．
，
．
，
．
．
（2）解：，
．
是等边三角形，
．
．
∴．
21．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
【答案】（1）解：在Rt△APH中， ∠APH =53°，
(米)
答：摄像头的安装高度PH的长为3米；
（2）解：∵CD∥PH， △BCD∽△BPH
(米)；
∴AD=AB-BD=12-4-6.6=1.4 (米)；
在Rt△AC1D1中，∵C1D1∥PH，∴∠AC1D1=53°
(米)
∴行驶的路程： AD1+AD=2.2+1.4=3.6(米) ，时间： 3.6÷1.2=3 (秒)；
答：该居民进入监控区域(点C恰好在PB上时)至离开监控区域(点( 恰好在PA上时)的时间为3秒.
22．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q.
（1）求证：四边形AHPG是正方形.
（2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长.
【答案】（1）证明：∵∠AGP=∠GAH=∠HPG=90°，
∴四边形AHPG是矩形.
∵四边形ABEF是正方形，∴AB=AF，
∵∠BAF=∠HAG=90°，∴∠BAH=∠DAG.
∴△ABH≌△AFG，∴AB=AF，
∴四边形AHPG是正方形.
（2）解：设，
四边形是正方形，四边形是矩形，
，即．
．
为中点，
．
在和中：
．
．
，，
．
，，
，
，
，
．
，四边形为正方形，
，，
．
由（1）可知，
．
在中，
．
，
整理得：，
解得（舍去），．
．
23． 如图1， AB=6， 点D 是线段AB 上方的一个点， 连结AD和BD， 将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE，其中B的对应点为C，D 的对应点为E，且E，D，B三点在同一条直线上，连结ED交AC于点F， 连结BC.
（1） 求证： CE∥AD.
（2） 若 AD=2BD， 求 EF的长.
（3） 如图2， 连结CD， 若AD=kBD， 求 的值(用含k的式子表示).
【答案】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
∵E，D，B三点共线，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点A作的延长线于点M，如图
有，
设，则，
∵是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
则，，
∵，
∴，
解得或（不符合题意，舍去）
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图
设，则，
∵，是等边三角形，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴
即，
化简，得．
24．数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片（）沿折叠，点的对称点为点，与相交于点．
（1）如图，求证：
（2）如图，连结并延长，交的延长线于点．
①猜想四边形的形状，并说明理由．
②当时，求的值．
【答案】（1）证明：由折叠得，
∵，
∴，
，
．
（2）解：①四边形为平行四边形
，，
，
，
．
，
∴四边形为平行四边形．
②根据折叠可得：点与点关于直线轴对称，
，
，
，
∴，
∵在矩形中，，
又，
，
∴，
过点作交于点，交的延长线于点，如图所示：
∵在矩形中，，，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
不妨设，，则，．
根据折叠可得，，
在中，根据勾股定理得：，
，
（负值已舍去），
∴，，
∴，
∴，
，
．
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浙教版2026-2027学年九年级上数学第4章相似三角形 培优测试卷
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1．已知y=2x，则等于（　　）
A． B． C．1 D．-1
2．若点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，点D是线段AC的黄金分割点，AD>CD，则（　　）
A．AD=BC B．AD>BC C．AB=3CD D．AB<3CD
3．如图，直线a∥b∥c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，则EF=（　　）
A． B． C．4 D．
（第3题） （第4题） （第5题） （第6题）
4． 如图， 已知△ABC∽△ADE， 则下列结论错误的是 (　　)
A．∠C=∠E B．∠1=∠2
C． D．
5．如图，与是以点为位似中心的位似图形．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将矩形ABCD划分成四个全等的矩形.若要使每一个矩形与原矩形相似，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
7．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm，得到菱形EFGH，则图中阴影部分的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　)。
A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
8．如图，，、，分别是矩形四边上的点，连结，相交于点，且，，设矩形、矩形、矩形、矩形的面积分别为、、，，矩形矩形，连接交，于点，．下列一定能求出面积的条件是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在等边三角形中，点，分别在，边上，沿着折叠，使点恰好落在边上点处．若，，则的边长是（　　）
A． B． C． D．
10． 如图， 在△ABC中， ∠ACB=90°， G是△ABC的重心， 点D在边 BC上， DG⊥GC，如果 ，则 值是(　　)
A． B．23 C． D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11． 如图，△ABC∽△ACD，点D在AB上.已知AD=1，DB=2.则AC的长为　 　.
（第11题） （第12题） （第13题）
12．如图，已知点在上，且，点是延长线上一点，，连结，与交于点，则　 　
13．如图，在中，，点分别在边上，连接，作于点，连接．若垂直平分，，，则的长为　 　．
14．如图，点E在平行四边形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，使点D的对应点F恰好落在边BC上．若，则的值是 　 　 ．
（第14题） （第15题） （第16题）
15．如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点 E， BD=2BC，∠CAB=45°， CF⊥AB于点 F，交 BD于点 H.若AF=4，则 EH 的长为　 　.
16．直线A，B，C分别为直线l1，l2，l3上的动点，连接AB，BC，AC，线段AC交直线l2于点D。设直线l1，l2之间的距离为m，直线l2，l3之间的距离为n，若∠ABC=90°，BD=4，且则m+n的最大值为　 　
三、解答题（本题有8小题，第17～21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题每题12分，共72分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠ADE=∠B.
（1）求证：△ABD∽△ADE.
（2）若AE=4，AB=9，且△ADE的面积为8，求△ABD的面积.
18． 如图， △ABC中∠ACB=90°， CD⊥AB于D， AE平分∠CAB， 分别交CB、CD于点E和点F.
（1） 求证： △ACF ∽ △ABE；
（2） 若 求BC的长.
19． 如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.
（1）如图1，在图中标出△ABC的重心O.
（2）如图2，在线段AB标出点E，在线段AC上标出点F，连结EF，使得△AEF与△ABC的面积比为4：9.
20． 如图， △ABC 中， ∠ACB=120°， 边AB 上有两点 D， E， 满足 是等边三角形.
（1）求证： △ACD∽△CBE；
（2）如果AD=3， BE=4， 求DE的长.
21．如图，P是在小区入口处安装的摄像头，∠APB 为摄像头监控视角，射线PA、PB为摄像头的两条边界光线，BH为水平地面，PH⊥BH．经测量∠APH=53°，AH=4米，BH=12米．
（1）求摄像头的安装高度 PH的长；
（2）一个身高为1.65米的居民(图中线段CD)，步行从右至左匀速进入小区，速度为1.2米/秒．求该居民进入监控区域(点C恰好在 PB上时)至离开监控区域(点C1恰好在 PA上时)的时间．
22．在矩形ABCD中，ABEF为正方形，点G在EF射线上， 过A 作HA⊥AG交BC于点H，过H作HP⊥DG交DG于点 P，连结DH交EF于点Q.
（1）求证：四边形AHPG是正方形.
（2）已知AB=1，若Q为HD的中点，求 BC的长.
23． 如图1， AB=6， 点D 是线段AB 上方的一个点， 连结AD和BD， 将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACE，其中B的对应点为C，D 的对应点为E，且E，D，B三点在同一条直线上，连结ED交AC于点F， 连结BC.
（1） 求证： CE∥AD.
（2） 若 AD=2BD， 求 EF的长.
（3） 如图2， 连结CD， 若AD=kBD， 求 的值(用含k的式子表示).
24．数学课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展活动探究．将矩形纸片（）沿折叠，点的对称点为点，与相交于点．
（1）如图，求证：
（2）如图，连结并延长，交的延长线于点．
①猜想四边形的形状，并说明理由．
②当时，求的值．
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