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　第3节　简谐运动的回复力和能量
课程要求 学科素养
认识简谐运动的能量特征,理解回复力的含义 物理观念 理解回复力的概念;会用能量守恒的观点分析简谐运动中的能量变化
科学探究 能从力与运动的关系、能量观点(机械能守恒定律)等角度认识简谐运动中位移、速度、加速度、回复力、动能和势能的变化规律
要点一　简谐运动的回复力
1.回复力
项目 内容
定义 振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力
方向 总是指向平衡位置
表达式 F=-kx
效果 总是要把物体拉回到平衡位置
2.简谐运动的动力学定义
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。
如图所示，在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球做上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度。
小球的振动是简谐运动吗 如果是，什么力提供回复力
提示：规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg=kx0，小球在c点受到的弹力大小为F'=k(x+x0)，小球在c点的回复力F=mg-F'=mg-k(x+x0)=mg-kx-kx0=-kx，回复力满足F=-kx，是简谐运动。弹簧弹力和重力的合力提供回复力。
1.回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如:如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力提供回复力;如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力提供回复力;如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。
2.简谐运动回复力的大小和方向
(1)回复力F=-kx中的“-”表示回复力的方向与位移方向始终相反;k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)。k由振动系统决定，与振幅无关。
(2)因x=Asin(ωt+φ0)，故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ0)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
(3)根据牛顿第二定律得a==-x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
【例1】　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是 (　AD　)
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
【解析】　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力提供回复力，故A正确，B错误;回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误;回复力总是指向平衡位置，故D正确。
【例2】　(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是 (　AD　)
A.物体做简谐运动，OC=OB
B.物体做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
【解析】　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受回复力:F=-(k1x+k2x)=-3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC=OB，故A、D正确。
判断振动物体是否做简谐运动的方法
(1)振动物体的回复力满足F=-kx。
(2)振动物体的位移x与时间t满足x=Asin函数关系。
(3)振动物体的振动图像是正弦曲线。
要点二　简谐运动的能量
1.振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能:速度不断变化，动能也在不断变化。
(2)弹簧形变量与势能:弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化。
2.简谐运动的能量
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为0。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3.决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强。
如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化
提示：(1)不变，在M点时，系统的动能为0，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的弹性势能不变，总能量不变，最大动能也不发生变化。
(2)变小，在O点时弹簧弹性势能为0，振动系统的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能也将减小。
1.对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化模型 (1)力的角度:简谐运动不考虑阻力 (2)能量转化角度:简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
2.决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大;振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小。
(1)在振动的一个周期内,动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时,具有相等的动能和相等的势能。
【例3】　
如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)(多选)振子在振动过程中，下列说法中正确的是ABD。
A.振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D.在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
(3)(多选)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动一起运动，下列说法正确的是AC。
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减小
【解析】　(1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)水平弹簧振子在平衡位置两侧做往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，A正确;在最大位移处速度为0，动能为0，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，B正确;振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，C错误，D正确。
(3)振子运动到B点时速度恰为0，此时放上质量为m的物体，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，A正确，B错误;由于机械能守恒，所以最大动能不变，C正确，D错误。
【例4】　(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是 (　AC　)
A.OB越长，系统的机械能越大
B.在运动过程中，物块A的机械能守恒
C.物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D.物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
【解析】　在简谐运动中，振动系统的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，系统的机械能越大，A正确;在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误;在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误。
【例5】　(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2-t1)<，如图所示，则 (　ABC　)
A.t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B.在t1~t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C.在t1~t2时间内，小球的动能先增大后减小
D.在t1~t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
【解析】　由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确;在t1~t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确;在t1~t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确;简谐运动的机械能守恒，D错误。
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。另外,各矢量均在其值为0时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时,回复力、加速度、动能、势能可以确定,但速度可能有两个方向,由于周期性,运动时间也不确定。
1.物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是 (　A　)
A.平衡位置就是回复力为0的位置
B.处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C.物体到达平衡位置，合力一定为0
D.物体到达平衡位置，回复力不一定为0
解析：由回复力及平衡位置的定义可知，物体处于平衡位置时回复力为0，A正确，D错误;物体停在平衡位置时处于平衡状态，物体振动至平衡位置时不一定处于平衡状态，合力不一定为0，B、C错误。
2.做简谐运动的物体，其加速度a随位移x的变化规律应是下列哪一个选项图 (　B　)
A B
C D
解析：物体做简谐运动时，加速度和位移的关系为a=-x，加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，根据数学知识可知图像B正确。
3.如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物体束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量、当细线突然断开后，两物体都开始做简谐运动，在运动过程中 (　C　)
A.甲的振幅大于乙的振幅
B.甲的振幅小于乙的振幅
C.甲的最大速度小于乙的最大速度
D.甲的最大速度大于乙的最大速度
解析：由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力是相等的，所以当细线断开后，甲、乙两个物体做简谐运动的振幅是相等的，A、B错误;两物体在平衡位置时的速度最大，此时的动能等于弹簧刚释放时的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的物体速度小，C正确，D错误。
4.如图所示，为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知 (　B　)
A.由于在0.1 s末振子位移为0，所以振子的振动能量为0
B.在0.2 s末振子具有最大势能
C.在0.4 s末振子具有的势能尚未达到最大值
D.在0.4 s末振子的动能最大
解析：简谐运动的能量是守恒的，故A错误;0.2 s末、0.4 s末位移最大，动能为0，势能最大，故B正确，C、D错误。
课时作业13
(总分:50分)
1.(5分)使物体产生振动的必要条件是 (　C　)
A.物体受到的各个力的合力必须指向平衡位置
B.物体受到的阻力等于0
C.物体离开平衡位置后受到回复力的作用，且物体所受的阻力足够小
D.物体离开平衡位置后受到回复力F的作用，且F=-kx(x为物体相对平衡位置的位移)
解析：振动物体所受的合力不一定只提供回复力，故A错误;物体在离开平衡位置后受到回复力作用，且所受阻力足够小时，才能发生振动，故B错误，C正确;回复力公式F=-kx只是做简谐运动的物体所受回复力的条件，而不是所有振动物体所受回复力的条件，故D错误。
2.(5分)做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1 m/s2，方向指向B点;当它经过B点时，加速度大小为2 m/s2，方向指向A点。若A、B之间的距离是6 cm，则关于它的平衡位置，下列说法正确的是 (　D　)
A.平衡位置在AB连线上A点外侧
B.平衡位置在AB连线上B点外侧
C.平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置
D.平衡位置在AB连线之间，且距离A点为2 cm处
解析：根据牛顿第二定律可知简谐运动物体的加速度大小为a==，可知物体的加速度大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，由于回复力方向总是指向平衡位置，则加速度方向总是指向平衡位置，由题意可知，物体经过A点时，加速度方向指向B点;物体经过B点时，加速度方向指向A点;则平衡位置在AB连线之间，设平衡位置与A点距离为x1，与B点距离为x2，则有x1+x2=6 cm，又aA︰aB=x1︰x2=1︰2，解得x1=2 cm，故选D。
3.(5分)(多选)一弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是 (　BC　)
A.在t=0.2 s时，弹簧振子的动能最大
B.t=0.3 s和t=0.5 s时，弹簧振子的速度相同
C.振动的圆频率为2.5π rad/s
D.0.2~0.6 s内，弹簧振子加速度的方向始终相同
解析：由图像可知，在t=0.2 s时，弹簧振子处于最大位移处，速度最小，动能最小，故A错误;由图像根据对称性可知，t=0.3 s和t=0.5 s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相同，均沿x轴负方向运动，故B正确;由图像可知，振动的圆频率为ω== rad/s=2.5π rad/s，故C正确;由图像可知，在0.2~0.4 s内，弹簧振子加速度的方向沿x轴负方向;在0.4~0.6 s内，弹簧振子加速度的方向沿x轴正方向，故D错误。
4.(5分)如图所示，一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置，P、Q是振动过程中关于O点对称的两个位置，下列说法正确的是 (　B　)
A.振子在从M点向O点运动过程中，速度减小，弹性势能增大
B.振子在OP间与OQ间的运动时间相等
C.振子运动到P、Q两点时，位移相同
D.振子在从M点向N点运动过程中，加速度先增大后减小
解析：振子在从M点向O点运动过程中，速度增大，动能增大，弹性势能减小，A错误;由对称性可知，振子在OP间与OQ间的运动时间相等，B正确;由对称性可知，振子运动到P、Q两点时，位移等大反向，C错误;振子在从M点向N点运动过程中，加速度先减小后增大，D错误。
5.(5分)如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是 (　C　)
A.振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0
B.在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力提供回复力
C.振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大
D.振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同
解析：O点为简谐运动的平衡位置，则振动物体在O点时受到的合力为0，则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡，可知此时弹簧处于伸长状态，弹性势能大于0，A错误。在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力的合力提供回复力，B错误。在简谐运动过程中，机械能的总量不变，在A、B两点时，振动物体的动能均为0，且振动物体在B点时的重力势能比在A点时的小，则振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比振动物体在A点时的大，C正确。振动物体从A到O做加速运动，速度和加速度方向相同;从O向B运动的过程中，振动物体的速度减小，则速度和加速度方向相反，D错误。
6.(5分)(多选)如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一弹簧振子，并将其悬挂于教室内一体机白板的前方。使弹簧振子沿竖直方向上下自由振动，白板以速率v水平向左匀速运动，激光笔在白板上留下书写印迹，图中相邻竖直虚线的间隔均为x0(未标出)，印迹上P、Q两点的纵坐标为y0和-y0。不计一切阻力，则 (　BD　)
A.该弹簧振子的振动周期为
B.在激光笔留下PQ段印迹的过程中，弹簧对它做功为-2mgy0
C.在激光笔留下PQ段印迹的过程中，弹簧对它的冲量为0
D.在激光笔留下PQ段印迹的过程中，振动系统的重力势能和弹性势能之和先减小后增大
解析：题图中相邻竖直虚线的间隔均为x0，则该弹簧振子的振动周期为T=，故A错误;由于P、Q两位置弹簧振子的速度均为0，从P到Q根据动能定理得W弹+2mgy0=0-0，解得W弹=-2mgy0，故B正确;由于P、Q两位置弹簧振子的速度均为0，则P到Q的过程中，根据动量定理得I弹-mg·=0-0，解得I弹=，故C错误;振动系统从P到Q，重力势能、弹性势能和动能之和不变，由于动能先增大后减小，则重力势能和弹性势能之和先减小后增大，故D正确。
7.(5分)如图所示，物体A放置在物体B上，B与一轻弹簧相连，它们一起在光滑水平面上以O点为平衡位置做简谐运动，所能到达相对于O点的最大位移处分别为P点和Q点，运动过程中A、B之间无相对运动。已知弹簧的劲度系数为k，系统的振动周期为T，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法中正确的是 (　D　)
A.物体B对A摩擦力的变化周期为
B.当物体B相对平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于kx
C.物体B的速度为v时开始计时，每经过时间，物体B的速度仍为v
D.物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，物体B一定运动到OQ之间
解析：A、B之间无相对运动，对A进行受力分析，A所受重力与B对A的支持力平衡，由B对A的摩擦力提供回复力，可知，物体B对A摩擦力的变化周期为T，故A错误;当物体B相对平衡位置的位移为x时，对A、B整体分析有kx=(mA+mB)a，对A进行分析有f=mAa=，故B错误;根据简谐运动的对称性可知，物体B的速度为v时开始计时，每经过时间，物体B的速度大小仍为v，方向与v方向相反，故C错误;结合上述，根据简谐运动的对称性可知，物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，物体B一定运动到OQ之间，故D正确。
8.(5分)(多选)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则 (　AD　)
A.t1时刻小球向下运动
B.t2时刻小球与影子相位差为π
C.t2时刻光源的加速度向上
D.t3时刻影子的位移为5A
解析：t1时刻小球经过平衡位置向下运动，故A正确;t2时刻小球在最低点，影子也在最低点，小球与影子相位差为0，故B错误;t2时刻光源在最高点，回复力向下，由牛顿第二定律得加速度向下，故C错误;t3时刻影子的位移为x，影子到光源所处的水平面的距离为L，如图所示，
由几何关系得=，解得L=6A，t3时刻影子的位移x=6A-A=5A，故D正确。
9.(5分)(多选)如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为m，弹簧劲度系数为k，底座质量为0.5m。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为g，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为0，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是 (　AD　)
A.公仔头部做简谐运动的振幅为
B.公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为g
C.公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长状态
D.公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为3mg
解析：公仔头部在最高点时，底座对桌面的压力刚好为0，故此时弹簧处于伸长状态，弹力大小为F弹1=0.5mg，对公仔头部F回1=F弹1+mg=mg，又F回1=kA，解得A=，故A正确;公仔头部运动至最高点时，头部的加速度a==1.5g，故B错误;公仔头部有最大速度时，弹簧的弹力和公仔头部的重力等大反向，弹簧处于压缩状态，故C错误;根据简谐运动的对称性，当公仔头部运动到最低点时F回2=F回1=mg=F弹2-mg，得F弹2=2.5mg，此时对底座受力分析FN=0.5mg+F弹2=3mg，公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为3mg，故D正确。
10.(5分)(多选)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E=kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m。起振时系统具有势能0.06 J和动能0.02 J，则下列说法正确的是 (　AD　)
A.振子的最大加速度为8 m/s2
B.振子经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C.若振子在最大位移处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的动能增大
D.若振子在最大位移处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的速度减小
解析：弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有kA2=0.06 J+0.02 J=0.08 J，所以该振动的振幅为A=0.08 m，由牛顿第二定律可知振子的最大加速度为a==8 m/s2，故A正确;振子经过平衡位置时，弹性势能为0，则系统机械能表现为动能，即mv2=0.08 J，所以速度为v=0.8 m/s，故B错误;振子在最大位移处时，速度为0，动能为0，所以质量突变为0.4 kg，不影响系统的总机械能，当振子运动到平衡位置时，势能为0，动能不变，由m'v'2=0.08 J，可知质量增加，速度减小，故C错误，D正确。(共56张PPT)
第二章　机械振动
第3节　简谐运动的回复力和能量
核心要点 点点过
1
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即时演练 堂堂清
2
课时作业13
3
课程要求 学科素养
认识简谐运动的能量特征,理解回复力的含义 物理观念 理解回复力的概念;会用能量守恒的观点分析简谐运动中的能量变化
科学探究 能从力与运动的关系、能量观点(机械能守恒定律)等角度认识简谐运动中位移、速度、加速度、回复力、动能和势能的变化规律
核心要点 点点过
1.回复力
要点一　简谐运动的回复力
项目 内容
定义 振动质点受到的总能使其回到平衡位置的力
方向 总是指向平衡位置
表达式 F=-kx
效果 总是要把物体拉回到平衡位置
平衡位置
平衡位置
-kx
平衡位置
2.简谐运动的动力学定义
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成　正比，并且总是指向平衡位置，物体的运动就是简谐运动。

正比
平衡位置
如图所示，在劲度系数为k，原长为L0的固定于一点的弹簧下端挂一质量为m的小球，释放后小球做上下振动，弹簧始终没有超出弹性限度。
小球的振动是简谐运动吗 如果是，什么力提供回复力
提示：规定向下为正方向，在平衡位置b点，有mg=kx0，小球在c点受到的弹力大小为F'=k(x+x0)，小球在c点的回复力F=mg-F'=mg-k(x+x0)=mg-kx-kx0=-kx，回复力满足F=-kx，是简谐运动。弹簧弹力和重力的合力提供回复力。
1.回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的，可能由合力、某个力或某个力的分力提供。它一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。例如:如图甲所示，水平方向的弹簧振子，弹簧弹力提供回复力;如图乙所示，竖直方向的弹簧振子，弹簧弹力和重力的合力提供回复力;如图丙所示，在光滑地面上质量为m的木块随质量为M的滑块一起振动，木块的回复力由静摩擦力提供。
2.简谐运动回复力的大小和方向
(1)回复力F=-kx中的“-”表示回复力的方向与位移方向始终相反;k是比例系数，并非弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中k为弹簧的劲度系数)。k由振动系统决定，与振幅无关。
(2)因x=Asin(ωt+φ0)，故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ0)，可见回复力随时间按正弦规律变化。
(3)根据牛顿第二定律得a==-x，表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
【例1】　(多选)如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的A、B之间做往复运动，下列说法正确的是 (　 　　)
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力的作用
C.小球由A向O运动过程中，回复力逐渐增大
D.小球由O向B运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
AD
【解析】　弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用，回复力是根据效果命名的力，它是由物体受到的具体的力所提供的，在此情景中弹簧的弹力提供回复力，故A正确，B错误;回复力与位移的大小成正比，由A向O运动过程中位移在减小，故此过程回复力逐渐减小，故C错误;回复力总是指向平衡位置，故D正确。
【例2】　(多选)如图所示，物体m系在两水平弹簧之间，两弹簧的劲度系数分别为k1和k2，且k1=k，k2=2k，两弹簧均处于自然伸长状态，今向右拉动m，然后释放，物体在B、C间振动(不计阻力)，O为平衡位置，则下列判断正确的是 (　　　)
A.物体做简谐运动，OC=OB
B.物体做简谐运动，OC≠OB
C.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
AD
【解析】　以O点为原点，水平向右为x轴正方向，物体在O点右方x处时所受回复力:F=-(k1x+k2x)=-3kx，因此物体做简谐运动，由对称性可知，OC=OB，故A、D正确。
方法技巧
判断振动物体是否做简谐运动的方法
(1)振动物体的回复力满足F=-kx。
(2)振动物体的位移x与时间t满足x=Asin函数关系。
(3)振动物体的振动图像是正弦曲线。
1.振动系统的状态与能量的关系
(1)振子的速度与动能:速度不断变化，动能也在不断变化。
(2)弹簧形变量与势能:弹簧形变量在不断变化，因而势能也在不断变化。
2.简谐运动的能量
振动系统的能量一般指振动系统的机械能。振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处，势能最大，动能为0。
(2)在平衡位置处，动能最大，势能最小。
要点二　简谐运动的能量
变化
变化
变化
变化
势能
动能
动能
势能
(3)在简谐运动中，振动系统的机械能守恒(选填“守恒”或“减小”)，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型。
3.决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，振幅越大，机械能就越大，振动越强。
守恒
振幅
振幅
如图所示，A、B两个物体与轻质弹簧组成的系统在光滑水平面上M、N两点间做简谐运动，A、B间无相对运动，平衡位置为O。
(1)当物体运动到M点时拿走A物体，振动系统的最大动能有什么变化
(2)当物体运动到O点时拿走A物体，振动系统的最大弹性势能有什么变化
提示：(1)不变，在M点时，系统的动能为0，弹性势能最大，拿走A物体后，振动系统的弹性势能不变，总能量不变，最大动能也不发生变化。
(2)变小，在O点时弹簧弹性势能为0，振动系统的动能最大，拿走A物体后，振动系统的最大动能减小，总能量减小，最大弹性势能也将减小。
1.对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定
能量的获得 最初的能量来自外部，通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化，机械能守恒
理想化模型 (1)力的角度:简谐运动不考虑阻力
(2)能量转化角度:简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
2.决定能量大小的因素
振动系统的机械能跟振幅有关，对一个给定的振动系统，振幅越大，振动越强，振动的机械能越大;振幅越小，振动越弱，振动的机械能越小。
　　　　 (1)在振动的一个周期内,动能和势能完成两次周期性变化。
(2)振子运动经过平衡位置两侧的对称点时,具有相等的动能和相等的势能。
【例3】　如图所示，一水平弹簧振子在A、B间做简谐运动，平衡位置为O，已知振子的质量为M。
(1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动
能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)(多选)振子在振动过程中，下列说法中正确的是ABD。
A.振子在平衡位置，动能最大，弹性势能最小
B.振子在最大位移处，弹性势能最大，动能最小
C.振子在向平衡位置运动时，由于振子振幅减小，故总机械能减小
D.在任意时刻，动能与弹性势能之和保持不变
振幅
弹性势能
守恒
ABD
(3)(多选)若振子运动到B处时将一质量为m的物体放到M的上面，且m和M无相对滑动一起运动，下列说法正确的是AC。
A.振幅不变 B.振幅减小
C.最大动能不变 D.最大动能减小
AC
【解析】　(1)简谐运动的能量取决于振幅，振子振动时动能和弹性势能相互转化，总机械能守恒。
(2)水平弹簧振子在平衡位置两侧做往复运动，在平衡位置处速度达到最大，动能最大，弹性势能最小，A正确;在最大位移处速度为0，动能为0，此时弹簧的形变量最大，弹性势能最大，B正确;振幅的大小与振子的位置无关，在任意时刻只有弹簧的弹力做功，所以机械能守恒，C错误，D正确。
(3)振子运动到B点时速度恰为0，此时放上质量为m的物体，系统的总能量即为此时弹簧储存的弹性势能，由于简谐运动中机械能守恒，所以振幅保持不变，A正确，B错误;由于机械能守恒，所以最大动能不变，C正确，D错误。
【例4】　(多选)在光滑斜面上的物块A被平行于斜面的轻弹簧拉住静止于O点，如图所示。现将物块A沿斜面拉到B点无初速度释放，物块A在B、C范围内做简谐运动，则下列说法正确的是 (　　　)
A.OB越长，系统的机械能越大
B.在运动过程中，物块A的机械能守恒
C.物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在O点时最小
D.物块A与轻弹簧构成的系统的势能，当物块A在C点时最大，当物块A在B点时最小
AC
【解析】　在简谐运动中，振动系统的机械能跟振幅有关，对确定的振动系统，振幅越大，系统的机械能越大，A正确;在简谐运动中，系统机械能守恒，但物块A的重力势能与动能总和不断变化，物块A的机械能不守恒，B错误;在简谐运动中，系统在最大位移处势能最大，在平衡位置处动能最大，势能最小，C正确，D错误。
【例5】　(多选)一个弹簧振子做简谐运动的周期为T，设t1时刻小球不在平衡位置，经过一段时间到t2时刻，小球的速度与t1时刻的速度大小相等、方向相同，(t2-t1)<，如图所示，则(　　　　)
A.t2时刻小球的加速度一定跟t1时刻的加速度大小相等、方向相反
B.在t1~t2时间内，小球的加速度先减小后增大
C.在t1~t2时间内，小球的动能先增大后减小
D.在t1~t2时间内，弹簧振子的机械能先减小后增大
ABC
【解析】　由题图可知t1、t2时刻小球的加速度大小相等，方向相反，A正确;在t1~t2时间内回复力先减小后增大，所以小球的加速度先减小后增大，B正确;在t1~t2时间内，小球的速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，C正确;简谐运动的机械能守恒，D错误。
方法技巧
分析简谐运动中各物理量变化情况的技巧
(1)分析简谐运动中各物理量的变化情况时,一定要以位移为桥梁,位移增大时,回复力、加速度、势能均增大,速度、动能均减小;反之,则产生相反的变化。另外,各矢量均在其值为0时改变方向。
(2)分析过程中要特别注意简谐运动的周期性和对称性。位移相同时,回复力、加速度、动能、势能可以确定,但速度可能有两个方向,由于周期性,运动时间也不确定。
即时演练 堂堂清
1.物体做简谐运动时，下列叙述中正确的是 (　　)
A.平衡位置就是回复力为0的位置
B.处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C.物体到达平衡位置，合力一定为0
D.物体到达平衡位置，回复力不一定为0
解析：由回复力及平衡位置的定义可知，物体处于平衡位置时回复力为0，A正确，D错误;物体停在平衡位置时处于平衡状态，物体振动至平衡位置时不一定处于平衡状态，合力不一定为0，B、C错误。
A
2.做简谐运动的物体，其加速度a随位移x的变化规律应是下列哪一个选项图 (　　)
B
解析：物体做简谐运动时，加速度和位移的关系为a=-x，加速度大小与位移大小成正比，方向与位移方向相反，根据数学知识可知图像B正确。
3.如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物体束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量、当细线突然断开后，两物体都开始做简谐运动，在运动过程中 (　　)
A.甲的振幅大于乙的振幅
B.甲的振幅小于乙的振幅
C.甲的最大速度小于乙的最大速度
D.甲的最大速度大于乙的最大速度
C
解析：由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力是相等的，所以当细线断开后，甲、乙两个物体做简谐运动的振幅是相等的，A、B错误;两物体在平衡位置时的速度最大，此时的动能等于弹簧刚释放时的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的物体速度小，C正确，D错误。
4.如图所示，为某个弹簧振子做简谐运动的图像，由图像可知 (　　)
A.由于在0.1 s末振子位移为0，所以振子的振动能量为0
B.在0.2 s末振子具有最大势能
C.在0.4 s末振子具有的势能尚未达到最大值
D.在0.4 s末振子的动能最大
解析：简谐运动的能量是守恒的，故A错误;0.2 s末、0.4 s末位移最大，动能为0，势能最大，故B正确，C、D错误。
B
课时作业13

1.(5分)使物体产生振动的必要条件是(　　)
A.物体受到的各个力的合力必须指向平衡位置
B.物体受到的阻力等于0
C.物体离开平衡位置后受到回复力的作用，且物体所受的阻力足够小
D.物体离开平衡位置后受到回复力F的作用，且F=-kx(x为物体相对平衡位置的位移)
C
解析：振动物体所受的合力不一定只提供回复力，故A错误;物体在离开平衡位置后受到回复力作用，且所受阻力足够小时，才能发生振动，故B错误，C正确;回复力公式F=-kx只是做简谐运动的物体所受回复力的条件，而不是所有振动物体所受回复力的条件，故D错误。
2.(5分)做简谐运动的物体经过A点时，加速度大小为1 m/s2，方向指向B点;当它经过B点时，加速度大小为2 m/s2，方向指向A点。若A、B之间的距离是6 cm，则关于它的平衡位置，下列说法正确的是 (　　　)
A.平衡位置在AB连线上A点外侧
B.平衡位置在AB连线上B点外侧
C.平衡位置在AB连线之间，但不能确定具体位置
D.平衡位置在AB连线之间，且距离A点为2 cm处
D
解析：根据牛顿第二定律可知简谐运动物体的加速度大小为a==，可知物体的加速度大小与相对于平衡位置的位移大小成正比，由于回复力方向总是指向平衡位置，则加速度方向总是指向平衡位置，由题意可知，物体经过A点时，加速度方向指向B点;物体经过B点时，加速度方向指向A点;则平衡位置在AB连线之间，设平衡位置与A点距离为x1，与B点距离为x2，则有x1+x2=6 cm，又aA︰aB=x1︰x2=1︰2，解得x1=2 cm，故选D。
3.(5分)(多选)一弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是 (　　　)
A.在t=0.2 s时，弹簧振子的动能最大
B.t=0.3 s和t=0.5 s时，弹簧振子的速度相同
C.振动的圆频率为2.5π rad/s
D.0.2~0.6 s内，弹簧振子加速度的方向始终相同
BC
解析：由图像可知，在t=0.2 s时，弹簧振子处于最大位移处，速度最小，动能最小，故A错误;由图像根据对称性可知，t=0.3 s和t=0.5 s时，弹簧振子的速度大小相等，方向相同，均沿x轴负方向运动，故B正确;由图像可知，振动的圆频率为ω== rad/s=2.5π rad/s，故C正确;由图像可知，在0.2~0.4 s内，弹簧振子加速度的方向沿x轴负方向;在0.4~0.6 s内，弹簧振子加速度的方向沿x轴正方向，故D错误。
4.(5分)如图所示，一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置，P、Q是振动过程中关于O点对称的两个位置，下列说法正确的是 (　　)
A.振子在从M点向O点运动过程中，速度减小，
弹性势能增大
B.振子在OP间与OQ间的运动时间相等
C.振子运动到P、Q两点时，位移相同
D.振子在从M点向N点运动过程中，加速度先增大后减小
B
解析：振子在从M点向O点运动过程中，速度增大，动能增大，弹性势能减小，A错误;由对称性可知，振子在OP间与OQ间的运动时间相等，B正确;由对称性可知，振子运动到P、Q两点时，位移等大反向，C错误;振子在从M点向N点运动过程中，加速度先减小后增大，D错误。
5.(5分)如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从A点由静止释放，O点为振动的平衡位置，振动物体在A、B两点之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是 (　　)
C
A.振动物体在O点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为0
B.在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力提供回复力
C.振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大
D.振动物体从A向B运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同
解析：O点为简谐运动的平衡位置，则振动物体在O点时受到的合力为0，则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡，可知此时弹簧处于伸长状态，弹性势能大于0，A错误。在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力的合力提供回复力，B错误。在简谐运动过程中，机械能的总量不变，在A、B两点时，振动物体的动能均为0，且振动物体在B点时的重力势能比在A点时的小，则振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比振动物体在A点时的大，C正确。振动物体从A到O做加速运动，速度和加速度方向相同;从O向B运动的过程中，振动物体的速度减小，则速度和加速度方向相反，D错误。
6.(5分)(多选)如图所示，一轻质弹簧下端系一质量为m的书写式激光笔，组成一弹簧振子，并将其悬挂于教室内一体机白板的前方。使弹簧振子沿竖直方向上下自由振动，白板以速率v水平向左匀速运动，激光笔在白板上留下书写印迹，图中相邻竖直虚线的间隔均为x0(未标出)，印迹上P、Q两点的纵坐标为y0和-y0。不计一切阻力，则 (　　)
BD
A.该弹簧振子的振动周期为
B.在激光笔留下PQ段印迹的过程中，弹簧对它做功为-2mgy0
C.在激光笔留下PQ段印迹的过程中，弹簧对它的冲量为0
D.在激光笔留下PQ段印迹的过程中，振动系统的重力势能和弹性势能之和先减小后增大
解析：题图中相邻竖直虚线的间隔均为x0，则该弹簧振子的振动周期为T=，故A错误;由于P、Q两位置弹簧振子的速度均为0，从P到Q根据动能定理得W弹+2mgy0=0-0，解得W弹=-2mgy0，故B正确;由于P、Q两位置弹簧振子的速度均为0，则P到Q的过程中，根据动量定理得I弹-mg·=0-0，解得I弹=，故C错误;振动系统从P到Q，重力势能、弹性势能和动能之和不变，由于动能先增大后减小，则重力势能和弹性势能之和先减小后增大，故D正确。

7.(5分)如图所示，物体A放置在物体B上，B与一轻弹簧相连，它们一起在光滑水平面上以O点为平衡位置做简谐运动，所能到达相对于O点的最大位移处分别为P点和Q点，运动过程中A、B之间无相对运动。已知弹簧的劲度系数为k，系统的振动周期为T，弹簧始终处于弹性限度内。下列说法中正确的是(　　)
A.物体B对A摩擦力的变化周期为
B.当物体B相对平衡位置的位移为x时，A、B间摩擦力的大小等于kx
C.物体B的速度为v时开始计时，每经过时间，物体B的速度仍为v
D.物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，物体B一定运动到OQ之间
D
解析：A、B之间无相对运动，对A进行受力分析，A所受重力与B对A的支持力平衡，由B对A的摩擦力提供回复力，可知，物体B对A摩擦力的变化周期为T，故A错误;当物体B相对平衡位置的位移为x时，对A、B整体分析有kx=(mA+mB)a，对A进行分析有f=mAa=，故B错误;根据简谐运动的对称性可知，物体B的速度为v时开始计时，每经过时间，物体B的速度大小仍为v，方向与v方向相反，故C错误;结合上述，根据简谐运动的对称性可知，物体B处于PO之间某位置时开始计时，经时间，物体B一定运动到OQ之间，故D正确。
8.(5分)(多选)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则 (　 　　)
A.t1时刻小球向下运动
B.t2时刻小球与影子相位差为π
C.t2时刻光源的加速度向上
D.t3时刻影子的位移为5A
AD
解析：t1时刻小球经过平衡位置向下运动，故A正确;t2时刻小球在最低点，影子也在最低点，小球与影子相位差为0，故B错误;t2时刻光源在最高点，回复力向下，由牛顿第二定律得加速度向下，故C错误;t3时刻影子的位移为x，影子到光源所处的水平面的距离为L，如图所示，
由几何关系得=，解得L=6A，t3时刻影子
的位移x=6A-A=5A，故D正确。
9.(5分)(多选)如图所示为一款玩具“弹簧公仔”，该玩具由头部、轻弹簧及底座组成，已知公仔头部质量为m，弹簧劲度系数为k，底座质量为0.5m。压缩公仔头部，然后由静止释放公仔头部，此后公仔头部在竖直方向上做简谐运动。重力加速度为g，当公仔头部运动至最高点时，底座对桌面的压力刚好为0，弹簧始终在弹性限度内。下列说法中正确的是 (　　　)
A.公仔头部做简谐运动的振幅为
B.公仔头部运动至最高点时，头部的加速度为g
C.公仔头部有最大速度时，弹簧处于原长状态
D.公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为3mg
AD
解析：公仔头部在最高点时，底座对桌面的压力刚好为0，故此时弹簧处于伸长状态，弹力大小为F弹1=0.5mg，对公仔头部F回1=F弹1+mg=mg，又F回1=kA，解得A=，故A正确;公仔头部运动至最高点时，头部的加速度a==1.5g，故B错误;公仔头部有最大速度时，弹簧的弹力和公仔头部的重力等大反向，弹簧处于压缩状态，故C错误;根据简谐运动的对称性，当公仔头部运动到最低点时F回2=F回1=mg=F弹2-mg，得F弹2=2.5mg，此时对底座受力分析FN=0.5mg+F弹2=3mg，公仔头部运动至最低点时，桌面对底座支持力的大小为3mg，故D正确。

10.(5分)(多选)光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的系统总能量表达式为E=kA2，其中k为弹簧的劲度系数，A为简谐运动的振幅。若振子质量为0.25 kg，弹簧的劲度系数为25 N/m。起振时系统具有势能0.06 J和动能0.02 J，则下列说法正确的是(　　　)
A.振子的最大加速度为8 m/s2
B.振子经过平衡位置时的速度为0.4 m/s
C.若振子在最大位移处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的动能增大
D.若振子在最大位移处时，质量突变为0.4 kg，则振子经过平衡位置的速度减小
AD
解析：弹簧振子振动过程中系统机械能守恒，则有kA2=0.06 J+0.02 J=0.08 J，所以该振动的振幅为A=0.08 m，由牛顿第二定律可知振子的最大加速度为a==8 m/s2，故A正确;振子经过平衡位置时，弹性势能为0，则系统机械能表现为动能，即mv2=0.08 J，所以速度为v=0.8 m/s，故B错误;振子在最大位移处时，速度为0，动能为0，所以质量突变为0.4 kg，不影响系统的总机械能，当振子运动到平衡位置时，势能为0，动能不变，由m'v'2=0.08 J，可知质量增加，速度减小，故C错误，D正确。
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