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　第6节　受迫振动　共振
课程要求 学科素养
通过实验,认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用 物理观念 知道什么是固有振动和固有频率,知道什么是阻尼振动,什么是驱动力,什么是受迫振动,初步形成共振的概念
科学思维 了解阻尼振动中的能量转化,知道受迫振动的频率等于驱动力的频率,能根据共振曲线研究共振
要点一　振动中的能量损失
1.固有振动和固有频率
(1)固有振动:振动系统在没有外力干预的情况下的振动，其振动周期或频率与振幅无关，仅由系统自身的性质决定。
(2)固有频率:固有振动的频率。
2.阻尼振动
(1)阻尼振动:振动系统受到阻碍作用时，振幅随时间逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去，从而自身的机械能减少。
如图所示为一竖直悬挂的弹簧振子，用手将振子向下拉动一下释放。
观察较长一段时间，你发现振子在振动过程中振幅有什么变化 为什么会出现这种现象
提示：振子在振动的过程中振幅逐渐减小，因为振子在实际振动过程中受到空气的阻碍作用，振动的能量逐渐减少。
1.对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定。
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快。
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。如用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理。
2.无阻尼振动(等幅振动)
如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保持不变，称为无阻尼振动。
【例1】　如图所示为单摆阻尼振动的位移x随时间t变化的图像，t1、t2时刻的位移大小均为2 cm，t3时刻的位移大于2 cm。关于摆球在t1、t2和t3时刻的速度、重力势能、动能、机械能的分析，下列说法正确的是 (　C　)
A.摆球在t1时刻的机械能等于t2时刻的机械能
B.摆球在t1时刻的动能等于t2时刻的动能
C.摆球在t1时刻的重力势能等于t2时刻的重力势能
D.摆球在t3时刻的速度大于t2时刻的速度
【解析】　摆球在t1时刻到最低点的高度等于t2时刻到最低点的高度，所以摆球在t1时刻的重力势能等于t2时刻的重力势能，C正确;由于阻力做功，摆球在t1时刻的机械能大于t2时刻的机械能，A错误;摆球在t1时刻的速度大于t2时刻的速度，所以摆球在t1时刻的动能大于t2时刻的动能，B错误;摆球在t3时刻的速度等于0，t2时刻的速度不等于0，所以摆球在t3时刻的速度小于t2时刻的速度，D错误。
【例2】　将一个力电传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出的下列判断中，正确的是 (　C　)
A.t=0.2 s时，摆球正经过最高点
B.t=1.1 s时，摆球正经过最低点
C.摆球摆动过程中机械能减小
D.摆球摆动的周期是T=0.6 s
【解析】　摆球经过最低点时，悬线上的拉力最大，由题图知在t=0.2 s时，拉力最大，所以此时摆球经过最低点，A错误;t=1.1 s时拉力最小，摆球正经过最高点，B错误;摆球摆动过程中，拉力的峰值越来越小，说明摆球在最低点的速度越来越小，则机械能越来越小，C正确;在一个周期内摆球两次经过最低点，根据图像知周期T=1.2 s，D错误。
阻尼振动的能量特点
物体在做阻尼振动的过程中,总机械能逐渐减小,物体位移大小相等时,势能大小相等,但动能与上一次相比将减小。
要点二　受迫振动
1.驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫作驱动力。
2.受迫振动
(1)定义:系统在驱动力作用下的振动。
(2)受迫振动的频率(周期):物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速转动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来。
实际动手做一下，然后回答以下几个问题。
(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子，从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动
(2)从没有系统外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动
(3)用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动快慢有何不同 这能说明什么问题
(4)在转动手柄的过程中，弹簧振子的振幅是否可以不变 为什么
提示：(1)阻尼振动。
(2)固有振动。
(3)转速大时弹簧振子振动得快，说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定。
(4)振幅可以不变，周期性的外力作用于振动系统，可以对系统做功，补偿系统损失的能量。
　简谐运动和阻尼振动、受迫振动的比较
项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
受力情况 不受阻力作用 受到阻力作用 受阻力和驱动力作用
振幅 振幅不变 振幅会越来越小 稳定后振幅不变
振动周期或频率 由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率 由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率 由驱动力周期或频率决定，即T=T驱或f=f驱
振动图像 形状不确定
振动能量 振动物体的机械能不变 振动物体的机械能减少 由产生驱动力的物体提供
实例 弹簧振子的振动 收音机喇叭纸盆的振动、洗衣机工作时机壳的振动 钟摆的摆动、机械工作时底座的振动
【例3】　如图所示，支架上拴一条水平张紧的细绳，在细绳上悬挂四个单摆，其中A、D摆的摆长约为36 cm。现将A摆拉离平衡位置后释放，待各摆振动稳定后(g取π2 m/s2)，下列说法正确的是 (　A　)
A.B摆振动的周期为1.2 s
B.C摆振动的周期小于1.2 s
C.B摆振动的固有周期小于A摆的固有周期
D.D摆振动的周期大于1.2 s
【解析】　将A摆拉离平衡位置后释放，待各摆振动稳定后，B、C、D都做受迫振动，周期都等于A摆振动的周期，则有TB=TC=TD=TA=2π=1.2 s，故A正确，B、D错误;由单摆周期公式T=2π可知TB固>TA固，故C错误。
【例4】　如图所示的装置可用于研究受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给轻弹簧和砝码组成的系统提供驱动力，使其做受迫振动。已知该系统的固有频率为f0，改变把手的转动速度可以调整驱动力的频率。则以下说法中正确的是 (　B　)
A.改变把手的转动速度，系统做受迫振动的频率保持不变
B.系统做受迫振动的频率总等于驱动力的频率
C.匀速转动把手的速度越大，系统的振幅也越大
D.该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
【解析】　振动系统稳定时，系统做受迫振动的频率等于驱动力的频率，当把手的转动速度改变，即驱动力的频率改变时，系统做受迫振动的频率改变，A错误，B正确;匀速转动把手的速度越大，驱动力的频率越大，由于不能判断驱动力的频率与固有频率的大小关系，则不能确定系统振幅的变化，C错误;稳定时系统的频率等于驱动力的频率，D错误。
要点三　共振现象及其应用
1.定义：驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，物体做受迫振动的振幅达到最大值，这种现象称为共振。
2.共振曲线(如图所示)
3.共振的防止与利用
(1)利用:由共振的条件知，要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。如共振筛、荡秋千、共振转速计等。
(2)防止:由共振曲线可知，在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好。如:部队过桥应便步走。
说明:共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。
洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水筒还要转动一会儿才能停下来。在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减弱直至停下来。
(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱
(2)期间剧烈振动的原因是什么
提示：(1)开始时，脱水筒转动的频率远高于洗衣机的固有频率，振幅较小，振动比较弱。
(2)当洗衣机脱水筒转动的频率等于洗衣机的固有频率时发生共振，振动剧烈。
1.
共振曲线的理解：共振曲线直观地反映出了驱动力的频率f对做受迫振动物体的振幅A的影响，如图所示。由共振曲线可知，驱动力的频率f与物体固有频率f0越接近，做受迫振动物体的振幅A越大;两者频率相等时，做受迫振动物体的振幅A最大。
2.减振原理
思路一:给被保护的物体加一层减振的阻尼材料(如泡沫塑料等)，使冲击过程的机械能尽可能多地转化为阻尼材料的内能，减轻被保护物体受到的冲击作用。
思路二:在被保护的物体与外界冲击作用之间安装一个“物体—弹簧”系统，如果该系统的固有周期比外界冲击力的周期大很多，它不会及时地把该冲击力传递给被保护的物体，这种延缓的过程实际上对冲击力起到了削弱的作用。
【例5】　我国古代有一种利用共振原理的古琴调弦技术，如图所示，将一小纸人放在需要调整音准的弦上，然后拨动另一个音调准确的古琴上对应的琴弦，小纸人跳动越明显代表音调越准确，调准音调后，下列说法错误的是 (　D　)
A.拨动其他音调的琴弦，小纸人跳动不明显
B.敲击对应音调的音叉，也可以让小纸人跳动明显
C.拨动对应音调的琴弦力量越大，小纸人跳动幅度越大
D.调弦过程中琴弦的机械能将全部转化为小纸人的机械能
【解析】　小纸人跳动明显，表明小纸人所在弦发生了共振，振幅最大，古琴上对应的琴弦与小纸人所在琴弦的固有频率相等，而拨动其他音调的琴弦，由于频率与小纸人所在弦的固有频率不相等，没有发生共振，故小纸人跳动不明显，A正确;敲击对应音调的音叉，其振动频率等于小纸人所在弦的固有频率，小纸人所在的弦发生共振，小纸人跳动明显，B正确;拨动对应音调的琴弦力量越大，对应的能量越大，小纸人跳动幅度越大，C正确;调弦过程中琴弦的振动导致其他弦也发生受迫振动，因此调弦过程中琴弦的机械能只有部分转化为小纸人的机械能，D错误。
【例6】　为了提高坚果的采摘率和工作效率，同时提高生产安全系数，工程技术人员发明了一种果树振动采摘器，将采摘器套在树干上，树振动使得树上的坚果落下，如图所示。下列说法正确的是 (　B　)
A.针对不同树木，采摘器振动频率最大时坚果采摘效果最好
B.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与采摘器的振动频率相同
C.采摘器对不同粗细树干采摘结束后，树干的振动频率相同
D.随着采摘器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
【解析】　根据共振的条件，当采摘器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，随着采摘器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，A、D错误;树干在采摘器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细的树干的振动频率始终与采摘器的振动频率相同，B正确;采摘结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干的振动频率不同，C错误。
1.(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是 (　AD　)
A.单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B.单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.单摆振幅减小，频率也随着减小
D.单摆振幅虽然减小，但其频率不变
解析：单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为内能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，不能确定两个时刻的动能与势能的大小关系，故A正确，B错误。做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，故C错误，D正确。
2.(多选)下列说法正确的是 (　ACD　)
A.实际的自由振动必然是阻尼振动
B.在外力作用下的振动是受迫振动
C.阻尼振动的振幅越来越小
D.受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
解析：实际的自由振动中，由于阻力不可避免，故是阻尼振动，A正确;只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动，B错误;阻尼振动振幅越来越小，C正确;受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率，D正确。
3.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则 (　B　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的“峰”将向右移动
解析：由题图可知，若单摆的振动频率与固有频率相等，则周期为2 s，由T=2π，可得l≈1 m，故A错误，B正确;若摆长增大，则单摆的固有频率减小，其共振曲线的“峰”将向左移动，故C、D错误。
4.如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B，而用手向下拉振子小球m，放开手后，让小球上下自由振动测得弹簧振子做30次全振动所用的时间是15 s;如果匀速转动把手，也可使弹簧振子上下振动。若使把手以转速n=30 r/min匀速转动，当弹簧振子的振动达到稳定后，它的振动周期是2 s。若要想使弹簧振子的振幅达到最大，则把手的转速应为120 r/min。
解析：受迫振动的特点:f受迫=f驱，f受迫与固有频率无关，若发生共振则f驱=f固，T固==0.5 s。转速n=30 r/min= r/s=0.5 r/s，角速度ω=2πn=π rad/s，所以T受迫==2 s，若使振子振幅达到最大，则有T驱=T固，即=0.5，则n'=2 r/s=120 r/min。
课时作业15
(总分:55分)
1.(5分)关于受迫振动，下列说法正确的是 (　D　)
A.为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要齐步通过桥梁
B.鼓手随音乐敲击鼓面时鼓面的振动是自由振动
C.洗衣机工作时机壳的振动频率等于其固有频率
D.唱歌时胸腔共鸣是由于声带振动激起空气柱振动传到胸腔引起的共振
解析：为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要便步通过桥梁，A错误;鼓手随音乐敲击鼓面时鼓面的振动是受迫振动，B错误;洗衣机工作时机壳的振动频率等于电机转动时所给的驱动力的频率，C错误;唱歌时胸腔共鸣是由于声带振动激起空气柱振动传到胸腔引起的共振，D正确。
2.(5分)如图所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，倒些清水在盆中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起层层水花。下列关于“洗”的说法正确的是 (　C　)
A.手掌摩擦得越快，则溅起的水花越高
B.手掌摩擦的摩擦力越大，则溅起的水花越高
C.该种现象属于受迫振动
D.盆中的嗡嗡声是手与“洗”摩擦产生的声音
解析：用手掌摩擦盆耳，溅起水花是因为“洗”发生了共振，该种现象属于受迫振动，当手掌摩擦的频率等于“洗”的固有频率，使其达到共振时，溅起的水花最高，手掌摩擦得越快溅起的水花不一定越高，盆中的嗡嗡声是“洗”振动时产生的声音。故A、B、D错误，C正确。
3.(5分)在火车车厢里用悬线吊着一个小球，铁轨接合处的震动使球摆动，如果每段铁轨长12.6 m，摆长40 cm，g取10 m/s2，则下列说法正确的是 (　C　)
A.该单摆的固有周期约为2.25 s
B.不论车速多大，该单摆不可能产生共振
C.火车速度约10 m/s时，单摆振幅最大
D.增加单摆的摆长后，火车速度越大，单摆振幅越大
解析：根据单摆周期公式知T=2π，代入得T=1.26 s，A错误;当火车的振动频率与单摆的固有频率相同时，单摆发生共振，振幅最大，B错误;当火车在长12.6 m的铁轨上运行的时间为1.26 s时，发生共振，则有v== m/s=10 m/s，C正确;增加单摆的摆长，根据T=2π，单摆的固有周期增大，火车速度增大则火车在长12.6 m的铁轨上运行的时间减小，不能发生共振，单摆振幅不会越大，D错误。
4.(5分)如图所示，汽车的车身与轮胎间装有弹簧和减振器，某车车身—弹簧系统的固有频率为1.5 Hz，当汽车匀速通过学校门口水平路面上间距为2 m的若干减速带时，下列说法正确的是 (　C　)
A.汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害
B.汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害
C.当汽车以3 m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
D.当汽车以4 m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
解析：由v=xf=2×1.5 m/s=3 m/s，可得当汽车以3 m/s的速度行驶时，过减速带的频率与汽车的固有频率相同，发生共振，汽车颠簸得最厉害，故选C。
5.(5分)如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高;增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。现在某电压下偏心轮的转速是2 r/s，下列说法正确的是 (　C　)
A.筛子现在振动的频率为0.8 Hz
B.提高偏心轮的转速，筛子的振动频率保持不变
C.仅增大偏心轮的电压，可以使筛子振幅减小
D.仅增大筛子的质量，可以使筛子振幅增大
解析：筛子做受迫振动，则筛子现在振动的频率等于偏心轮的频率为2 Hz，提高偏心轮的转速，偏心轮的频率增大，则筛子的振动频率增大，故A、B错误;由题图乙可知，筛子固有频率为0.8 Hz，仅增大偏心轮的电压，提高偏心轮的转速，偏心轮的频率增大，则固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故C正确;仅增大筛子的质量，筛子固有频率减小，则固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故D错误。
6.(5分)(多选)将一力传感器与计算机相接，通过计算机可以显示传感器所测得的力的大小。现将某单摆悬挂在力传感器的探头上，并让其做小幅度摆动，计算机上便显示出摆线的拉力大小随时间变化的规律图，如图所示，则关于此单摆的说法错误的是 (　CD　)
A.单摆的周期T=2.0 s
B.单摆的摆长约1 m
C.t=1.0 s时摆球正经过最低点
D.摆球运动过程中机械能守恒
解析：摆球在运动过程中，在最低点摆线的拉力最大，在一个周期内摆球两次经过最低点，根据图像知周期为2.0 s，t=0.5 s和t=1.5 s时摆球正经过最低点，故A正确，C错误;根据单摆的周期公式T=2π，可得l=g=×10 m≈1 m，故B正确;摆球在运动过程中摆幅越来越小，因此机械能减小，故D错误。该题选错误的，故选C、D。
7.(5分)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及减振器组成的支持系统。某型号轿车的“车身—悬挂系统”的固有周期是0.5 s，这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带，已知相邻两条减速带间的距离为1.0 m，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是 (　D　)
A.当轿车以30 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的频率为2 Hz
B.轿车通过减速带的速度大小不同，车身上下振动的幅度大小也必然不同
C.轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
D.当轿车以7.2 km/h的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
解析：当轿车以30 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的周期为T== s，则车身上下振动的频率为f==8 Hz，A错误;车身上下振动的频率与车身系统的固有频率越接近，车身上下振动的幅度越大，所以当轿车通过减速带的速度大小不同时，车身上下振动的幅度大小可能相同，B、C错误;当轿车以7.2 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的频率为f===2 Hz，车身系统的固有频率为f0==2 Hz，此时f=f0，所以车身发生共振，上下颠簸得最剧烈，D正确。
8.(5分)飞力士棒是一种轻巧的运动训练器材，是一根弹性杆两端带有负重的器械，如图(a)。某型号的飞力士棒质量为600 g，长度为1.5 m，固有频率为4.5 Hz。如图(b)，某人用手振动该飞力士棒进行锻炼，则下列说法正确的是 (　D　)
A.使用者用力越大，飞力士棒振动越快
B.无论手振动的频率多大，飞力士棒振动的频率都是4.5 Hz
C.手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定变大
D.手每分钟振动270次时，飞力士棒产生共振
解析：人用手振动该飞力士棒，让其做受迫振动，而受迫振动的频率与驱动力的大小无关，其频率等于周期性外力的频率，而要使该飞力士棒产生共振，则驱动力的频率等于其固有频率，此时需要驱动该飞力士棒每分钟振动n=ft=4.5×60=270(次)，故A错误，D正确;飞力士棒的频率始终等于驱动力的频率，故B错误;若手振动的频率大于飞力士棒的固有频率，则随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定变小，故C错误。
9.(5分)(多选)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个单摆都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是 (　CD　)
A.若使M振动起来，P不会振动
B.若使N振动起来，稳定时N振动的周期仍小于O的振动周期
C.若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D.若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
解析：若使M振动起来，其他单摆均会做受迫振动，故A错误;受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误;若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确;O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则周期为3 s，故D正确。
10.(10分)减振器是加速车架与车身振动的衰减以改善汽车的行驶舒适性的汽配元件，在大多数汽车的悬架系统内部都装有减振器。汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧套在减振器上，两者同时起到改善作用。为了研究方便，我们把两者简化成一个等效劲度系数为k=1.5×105 N/m的“弹簧”。汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f=(l为弹簧的压缩长度)，若人体看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感觉最难受 (g取9.8 m/s2，提示:当汽车的振动频率与人的固有频率相等时，人体与汽车发生共振，人感觉最难受)
答案：5人
解析：人体固有频率为2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f==
f固，解得l=0.062 1 m，由胡克定律有kl=(m车+nm人)g，解得n=5，故这辆车乘坐5个人时，人感觉最难受。(共58张PPT)
第二章　机械振动
第6节　受迫振动　共振
核心要点 点点过
1
目录
即时演练 堂堂清
2
课时作业15
3
课程要求 学科素养
通过实验,认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件及其应用 物理观念 知道什么是固有振动和固有频率,知道什么是阻尼振动,什么是驱动力,什么是受迫振动,初步形成共振的概念
科学思维 了解阻尼振动中的能量转化,知道受迫振动的频率等于驱动力的频率,能根据共振曲线研究共振
核心要点 点点过
1.固有振动和固有频率
(1)固有振动:振动系统在没有外力干预的情况下的振动，其振动周期或频率与振幅无关，仅由系统自身的性质决定。
(2)固有频率:固有振动的频率。
要点一　振动中的能量损失
没有外力干预
固有
2.阻尼振动
(1)阻尼振动:振动系统受到阻碍作用时，振幅随时间逐渐减小的振动，其振动图像如图所示。
(2)振动系统能量衰减的两种方式
①振动系统受到摩擦阻力作用，机械能逐渐转化为内能。
②振动系统引起邻近介质中各质点的振动，使能量向四周辐射出去，从而自身的机械能减少。
阻碍
振幅
摩擦
内能
减少
如图所示为一竖直悬挂的弹簧振子，用手将振子向下拉动一下释放。
观察较长一段时间，你发现振子在振动过程中振幅有什么变化 为什么会出现这种现象
提示：振子在振动的过程中振幅逐渐减小，因为振子在实际振动过程中受到空气的阻碍作用，振动的能量逐渐减少。
1.对阻尼振动的理解
(1)同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定。
(2)阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快。
(3)物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。如用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
(4)阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当成简谐运动来处理。
2.无阻尼振动(等幅振动)
如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保持不变，称为无阻尼振动。
【例1】　如图所示为单摆阻尼振动的位移x随时间t变化的图像，t1、t2时刻的位移大小均为2 cm，t3时刻的位移大于2 cm。关于摆球在t1、t2和t3时刻的速度、重力势能、动能、机械能的分析，下列说法正确的是 (　 　)
A.摆球在t1时刻的机械能等于t2时刻的机械能
B.摆球在t1时刻的动能等于t2时刻的动能
C.摆球在t1时刻的重力势能等于t2时刻的重力势能
D.摆球在t3时刻的速度大于t2时刻的速度
C
【解析】　摆球在t1时刻到最低点的高度等于t2时刻到最低点的高度，所以摆球在t1时刻的重力势能等于t2时刻的重力势能，C正确;由于阻力做功，摆球在t1时刻的机械能大于t2时刻的机械能，A错误;摆球在t1时刻的速度大于t2时刻的速度，所以摆球在t1时刻的动能大于t2时刻的动能，B错误;摆球在t3时刻的速度等于0，t2时刻的速度不等于0，所以摆球在t3时刻的速度小于t2时刻的速度，D错误。
【例2】　将一个力电传感器接到计算机上，就可以测量快速变化的力，用这种方法测得的某单摆摆动时悬线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示。某同学由此图像提供的信息作出的下列判断中，正确的是 (　 　)
A.t=0.2 s时，摆球正经过最高点
B.t=1.1 s时，摆球正经过最低点
C.摆球摆动过程中机械能减小
D.摆球摆动的周期是T=0.6 s
C
【解析】　摆球经过最低点时，悬线上的拉力最大，由题图知在t=0.2 s时，拉力最大，所以此时摆球经过最低点，A错误;t=1.1 s时拉力最小，摆球正经过最高点，B错误;摆球摆动过程中，拉力的峰值越来越小，说明摆球在最低点的速度越来越小，则机械能越来越小，C正确;在一个周期内摆球两次经过最低点，根据图像知周期T=1.2 s，D错误。
归纳总结
阻尼振动的能量特点
物体在做阻尼振动的过程中,总机械能逐渐减小,物体位移大小相等时,势能大小相等,但动能与上一次相比将减小。
1.驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫作驱动力。
2.受迫振动
(1)定义:系统在驱动力作用下的振动。
(2)受迫振动的频率(周期):物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。
要点二　受迫振动
外力
做功
补偿
周期性
驱动力
驱动力
无关
(1)如果手柄不动而用手拉动一下振子，从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动
(2)从没有系统外力作用角度看弹簧振子的振动属于什么振动
(3)用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动快慢有何不同 这能说明什么问题
(4)在转动手柄的过程中，弹簧振子的振幅是否可以不变 为什么
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速转动手柄，下面的弹簧振子就会振动起来。
实际动手做一下，然后回答以下几个问题。
提示：(1)阻尼振动。
(2)固有振动。
(3)转速大时弹簧振子振动得快，说明弹簧振子振动的周期和频率由手柄转速决定。
(4)振幅可以不变，周期性的外力作用于振动系统，可以对系统做功，补偿系统损失的能量。
　简谐运动和阻尼振动、受迫振动的比较
项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
受力情况 不受阻力作用 受到阻力作用 受阻力和驱动力作用
振幅 振幅不变 振幅会越来越小 稳定后振幅不变
振动周期或频率 由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率 由振动系统本身决定，即固有周期或固有频率 由驱动力周期或频率决定，即T=T驱或f=f驱
项目 简谐运动 阻尼振动 受迫振动
振动图像 形状不确定
振动能量 振动物体的机械能不变 振动物体的机械能减少 由产生驱动力的物体提供
实例 弹簧振子的振动 收音机喇叭纸盆的振动、洗衣机工作时机壳的振动 钟摆的摆动、机械工作时底座的振动
【例3】　如图所示，支架上拴一条水平张紧的细绳，在细绳上悬挂四个单摆，其中A、D摆的摆长约为36 cm。现将A摆拉离平衡位置后释放，待各摆振动稳定后(g取π2 m/s2)，下列说法正确的是 (　　)
A.B摆振动的周期为1.2 s
B.C摆振动的周期小于1.2 s
C.B摆振动的固有周期小于A摆的固有周期
D.D摆振动的周期大于1.2 s
A
【解析】　将A摆拉离平衡位置后释放，待各摆振动稳定后，B、C、D都做受迫振动，周期都等于A摆振动的周期，则有TB=TC=TD=TA=2π=1.2 s，故A正确，B、D错误;由单摆周期公式T=2π可知TB固>TA固，故C错误。
【例4】　如图所示的装置可用于研究受迫振动。匀速转动把手时，曲杆给轻弹簧和砝码组成的系统提供驱动力，使其做受迫振动。已知该系统的固有频率为f0，改变把手的转动速度可以调整驱动力的频率。则以下说法中正确的是 (　 　)
A.改变把手的转动速度，系统做受迫振动的频率保持不变
B.系统做受迫振动的频率总等于驱动力的频率
C.匀速转动把手的速度越大，系统的振幅也越大
D.该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
B
【解析】　振动系统稳定时，系统做受迫振动的频率等于驱动力的频率，当把手的转动速度改变，即驱动力的频率改变时，系统做受迫振动的频率改变，A错误，B正确;匀速转动把手的速度越大，驱动力的频率越大，由于不能判断驱动力的频率与固有频率的大小关系，则不能确定系统振幅的变化，C错误;稳定时系统的频率等于驱动力的频率，D错误。
1.定义：驱动力的频率f等于物体的固有频率f0时，物体做受迫振动的振幅达到最大值，这种现象称为共振。
2.共振曲线(如图所示)
要点三　共振现象及其应用
等于
最大值
3.共振的防止与利用
(1)利用:由共振的条件知，要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致。如共振筛、荡秋千、共振转速计等。
(2)防止:由共振曲线可知，在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好。如:部队过桥应便步走。
说明:共振是物体做受迫振动时的一种特殊现象。
洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水筒还要转动一会儿才能停下来。在关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后振动慢慢减弱直至停下来。
(1)开始时，洗衣机为什么振动比较弱
(2)期间剧烈振动的原因是什么
提示：(1)开始时，脱水筒转动的频率远高于洗衣机的固有频率，振幅较小，振动比较弱。
(2)当洗衣机脱水筒转动的频率等于洗衣机的固有频率时发生共振，振动剧烈。
1.共振曲线的理解：共振曲线直观地反映出了驱动力的频率f对做受迫振动物体的振幅A的影响，如图所示。由共振曲线可知，驱动力的频率f与物体固有频率f0越接近，做受迫振动物体的振幅A越大;两者频率相等时，做受迫振动物体的振幅A最大。
2.减振原理
思路一:给被保护的物体加一层减振的阻尼材料(如泡沫塑料等)，使冲击过程的机械能尽可能多地转化为阻尼材料的内能，减轻被保护物体受到的冲击作用。
思路二:在被保护的物体与外界冲击作用之间安装一个“物体—弹簧”系统，如果该系统的固有周期比外界冲击力的周期大很多，它不会及时地把该冲击力传递给被保护的物体，这种延缓的过程实际上对冲击力起到了削弱的作用。
【例5】　我国古代有一种利用共振原理的古琴调弦技术，如图所示，将一小纸人放在需要调整音准的弦上，然后拨动另一个音调准确的古琴上对应的琴弦，小纸人跳动越明显代表音调越准确，调准音调后，下列说法错误的是 (　 　)
A.拨动其他音调的琴弦，小纸人跳动不明显
B.敲击对应音调的音叉，也可以让小纸人跳动明显
C.拨动对应音调的琴弦力量越大，小纸人跳动幅度越大
D.调弦过程中琴弦的机械能将全部转化为小纸人的机械能
D
【解析】　小纸人跳动明显，表明小纸人所在弦发生了共振，振幅最大，古琴上对应的琴弦与小纸人所在琴弦的固有频率相等，而拨动其他音调的琴弦，由于频率与小纸人所在弦的固有频率不相等，没有发生共振，故小纸人跳动不明显，A正确;敲击对应音调的音叉，其振动频率等于小纸人所在弦的固有频率，小纸人所在的弦发生共振，小纸人跳动明显，B正确;拨动对应音调的琴弦力量越大，对应的能量越大，小纸人跳动幅度越大，C正确;调弦过程中琴弦的振动导致其他弦也发生受迫振动，因此调弦过程中琴弦的机械能只有部分转化为小纸人的机械能，D错误。
【例6】　为了提高坚果的采摘率和工作效率，同时提高生产安全系数，工程技术人员发明了一种果树振动采摘器，将采摘器套在树干上，树振动使得树上的坚果落下，如图所示。下列说法正确的是 (　 　)
A.针对不同树木，采摘器振动频率最大时坚果采摘效果最好
B.稳定后，不同粗细树干的振动频率始终与采摘器的振动频率相同
C.采摘器对不同粗细树干采摘结束后，树干的振动频率相同
D.随着采摘器频率的增加，树干振动的幅度一定增大
B
【解析】　根据共振的条件，当采摘器的频率等于树木的固有频率时产生共振，此时落果效果最好，而不同的树木的固有频率不同，针对不同树木，落果效果最好的振动频率可能不同，随着采摘器频率的增加，树干振动的幅度不一定增大，A、D错误;树干在采摘器的振动下做受迫振动，则稳定后，不同粗细的树干的振动频率始终与采摘器的振动频率相同，B正确;采摘结束后，树干做阻尼振动，阻尼振动的频率为树干的固有频率，所以粗细不同的树干的振动频率不同，C错误。
即时演练 堂堂清
1.(多选)一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是 (　 　)
A.单摆的机械能逐渐转化为其他形式的能
B.单摆后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能
C.单摆振幅减小，频率也随着减小
D.单摆振幅虽然减小，但其频率不变
解析：单摆做阻尼振动，因不断克服空气阻力做功使机械能转化为内能，但是在振动过程中，动能和势能仍不断相互转化，不能确定两个时刻的动能与势能的大小关系，故A正确，B错误。做阻尼振动的物体，频率由系统的特征决定，与振幅无关，所以其频率不变，故C错误，D正确。
AD
2.(多选)下列说法正确的是 (　 　)
A.实际的自由振动必然是阻尼振动
B.在外力作用下的振动是受迫振动
C.阻尼振动的振幅越来越小
D.受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
解析：实际的自由振动中，由于阻力不可避免，故是阻尼振动，A正确;只有在周期性外力(驱动力)的作用下物体所做的振动才是受迫振动，B错误;阻尼振动振幅越来越小，C正确;受迫振动稳定后的频率等于驱动力的频率，D正确。
ACD
3.一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)如图所示，则 (　 　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的“峰”将向右移动
解析：由题图可知，若单摆的振动频率与固有频率相等，则周期为2 s，由T=2π，可得l≈1 m，故A错误，B正确;若摆长增大，则单摆的固有频率减小，其共振曲线的“峰”将向左移动，故C、D错误。
B
4.如图所示，在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不转动把手B，而用手向下拉振子小球m，放开手后，让小球上下自由振动测得弹簧振子做30次全振动所用的时间是15 s;如果匀速转动把手，也可使弹簧振子上下振动。若使把手以转速n=30 r/min匀速转动，当弹簧振子的振动达到稳定后，它的振动周期是2 s。若要想使弹簧振子的振幅达到最大，则把手的转速应为120 r/min。
2
120
解析：受迫振动的特点:f受迫=f驱，f受迫与固有频率无关，若发生共振则f驱=f固，T固==0.5 s。转速n=30 r/min= r/s=0.5 r/s，角速度ω=2πn=π rad/s，所以T受迫==2 s，若使振子振幅达到最大，则有T驱=T固，即=0.5，则n'=2 r/s=120 r/min。
课时作业15
1.(5分)关于受迫振动，下列说法正确的是 (　 　)
A.为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要齐步通过桥梁
B.鼓手随音乐敲击鼓面时鼓面的振动是自由振动
C.洗衣机工作时机壳的振动频率等于其固有频率
D.唱歌时胸腔共鸣是由于声带振动激起空气柱振动传到胸腔引起的共振
解析：为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要便步通过桥梁，A错误;鼓手随音乐敲击鼓面时鼓面的振动是受迫振动，B错误;洗衣机工作时机壳的振动频率等于电机转动时所给的驱动力的频率，C错误;唱歌时胸腔共鸣是由于声带振动激起空气柱振动传到胸腔引起的共振，D正确。
D
2.(5分)如图所示，“洗”是古代盥洗用的脸盆，多用青铜铸成，倒些清水在盆中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起层层水花。下列关于“洗”的说法正确的是 (　 　)
A.手掌摩擦得越快，则溅起的水花越高
B.手掌摩擦的摩擦力越大，则溅起的水花越高
C.该种现象属于受迫振动
D.盆中的嗡嗡声是手与“洗”摩擦产生的声音
C
解析：用手掌摩擦盆耳，溅起水花是因为“洗”发生了共振，该种现象属于受迫振动，当手掌摩擦的频率等于“洗”的固有频率，使其达到共振时，溅起的水花最高，手掌摩擦得越快溅起的水花不一定越高，盆中的嗡嗡声是“洗”振动时产生的声音。故A、B、D错误，C正确。
3.(5分)在火车车厢里用悬线吊着一个小球，铁轨接合处的震动使球摆动，如果每段铁轨长12.6 m，摆长40 cm，g取10 m/s2，则下列说法正确的是 (　 　)
A.该单摆的固有周期约为2.25 s
B.不论车速多大，该单摆不可能产生共振
C.火车速度约10 m/s时，单摆振幅最大
D.增加单摆的摆长后，火车速度越大，单摆振幅越大
C
解析：根据单摆周期公式知T=2π，代入得T=1.26 s，A错误;当火车的振动频率与单摆的固有频率相同时，单摆发生共振，振幅最大，B错误;当火车在长12.6 m的铁轨上运行的时间为1.26 s时，发生共振，则有v== m/s=10 m/s，C正确;增加单摆的摆长，根据T=2π，单摆的固有周期增大，火车速度增大则火车在长12.6 m的铁轨上运行的时间减小，不能发生共振，单摆振幅不会越大，D错误。
4.(5分)如图所示，汽车的车身与轮胎间装有弹簧和减振器，某车车身—弹簧系统的固有频率为1.5 Hz，当汽车匀速通过学校门口水平路面上间距为2 m的若干减速带时，下列说法正确的是 (　 　)
A.汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害
B.汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害
C.当汽车以3 m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
D.当汽车以4 m/s的速度行驶时，颠簸得最厉害
解析：由v=xf=2×1.5 m/s=3 m/s，可得当汽车以3 m/s的速度行驶时，过减速带的频率与汽车的固有频率相同，发生共振，汽车颠簸得最厉害，故选C。
C
5.(5分)如图甲所示，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电动偏心轮的电压，可使偏心轮转速提高;增加筛子的质量，筛子的固有周期随之增大。现在某电压下偏心轮的转速是2 r/s，下列说法正确的是 (　 　)
A.筛子现在振动的频率为0.8 Hz
B.提高偏心轮的转速，筛子的振动频率保持不变
C.仅增大偏心轮的电压，可以使筛子振幅减小
D.仅增大筛子的质量，可以使筛子振幅增大
C
解析：筛子做受迫振动，则筛子现在振动的频率等于偏心轮的频率为2 Hz，提高偏心轮的转速，偏心轮的频率增大，则筛子的振动频率增大，故A、B错误;由题图乙可知，筛子固有频率为0.8 Hz，仅增大偏心轮的电压，提高偏心轮的转速，偏心轮的频率增大，则固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故C正确;仅增大筛子的质量，筛子固有频率减小，则固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故D错误。

6.(5分)(多选)将一力传感器与计算机相接，通过计算机可以显示传感器所测得的力的大小。现将某单摆悬挂在力传感器的探头上，并让其做小幅度摆动，计算机上便显示出摆线的拉力大小随时间变化的规律图，如图所示，则关于此单摆的说法错误的是(　 　)
A.单摆的周期T=2.0 s
B.单摆的摆长约1 m
C.t=1.0 s时摆球正经过最低点
D.摆球运动过程中机械能守恒
CD
解析：摆球在运动过程中，在最低点摆线的拉力最大，在一个周期内摆球两次经过最低点，根据图像知周期为2.0 s，t=0.5 s和t=1.5 s时摆球正经过最低点，故A正确，C错误;根据单摆的周期公式T=2π，可得l=g=×10 m≈1 m，故B正确;摆球在运动过程中摆幅越来越小，因此机械能减小，故D错误。该题选错误的，故选C、D。
7.(5分)轿车的悬挂系统是由车身与轮胎间的弹簧及减振器组成的支持系统。某型号轿车的“车身—悬挂系统”的固有周期是0.5 s，这辆汽车匀速通过某路口的条状减速带，已知相邻两条减速带间的距离为1.0 m，该车经过该减速带过程中，下列说法正确的是 (　 　)
A.当轿车以30 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的频率为2 Hz
B.轿车通过减速带的速度大小不同，车身上下振动的幅度大小也必然不同
C.轿车通过减速带的速度越大，车身上下颠簸得越剧烈
D.当轿车以7.2 km/h的速度通过减速带时，车身上下颠簸得最剧烈
D
解析：当轿车以30 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的周期为T== s，则车身上下振动的频率为f==8 Hz，A错误;车身上下振动的频率与车身系统的固有频率越接近，车身上下振动的幅度越大，所以当轿车通过减速带的速度大小不同时，车身上下振动的幅度大小可能相同，B、C错误;当轿车以7.2 km/h的速度通过减速带时，车身上下振动的频率为f===2 Hz，车身系统的固有频率为f0==2 Hz，此时f=f0，所以车身发生共振，上下颠簸得最剧烈，D正确。
8.(5分)飞力士棒是一种轻巧的运动训练器材，是一根弹性杆两端带有负重的器械，如图(a)。某型号的飞力士棒质量为600 g，长度为1.5 m，固有频率为4.5 Hz。如图(b)，某人用手振动该飞力士棒进行锻炼，则下列说法正确的是 (　 　)
A.使用者用力越大，飞力士棒振动越快
B.无论手振动的频率多大，飞力士棒振动的频率都是4.5 Hz
C.手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定变大
D.手每分钟振动270次时，飞力士棒产生共振
D
解析：人用手振动该飞力士棒，让其做受迫振动，而受迫振动的频率与驱动力的大小无关，其频率等于周期性外力的频率，而要使该飞力士棒产生共振，则驱动力的频率等于其固有频率，此时需要驱动该飞力士棒每分钟振动n=ft=4.5×60=270(次)，故A错误，D正确;飞力士棒的频率始终等于驱动力的频率，故B错误;若手振动的频率大于飞力士棒的固有频率，则随着手振动的频率增大，飞力士棒振动的幅度一定变小，故C错误。
9.(5分)(多选)单摆M、N、O、P自由振动时，振动图像分别如图甲、乙、丙、丁所示。现将单摆M、N、O、P悬挂在如图所示支架的细线上，并保持各自的摆长不变，使其中一个单摆振动，经过足够长的时间，其他三个单摆都可能振动起来。不计空气阻力。下列判断正确的是 (　 　)
CD
A.若使M振动起来，P不会振动
B.若使N振动起来，稳定时N振动的周期仍小于O的振动周期
C.若使P振动起来，稳定时M比N的振幅大
D.若使O振动起来，稳定时M的振动周期等于3 s
解析：若使M振动起来，其他单摆均会做受迫振动，故A错误;受迫振动的周期等于驱动力的周期，故B错误;若使P振动起来，由于M的固有周期与驱动力的周期相同，M发生共振，稳定时M比N的振幅大，故C正确;O的周期为3 s，使O振动起来，M做受迫振动，则周期为3 s，故D正确。
10.(10分)减振器是加速车架与车身振动的衰减以改善汽车的行驶舒适性的汽配元件，在大多数汽车的悬架系统内部都装有减振器。汽车的重力一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧套在减振器上，两者同时起到改善作用。为了研究方便，我们把两者简化成一个等效劲度系数为k=1.5×105 N/m的“弹簧”。汽车开始运动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足f=(l为弹簧的压缩长度)，若人体看成一个弹性体，其固有频率约为2 Hz，已知汽车的质量为600 kg，每个人的质量为70 kg，则这辆车乘坐几个人时，人感觉最难受 (g取9.8 m/s2，提示:当汽车的振动频率与人的固有频率相等时，人体与汽车发生共振，人感觉最难受)
答案：5人
解析：人体固有频率为2 Hz，当汽车的振动频率与其相等时，人体与之发生共振，人感觉最难受，即f==f固，解得l=0.062 1 m，由胡克定律有kl=(m车+nm人)g，解得n=5，故这辆车乘坐5个人时，人感觉最难受。
本课结束

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