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第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结及测试
考点一 不等式的性质
1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】A.若，此时，故A错误；
B.若，则，则，故B正确；
C. ，，所以，
即，故C错误；
D. 若，则，则，故D正确；
故选：BD
2．（多选）对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】对于A选项，因为，，但是，所以选项A不正确；
对于B选项，因为成立，即，又，则，所以选项B正确；
对于C选项，因为，但是，所以C不正确；
对于D选项，若，则，即，故选项D正确.
故选：BD.
3．（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
【答案】AD
【解析】对A，如果，，则，那么，故A正确；
对B，如果，那么，则，故B错误；
对C，若，，则，故C错误；
对D，如果，，，则，故，
则，，故D正确；
故选：AD
4．（多选）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】A选项，因为，所以，故两边同除以得，
，A正确；
B选项，因为，所以，故两边同除以得，
，B错误；
C选项，因为，所以，故，
同理可得，C错误；
D选项，因为，所以，
故，故，
，故，所以，D正确.
故选：AD
考点二 基本不等式
1．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．20
【答案】B
【解析】为正实数，方程两边同时除以得，
，
当且仅当即时等号成立，
故 的最小值为.
故选：.
2．已知正实数x，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
又因为，所以，
所以，当且仅当时，即时等号成立，
所以，
即y的最大值是.
故选：D.
3．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，对于任意正实数x，y，
，当且仅当时取等号，
即此时不等式 对于任意正实数x，y恒成立；
当不等式 对于任意正实数x，y恒成立时，
，
当且仅当时取等号，
此时需满足，解得，此时a不一定等于9，
故“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的充分不必要条件，
故选：A
4．（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】设，代入得，
化简得，所以，解得，
，选项A正确；
当时，由，得，
, 解得，当且仅当时成立，选项B正确；
由，得时，，
，解得，选项C错误；
由，得，
,
解得，当且仅当时取等号， 选项D正确；
故选：ABD.
5．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
【答案】
【解析】设房屋底面一边长为m，则另一边长为m，
所以房屋的总造价为，
因为，所以，
当且仅当即时等号成立.
故答案为：.
考点三 二次函数与一元二次方程、不等式
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式可化为，等价于解得，
所以不等式的解集为．
故选：A．
2．命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为“”是假命题，
所以“”是真命题，则，解得，
故选：C．
3．（多选）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．
C．不等式的解集为
D．设x的不等式的解集为N，则
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为
则,且关于的方程的根为，，
则，解之得，
则不等式为，所以解集为，
，所以A、B都正确；
不等式可化为，即，
所以解集为，或，故C错误；
设，，
则函数的图象向上平移一个单位得的图象，如图，

所以不等式的解集为N，则，D正确.
故选：ABD
4．（1）已知，
①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
②如果对，恒成立，求实数的取值范围.
（2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）①；② ；（2）
【解析】（1）①由题意可得，解得，
②为开口向上的二次函数，对称轴
如果对，恒成立，则或或
解得
（2）①若；此时不等式为，满足题意，
②若，
综上可得
5．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①求出与之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
【答案】(1)甲种灯笼26元，乙种灯笼35元
(2)①；②乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大
【解析】（1）设每对甲种灯笼的进价x元，每对乙种灯笼的进价元，
所以
两边同乘得：，
解得：，
经检验：为该分式方程的解，且符合题意．
所以甲种灯笼元，乙种灯笼元；
（2）①由题意，
故与的函数解析式为
②由①知，函数开口向下
函数在对称轴处有最大值．
因为销售部门规定其销售单价不高于每对元
所以，
所以乙种灯笼的销售单价为元时，一天获得利润最大．
6．解关于x的不等式．
(1)（）；
(2)．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）
①当，即时，原不等式无解．
②当，即或时，
方程的两根为，，
则原不等式的解集为
综上所述，当时，原不等式无解；
当或时，原不等式的解集为；
（2）若，原不等式等价于，解得．
若，原不等式等价于，
解得或．
若，原不等式等价于，
①当时，，无解；
②当时，，解得，
③当时，，解得，
综上所述，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
一、单选题
1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式，即，
，即，
故或.
故选：D
2．已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【解析】由，则，故，
当且仅当时，等号成立.
故选：D.
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则一定有
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
【答案】D
【解析】对于A，若，，，，则，故A错误.
对于B，若，则，故B错误.
对于C，，
若，，则，即，所以C错误.
对于D，由，可知，即，所以，故D正确.
故选：D.
4．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，，，则，，
所求的不等式可化为：，即，解得：或.
故选：C
5．已知，且满足，则（ ）
A．的最小值为48 B．的最小值为
C．的最大值为48 D．的最大值为
【答案】A
【解析】由题意得，所以，
所以，
当且仅当时取等，此时，故A正确.
故选：A
6．已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
【答案】A
【解析】由，则
，
当且仅当，即，时，等号成立.
故选：A.
7．不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不等式对任意实数恒成立，即恒成立，
故判别式，解得，
故选：A.
8．已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以，等号成立当且仅当，
从而，
令，设，显然，
则，
因为关于的一元二次方程有实数根，所以，
整理得，即，
解得，注意到，从而，
等号成立当且仅当，即，
所以经检验的最大值，即的最大值为.
故选：D.
二、多选题
9．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】ABD
【解析】A选项，∵关于x的不等式的解集为，
∴，A选项正确；
BC选项，已知和3是关于x的方程的两根，
由根与系数的关系得，
则，
不等式，即，解得，B正确；
且，C错误；
D选项，不等式，即，即，
解得或，D正确．
故选：ABD
10．(多选)下列选项中，正确的是（ ）
A．不等式的解集为或
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．设，则“”是“”的充分不必要条件
【答案】ABD
【解析】A选项，或，A正确；
B选项，，B正确；
C选项，或，即或，C错误；
D选项，，，而，D正确．
故选：ABD．
11．已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A：∵，，.
∴，.
当且仅当，即，，取“”，∴A正确；
对于B：，由（1）知，∴.
∴.∴B正确；
对于C：.
∴，∴C错误；
对于D：，
当且仅当，即，取“”，∴D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．已知，，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，所以
又,两式相加可得
故答案为：
13．某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
【答案】
【解析】因为水池的容积为，深为，所以底面积为，
设水池池底的一边长为，则另一边长为，
则总造价
（元）.
当且仅当，即时，取最小值为.
所以水池的最低造价为元.
故答案为：.
14．已知，，且满足，则的最大值为 ．
【答案】
【解析】解法1、由，可得，
由基本不等式得，可得，
所以，当且仅当时取等号，
联立方程组，解得，，故的最大值为2．
解法2、由，可得，
因为，由权方和不等式得，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
联立方程组，解得，，故的最大值为2．
故答案为：.
四、解答题
15．在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.
【答案】(1).
(2).
【解析】（1）由题意，得，
整理得，解得，又，
所以，故x的取值范围为.
（2）由题意知网店销售的利润为万元，
技术指导后，养羊的利润为万元，
则恒成立.
又，则恒成立.
又，当且仅当时，等号成立，
，即的最大值为6.5.
16．求解下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
(6)；
(7)；
(8)；
(9).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
【解析】（1）由可得，解得或，
故原不等式的解集为.
（2）由可得，解得，
故原不等式的解集为.
（3）由可得，即，解得，
故原不等式的解集为.
（4）等价于，解得，
故原不等式的解集为.
（5）由可得，等价于，
解得，故原不等式的解集为.
（6）由，得，解得，
故不等式的解集为.
（7）由，得，即，
解得或，故不等式的解集为.
（8）由，得，即，解得，
故不等式的解集为.
（9）由，得，解得或，
故不等式的解集为.
17．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．
(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；
(2)若f(1)=2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①9；②
【解析】（1）由题意的两根是和1且，
所以，解得．
（2）①，，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立．
所以的最小值是9．
②由①得，，即，
的解集为R，时，不合题意，
所以，且，解得，
所以的范围是．
18．已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集为，求实数、的值；
(2)若，求此不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【解析】（1）解：由题意可知，关于的方程的两根分别为、，所以，，
由韦达定理可得，解得.
（2）解：因为，原不等式即为.
当时，原不等式即为，解得；
当时，方程的两个根分别为、.
①当时，解不等式可得或；
②当时，若时，即，即时，
解不等式可得；
若时，即当时，原不等式即为，即，原不等式的解集为；
若时，即，即当时，解不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
19．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
(3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．
【答案】(1)
(2)，当时，等号成立
(3)的最小值为，
【解析】（1）解：若正实数满足,则，
所以,当且仅当且,
即时，取等号,所以的最小值.
（2）解：若正实数满足,且，
由
因为,当且仅当时取等号,所以
，所以.
（3）解：若,
令,则,
所以,
当且仅当即时取等号,
又因为,解得,即,所以.第二章 一元二次函数、方程和不等式章末总结及测试
考点一 不等式的性质
1．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（多选）对于任意实数，有以下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
3．（多选）十六世纪中叶，英国数学教育家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈里奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.下列关于不等式的命题，正确的是（ ）
A．如果，，那么
B．如果，那么
C．若，，则
D．如果，，，那么
4．（多选）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 基本不等式
1．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．10 D．20
2．已知正实数x，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“不等式 对于任意正实数x，y恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（多选）已知实数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为 元．
考点三 二次函数与一元二次方程、不等式
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
3．（多选）若关于x的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．
C．不等式的解集为
D．设x的不等式的解集为N，则
4．（1）已知，
①如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
②如果对，恒成立，求实数的取值范围.
（2）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
5．红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用元购进甲灯笼与用元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为元，小明一天通过乙灯笼获得利润元．
①求出与之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？
6．解关于x的不等式．
(1)（）；
(2)．
一、单选题
1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则一定有
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
4．一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A． B．
C． D．
5．已知，且满足，则（ ）
A．的最小值为48 B．的最小值为
C．的最大值为48 D．的最大值为
6．已知，，且．若恒成立，则实数的最大值是（ ）
A．4 B．8 C．3 D．6
7．不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
10．(多选)下列选项中，正确的是（ ）
A．不等式的解集为或
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为
D．设，则“”是“”的充分不必要条件
11．已知正数，满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题
12．已知，，则的取值范围为 ．
13．某厂计划建造一个容积为，深为的长方体无盖水池.若池底的造价为元每平方米，池壁的造价为元每平方米，则这个水池的最低造价为 元.
14．已知，，且满足，则的最大值为 ．
四、解答题
15．在乡村振兴的道路上，某地干部在帮扶走访中得知某农户的实际情况后，为他家量身定制了致富计划，政府无息贷款万元给该农户养羊，每万元可创造利润万元.进行技术指导后，养羊的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍.现将养羊少投资的万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为万元，其中.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求的取值范围;
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求的最大值.
16．求解下列不等式的解集：
(1)；(2)；(3)；(4)；(5).
(6)；(7)；(8)；(9).
17．设函数f(x)=ax2+(b－2)x+3（a≠0）．
(1)若不等式f(x)＞0的解集(－1，1)，求a，b的值；
(2)若f(1)=2，
①a＞0，b＞0，求的最小值；
②若f(x)＞1在R上恒成立，求实数a的取值范围．
18．已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集为，求实数、的值；
(2)若，求此不等式的解集.
19．问题：正数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数x，y满足，求的最小值；
(2)若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
(3)利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值．

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