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　第5节　实验:用单摆测量重力加速度
课程要求 学科素养
会用单摆测量重力加速度的大小 物理观念 明确用单摆测定重力加速度的原理和方法;知道如何选择实验器材,能熟练地使用停表
科学思维 会用游标卡尺测量摆球的直径,会测量实际单摆的摆长;会测量单摆的振动时间,用平均值法求周期;会用平均值法、图像法求重力加速度
科学探究 通过实验培养学生的动手操作能力以及数据处理能力,培养实事求是的科学态度
一、实验思路
在摆角较小(小于5°)时的运动可看成简谐运动，根据其周期公式T=2π，可得g=。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
二、实验装置(如图所示)
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺等。
三、实验步骤
1.做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的金属小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。实验装置如图所示。
2.测摆长：用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l=l'+。
3.测周期：把单摆拉开一个角度，角度小于5°，静止释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4.改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
四、数据分析
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) 重力加速度g的平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法：由T=2π得T2=，以T2为纵轴、以l为横轴作出T2-l图像(如图所示)。其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
五、误差分析
1.系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。
2.偶然误差
主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。
六、注意事项
1.选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m;摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2.单摆摆线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。
3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不应超过5°。
4.摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
探究点一　教材原型实验
【例1】　用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示:
(1)(多选)组装单摆时，应在下列器材中选用AD(选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为10 cm左右的橡皮绳
C.直径为1.5 cm左右的塑料球
D.直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图丙(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是D。
A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B.以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T=
C.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，计数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T=
D.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置计数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则T=
【解析】　(1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线;为减小空气阻力影响，摆球应选密度大而体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)采用题图丙所示的固定方式，保证运动中摆长不变。
(3)在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故A、B错误;以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，计数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T=，故C错误;以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置计数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则T=，故D正确。
【例2】　在“利用单摆测重力加速度”的实验中。
(1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为99.15 cm;用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则摆球的直径为2.075 cm。
(2)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则重力加速度的表达式为g=。
(3)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值;乙同学作出T2-l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是:甲偏大，乙无影响。(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)
【解析】　(1)刻度尺的最小刻度为1 mm，则由题图甲读出，单摆的摆线长为99.15 cm，用游标卡尺测量摆球的直径，读数为d=2 cm+15× mm=2.075 cm。
(2)由单摆的周期公式T=2π，另由题图丙可知T=4t0，可得重力加速度的表达式为g=。
(3)甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值，由g真=，g测=可知，结果偏大。乙同学作出T2-l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，由T2=，T2=，斜率不变，对结果无影响。
探究点二　创新拓展实验
【例3】　某智能手机中有一款软件，其中的“磁传感器”功能能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下:
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，随即取下夹子。
③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。
根据以上实验过程，回答下列问题:
(1)图乙中的a、b分别记录了两次实验中磁感应强度的变化情况，a图测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为。b图中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆。
(2)实验中得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2-L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g=，小球的半径R=。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果不会(选填“会”或“不会”，下同)影响实验结果。地磁场对该实验结果不会产生影响。
【解析】　(1)题图乙中a图测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为(N-1)=t，得T=。b图中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆，小球到手机的距离不变，磁感应强度几乎不变。
(2)单摆摆长l=L+R，由单摆周期公式T=2π，得T2=L+R，图线的斜率为k=，纵轴上的截距为c=R，当地重力加速度g=，小球的半径R=。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果不会影响实验结果。离手机最近时，测得磁感应强度最大。地磁场对该实验结果不会产生影响。地磁场不变，实验中测量的是小球的磁感应强度和地磁场的磁感应强度的合磁感应强度。
【例4】　某同学用如图甲所示的双线摆测当地的重力加速度。两根悬线长均为l，均系于小球同一点，调节两悬点A、B在同一水平线上，A、B间距离也为l。小球为磁性小球，打开手机的磁传感器并将手机平放在小球的正下方，不考虑手机对小球运动的影响。
(1)先用螺旋测微器测小球的直径，示数如图乙所示，则小球直径d=4.700 mm;双线摆的摆长L=(用l和d表示)。
(2)使双线摆做小幅度摆动，某时刻起手机磁传感器测得磁感应强度随时间变化的规律如图丙所示，则小球振动的周期T=t0(用t0表示)。
(3)由实验测得当地的重力加速度g=(用l、d和t0表示)，若两悬点A、B间的实际距离小于l，则测得的重力加速度与真实值相比偏小(选填“偏大”“偏小”或“相等”)。
【解析】　(1)螺旋测微器读数为d=4.5 mm+20.0×0.01 mm=4.700 mm，摆长L=lcos 30°+=。
(2)设磁场变化的周期为T0，则=t0，解得T0=t0，则双线摆摆动的周期为T=2T0=t0。
(3)根据单摆周期公式T=2π，解得g==，若两悬点A、B间的实际距离小于l，则测得的摆长偏小，测得的重力加速度偏小。
1.在“用单摆测量重力加速度”实验中。
(1)(多选)下列操作正确的是BD。
A.甲图:小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B.乙图:细线上端用铁夹子固定
C.丙图:小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D.丁图:小球自由下垂时测量摆线的长度
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下停表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止停表，读出这段时间t，算出周期T=。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2-L图像，则他绘制的图像可能是D。
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将偏大(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
解析：(1)摆线与竖直方向的夹角不超过5°时，才可以认为摆球的运动是简谐运动，故A错误;细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确;当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误;实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
(2)根据T=2π，得T2=，可知T2与L成正比，所以D正确，A、B、C错误。
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g=可知，测得的重力加速度偏大。
2.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)如图甲所示，某实验小组在测量单摆的周期时，摆球在竖直平面内稳定摆动后，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次通过平衡位置时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T=(用t、n表示)。
(2)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L，并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2-L图线，但小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，由此得到的T2-L图像是图乙中的③(选填“①”“②”或“③”)，然后用图像的斜率k来计算重力加速度。这样算出来的g值会无影响(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
(3)(多选)实验中小红同学测重力加速度时，没有用图像处理，直接利用单摆周期公式计算，她算得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是BD。
A.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B.把n次摆动的时间误记为(n+1)次摆动的时间
C.开始计时，停表过早按下
D.把小球直径当作半径来计算摆长
解析：(1)摆球通过平衡位置时从1开始计数，则第n次通过平衡位置时，小球实际全振动次数为，而整个过程所用时间为t，则可知该单摆的周期为T==。
(2)由单摆周期公式T=2π，可得T2=·L，而小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，则有T2=(L+r)，由此得到的T2-L图像不过原点，且与纵轴上方有交点，相当于将标准图像向左平移，因此得到的应该是③这条图线;而由T2=·L可知，即使摆长取错，但用图像的斜率k来计算重力加速度，得到的重力加速度仍然是准确的，并无影响。
(3)摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际测量值偏小，由公式g=·L可知，计算得到的重力加速度偏小，故A不符合题意;把n次摆动的时间误记为(n+1)次摆动的时间，则测得的周期偏小，由重力加速度的计算公式可知，重力加速度的测量值偏大，故B符合题意;开始计时，停表过早按下，则测得的周期偏大，可知重力加速度的测量值将会偏小，故C不符合题意;把小球直径当作半径来计算摆长，则测量摆长大于实际摆长，因此会造成重力加速度的测量值大于实际值，故D符合题意。
3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)某同学分别选用四种材料不同、直径相同的实心球做实验，各组实验的测量数据如下。若要计算当地的重力加速度值，第2组实验数据最合理。
组别 摆球材料 摆长L/m 最大摆角 全振动次数N/次
1 铜 1.00 15° 40
2 铁 1.00 5° 40
3 铝 0.40 15° 40
4 木 0.40 5° 40
(2)用游标卡尺测小球的直径如图甲所示，其值为1.18 cm。
(3)该同学查
资料得知，单摆在最大摆角θ较大时，周期公式近似为T=2π（1+sin 2）。为了用图像法验证单摆周期T和最大摆角θ的关系，他测出摆长为l的同一单摆在不同最大摆角θ时的周期T，并根据实验数据描绘出如图乙所示的图线。
设图线延长后与横轴交点的坐标为b，则重力加速度的测量值g=(用l、b表示)。
解析：(1)为了减小误差，摆球选择质量较大、体积较小的，摆长大约1 m，通过累积法求出单摆的周期，取全振动次数为30~50次，同时最大摆角不能超过5°。所以选择第2组实验数据最合理。
(2)用游标卡尺测小球的直径，题图甲读数为11 mm+8× mm=11.8 mm=1.18 cm。
(3)单摆在最大摆角θ较大时周期公式近似为T=2π，则sin 2=-4，根据单摆周期T和最大摆角θ的关系图，该图线延长后与横轴交点的坐标为b，即0=b-4，解得g=。(共47张PPT)
第二章　机械振动
第5节　实验用单摆测量重力加速度
知识梳理 固基础
1
目录
要点探究 提素能
2
即时演练 堂堂清
3
课程要求 学科素养
会用单摆测量重力加速度的大小 物理观念 明确用单摆测定重力加速度的原理和方法;知道如何选择实验器材,能熟练地使用停表
科学思维 会用游标卡尺测量摆球的直径,会测量实际单摆的摆长;会测量单摆的振动时间,用平均值法求周期;会用平均值法、图像法求重力加速度
科学探究 通过实验培养学生的动手操作能力以及数据处理能力,培养实事求是的科学态度
知识梳理 固基础
一、实验思路
在摆角较小(小于5°)时的运动可看成简谐运动，根据其周期公式T=2π，可得g=l'+ '+ 。据此，通过实验测出摆长l和周期T，可计算得到当地的重力加速度值。
二、实验装置(如图所示)
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、游标卡尺等。
三、实验步骤
1.做单摆
取约1 m长的细丝线穿过带孔的金属小球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的上端用铁夹固定在铁架台上，并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处做上标记。实验装置如图所示。
2.测摆长：用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm)，用游标卡尺测出摆球的直径d，则摆长为l=l'+。
3.测周期：把单摆拉开一个角度，角度小于5°，静止释放摆球。摆球经过最低位置(平衡位置)时，用停表开始计时，测出单摆完成30次(或50次)全振动的时间，求出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4.改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格。
l'+
四、数据分析
1.公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g=中求出g的值，最后求出g的平均值。设计如表所示实验表格
实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速度g/(m·s-2) 重力加速度g的平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法：由T=2π得T2= AD ，以T2为纵轴、以l为横轴作出T2-l图像(如图所示)。其斜率k=，由图像的斜率即可求出重力加速度g。
五、误差分析
1.系统误差
主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内摆动等。
2.偶然误差
主要来自摆长的测量和时间(即单摆周期)的测量。多次测量后取平均值可以减小偶然误差。
六、注意事项
1.选择细而不易伸长的线，长度一般不应短于1 m;摆球应选用密度较大、直径较小的金属球。
2.单摆摆线的上端应夹紧在铁夹中，不可随意卷在铁架台的杆上。
3.摆动时摆线偏离竖直方向的角度应很小，不应超过5°。
4.摆球摆动时，要使之保持在同一竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的全振动次数时，应从摆球通过最低位置(平衡位置)时开始计时，要测n次全振动的时间t。
要点探究 提素能
【例1】　用单摆测量重力加速度的实验装置如图甲所示:
(1)(多选)组装单摆时，应在下列器材中选用AD(选填选项前的字母)。
A.长度为1 m左右的细线
B.长度为10 cm左右的橡皮绳
C.直径为1.5 cm左右的塑料球
D.直径为1.5 cm左右的铁球
(2)选择好器材，将符合实验要求的单摆挂在铁架台上，应采用图丙(选填“乙”或“丙”)所示的固定方式。
探究点一　教材原型实验
AD
丙
【解析】　(1)为减小实验误差，应选择1 m左右的细线;为减小空气阻力影响，摆球应选密度大而体积小的铁球，因此需要的实验器材是A、D。
(2)采用题图丙所示的固定方式，保证运动中摆长不变。
(3)下列测量单摆振动周期的方法正确的是D。
A.把摆球从平衡位置拉开到某一位置，然后由静止释放摆球，在释放摆球的同时启动停表开始计时，当摆球再次回到原来位置时，按停停表停止计时
B.以单摆在最大位移处为计时基准位置，用停表测出摆球第n次回到基准位置的时间t，则T=
C.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，计数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T=
D.以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置计数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则T=
D
【解析】　(3)在测量周期时，应在摆球经过最低点开始计时，测量多次全振动的时间计算周期，故A、B错误;以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每经过最低位置，计数一次，用停表记录摆球n次经过最低位置的时间t，则T=，故C错误;以摆球在最低位置处为计时基准位置，摆球每从同一方向经过摆球的最低位置计数一次，用停表记录摆球从同一方向n次经过最低位置的时间t，则T=，故D正确。
【例2】　在“利用单摆测重力加速度”的实验中。
(1)用最小刻度为1 mm的刻度尺测量摆线长，如图甲所示，单摆的摆线长为99.15 cm;用游标卡尺测量摆球的直径，如图乙所示，则摆球的直径为2.075 cm。
(2)实验时用拉力传感器测得摆线的拉力随时间变化的图像，如图丙所示。若用l表示摆长，则重力加速度的表达式为g=。
99.15
2.075
【解析】　(1)刻度尺的最小刻度为1 mm，则由题图甲读出，单摆的摆线长为99.15 cm，用游标卡尺测量摆球的直径，读数为d=2 cm+15× mm=2.075 cm。
(2)由单摆的周期公式T=2π，另由题图丙可知T=4t0，可得重力加速度的表达式为g=。
(3)在进行实验数据处理时，甲、乙两位同学把摆线长和小球直径之和作为摆长。甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值;乙同学作出T2-l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，两同学处理数据的方法对结果的影响是:甲偏大，乙无影响。(均选填“偏大”“偏小”或“无影响”)
偏大
无影响
【解析】　(3)甲同学直接利用公式求出各组重力加速度，再求出平均值，由g真=，g测=可知，结果偏大。乙同学作出T2-l图像后求出斜率，然后算出重力加速度，由T2=，T2=，斜率不变，对结果无影响。
①把智能手机正面朝上放在悬点的正下方，接着往侧边拉开小球，并用夹子夹住。
②打开夹子释放小球，小球运动，随即取下夹子。
③运行软件，点开“磁传感器”功能，手机记录下磁感应强度的变化。
④改变摆线长和夹子的位置，测量出各次实验的摆线长L及相应的周期T。
根据以上实验过程，回答下列问题:
【例3】　某智能手机中有一款软件，其中的“磁传感器”功能能实时记录手机附近磁场的变化，磁极越靠近手机，“磁传感器”记录下的磁感应强度越大。现用手机、磁化的小球、铁架台、塑料夹子等实验器材组装成如图甲所示的装置，来测量重力加速度，实验步骤如下:
探究点二　创新拓展实验
(1)图乙中的a、b分别记录了两次实验中磁感应强度的变化情况，a图测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，则单摆周期T的测量值为。b图中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆。
形成
了圆锥摆
【解析】　(1)题图乙中a图测得连续N个磁感应强度最大值之间的总时间为t，相邻的磁感应强度最大值之间时间间隔为(N-1)=t，得T=。b图中手机记录下的磁感应强度几乎不变，可能的操作原因是形成了圆锥摆，小球到手机的距离不变，磁感应强度几乎不变。
(2)实验中得到多组摆线长L及相应的周期T后，作出了T2-L图线，图线的斜率为k，在纵轴上的截距为c，由此得到当地重力加速度g=，小球的半径R=。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果不会(选填“会”或“不会”，下同)影响实验结果。地磁场对该实验结果不会产生影响。
不会
不会
【解析】　(2)单摆摆长l=L+R，由单摆周期公式T=2π，得T2=L+R，图线的斜率为k=，纵轴上的截距为c=R，当地重力加速度g=，小球的半径R=。
(3)实验中，若手机放的位置不在悬点正下方，则测量结果不会影响实验结果。离手机最近时，测得磁感应强度最大。地磁场对该实验结果不会产生影响。地磁场不变，实验中测量的是小球的磁感应强度和地磁场的磁感应强度的合磁感应强度。
【例4】　某同学用如图甲所示的双线摆测当地的重力加速度。两根悬线长均为l，均系于小球同一点，调节两悬点A、B在同一水平线上，A、B间距离也为l。小球为磁性小球，打开手机的磁传感器并将手机平放在小球的正下方，不考虑手机对小球运动的影响。
(1)先用螺旋测微器测小球的直径，示数如图乙所示，则小球直径d= mm;双线摆的摆长L=(用l和d表示)。
【解析】　(1)螺旋测微器读数为d=4.5 mm+20.0×0.01 mm=4.700 mm，摆长L=lcos 30°+=。
(2)使双线摆做小幅度摆动，某时刻起手机磁传感器测得磁感应强度随时间变化的规律如图丙所示，则小球振动的周期T=t0(用t0表示)。
(3)由实验测得当地的重力加速度g=(用l、d和t0表示)，若两悬点A、B间的实际距离小于l，则测得的重力加速度与真实值相比偏小(选填“偏大”“偏小”或“相等”)。

t0
偏小
【解析】　(2)设磁场变化的周期为T0，则=t0，解得T0=t0，则双线摆摆动的周期为T=2T0=t0。
(3)根据单摆周期公式T=2π，解得g==，若两悬点A、B间的实际距离小于l，则测得的摆长偏小，测得的重力加速度偏小。
即时演练 堂堂清
1.在“用单摆测量重力加速度”实验中。
(1)(多选)下列操作正确的是BD。
A.甲图:小球从偏离平衡位置60°开始摆动
B.乙图:细线上端用铁夹子固定
C.丙图:小球到达最高点时作为计时开始与终止的位置
D.丁图:小球自由下垂时测量摆线的长度
BD
解析：(1)摆线与竖直方向的夹角不超过5°时，才可以认为摆球的运动是简谐运动，故A错误;细线上端应用铁夹子固定，防止松动引起摆长变化，故B正确;当小球运动到最低点时开始计时误差较小，故C错误;实验时应该测量小球自由下垂时摆线的长度，故D正确。
(2)某同学通过测量30次全振动的时间来测定单摆的周期T，他在单摆经过平衡位置时按下停表记为“1”，若同方向再次经过平衡位置时记为“2”，在数到“30”时停止停表，读出这段时间t，算出周期T=。其他操作步骤均正确。多次改变摆长时，他均按此方法记录多组数据，并绘制了T2-L图像，则他绘制的图像可能是D。
(3)按照(2)中的操作，此同学获得的重力加速度将偏大(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
D
偏大
解析：(2)根据T=2π，得T2=，可知T2与L成正比，所以D正确，A、B、C错误。
(3)实际的全振动次数为29，按30次计算，则计算得到的周期测量值偏小，根据g=可知，测得的重力加速度偏大。
2.在“用单摆测量重力加速度”的实验中，
(1)如图甲所示，某实验小组在测量单摆的周期时，摆球在竖直平面内稳定摆动后，摆球通过平衡位置时从1开始计数，同时开始计时，当摆球第n次通过平衡位置时停止计时，记录的时间为t，此单摆的周期T=______(用t、n表示)。
解析：(1)摆球通过平衡位置时从1开始计数，则第n次通过平衡位置时，小球实际全振动次数为，而整个过程所用时间为t，则可知该单摆的周期为T==。
(2)为了提高实验的准确度，在实验中可改变几次摆长L，并测出相应的周期T，从而得出几组对应的L和T的数值，以L为横坐标、T2为纵坐标作出T2-L图线，但小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，由此得到的T2-L图像是图乙中的③(选填“①”“②”或“③”)，然后用图像的斜率k来计算重力加速度。这样算出来的g值会无影响(选填“偏大”“偏小”或“无影响”)。
③
无影响
解析：(2)由单摆周期公式T=2π，可得T2=·L，而小明同学不小心每次都把绳长当作摆长了，则有T2=(L+r)，由此得到的T2-L图像不过原点，且与纵轴上方有交点，相当于将标准图像向左平移，因此得到的应该是③这条图线;而由T2=·L可知，即使摆长取错，但用图像的斜率k来计算重力加速度，得到的重力加速度仍然是准确的，并无影响。
(3)(多选)实验中小红同学测重力加速度时，没有用图像处理，直接利用单摆周期公式计算，她算得的重力加速度值经查证明显大于当地的重力加速度值，下列原因可能的是BD。
A.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
B.把n次摆动的时间误记为(n+1)次摆动的时间
C.开始计时，停表过早按下
D.把小球直径当作半径来计算摆长
BD
解析：(3)摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，则实际测量值偏小，由公式g=·L可知，计算得到的重力加速度偏小，故A不符合题意;把n次摆动的时间误记为(n+1)次摆动的时间，则测得的周期偏小，由重力加速度的计算公式可知，重力加速度的测量值偏大，故B符合题意;开始计时，停表过早按下，则测得的周期偏大，可知重力加速度的测量值将会偏小，故C不符合题意;把小球直径当作半径来计算摆长，则测量摆长大于实际摆长，因此会造成重力加速度的测量值大于实际值，故D符合题意。
3.在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)某同学分别选用四种材料不同、直径相同的实心球做实验，各组实验的测量数据如下。若要计算当地的重力加速度值，第2 组实验数据最合理。
组别 摆球材料 摆长L/m 最大摆角 全振动次数N/次
1 铜 1.00 15° 40
2 铁 1.00 5° 40
3 铝 0.40 15° 40
4 木 0.40 5° 40
2
解析：(1)为了减小误差，摆球选择质量较大、体积较小的，摆长大约1 m，通过累积法求出单摆的周期，取全振动次数为30~50次，同时最大摆角不能超过5°。所以选择第2组实验数据最合理。
(2)用游标卡尺测小球的直径如图甲所示，其值为1.18 cm。
解析：(2)用游标卡尺测小球的直径，题图甲读数为11 mm+8× mm=11.8 mm=1.18 cm。
1.18
(3)该同学查资料得知，单摆在最大摆角θ较大时，周期公式近似为T=
2π (1+sin 2) 。为了用图像法验证单摆周期T和最大摆角θ的关系，他测出摆长为l的同一单摆在不同最大摆角θ时的周期T，并根据实验数据描绘出如图乙所示的图线。
设图线延长后与横轴交点的坐标为b，则重力加速度的测量值g=(用l、b表示)。
解析：(3)单摆在最大摆角θ较大时周期公式近似为T=2π，则sin 2=-4，根据单摆周期T和最大摆角θ的关系图，该图线延长后与横轴交点的坐标为b，即0=b-4，解得g=。
本课结束

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