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3.1 函数的概念及表示
知识点一 函数的概念
【例1-1】下图中可表示函数的图象是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【解析】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B.
故选：B.
【例1-2】设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A,集合M中的3对应了集合N中的两个数,A错误;
对于B,集合M中的2对应了集合N中的两个数,B错误;
对于C,集合M中的每个数在集合N中都有唯一的数对应,C正确;
对于D,集合M中的3对应了集合N中的两个数,D错误,
故选:C.
【例1-3】已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，A能；
对于B，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，B能；
对于C，对于集合的元素，在中没有元素与之对应，C不能；
对于D，对于集合的元素分别对应着中的唯一元素，D能.
故选：C
【变式】
1．（多选）下列图象中，表示函数关系的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应，
由图象可看出，表示函数关系的有AD；
BC项的对应关系中，均出现了一个对应两个值的情况，
不符合函数的定义，不是函数．
故选：AD．
2．（多选）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（ ）

A．① B．② C．③ D．④
【答案】ABC
【解析】图①中能看到函数的值域不是集合B的子集，不符合函数定义：
图②和③中，从集合A到集合B存在一对多的对应关系，不符合函数的定义：
图④符合函数的定义.
故选：ABC
3．（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（ ）
A．，，，
B．，，，
C．，，，
D．，，，
【答案】AC
【解析】对于A中，集合，，可得为多对一对应，
所以是函数关系，符合题意；
对于B中，集合，可得集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意；
对于C中，集合，，可得为多对一对应，
所以是函数关系，符合题意；
对于D中，集合，，可得集合中的一个元素，在集合中有两个元素与之对应，所以不是函数关系，不符合题意.
故选：AC.
4．（多选）下列对应关系是从到的函数的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】AD
【解析】根据函数定义，集合中的每一个元素，对应集合中唯一元素．
对于A，符合函数的定义，是从A到B的函数，故A正确；
对于B，A中有元素0，在对应关系下，不在集合B中，不是函数，故B错误；
对于C，A中元素时，B中没有元素与之对应，不是函数，故C错误；
对于D，A中任意元素，在对应关系下，都在集合B中，是从A到B的函数，故D正确；
故选：AD
知识点二 区间的表示
【例2-1】下列叙述正确的是（ ）
A．用区间可表示为 B．用区间可表示为
C．用集合可表示为 D．用集合可表示为
【答案】D
【解析】对于A，用区间可表示为，错误；
对于B，用区间可表示为，错误；
对于C，用集合可表示为，错误；
对于D，用集合可表示为，正确；
故选：D
【例2-2】若为一确定区间，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意，，解得.故答案为：
【变式】
1．用区间表示下列数集：
（1） ；
（2） ；
（3）且 ；
（4） ；
（5） ．
【答案】
【解析】；
；
且；
；
.
故答案为：；；；；.
2．已知区间[－2a，3a＋5]，则a的取值范围为 ．
【答案】(－1，＋∞)
【解析】由题意可知3a＋5>－2a，解得a>－1.故a的取值范围是(－1，＋∞)．
故答案为：(－1，＋∞)
知识点三 函数的定义域
【例3-1】求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【解析】（1）要使函数有意义，需满足，
解得，所以的定义域为．
（2）要使函数有意义，需满足解得．
所以函数的定义域为．
（3）要使函数有意义，需满足，解得．
所以函数的定义域为．
【例3-2】（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域：
①；②.
（2）函数的定义域是，求函数的定义域.
【答案】（1）①；②；（2）
【解析】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为.
②由已知，得，解得，故的定义域为.
（2）先求的定义域：
因为的定义域是，所以，
所以，即的定义域是.
再求的定义域：
因为，解得，
所以的定义域是.
【例3-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由函数的定义域为，可得函数的定义域为，
则函数的定义域是，故选：C.
【变式】
1．函数的定义域为（ ）
A．{且} B．{且}
C． D．{且}
【答案】D
【解析】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D.
2．函数的定义域是 ．
【答案】且
【解析】要使函数有意义，只需，解得：且.
故答案为：且
3．函数的定义域为 ．
【答案】
【解析】对于函数，有，解得，
故函数的定义域为函数的定义域为.
故答案为：.
4．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为的定义域为，即，则，
所以，所以的定义域为.
故选：C.
5．函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，由，有，即函数的定义域为，
令，解得，函数的定义域为.故选：C
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，要使有意义，则，解得，
所以函数的定义域为．
故选：D．
知识点四 相等函数
【例4-1】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．与
【答案】C
【解析】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故A错误；
对于B，，，表达式不同，不是同一函数，故B错误；
对于C，两函数的定义域，表达式和值域均相同，是同一函数，故C正确；
对于D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数，故D错误.
故选：C.
【例4-2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数；
选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数；
选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数；
选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数.
故选:A.
【变式】
1．下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为R，的定义域为，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数与的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
2．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误；
对B，，故B错误；
对C，的定义域为，故C错误；
对D，，故D正确.
故选：D
3．（多选）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】BD
【解析】对A：对的定义域为，则，
故与不是同一函数，故A错误；
对B：，，
故与是同一函数，故B正确；
对C：定义域为，即，定义域为，
即或，故与不是同一函数，故C错误；
对D：与定义域与对应关系都相同，
故与是同一函数，故D正确.
故选：BD.
4．（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】BCD
【解析】对于A，的定义域为，而函数的定义域为R，故A错误；
对于B，函数，，故B正确；
对于C，函数，，故C正确；
对于D，函数，，故D正确.
故选：BCD.
知识点五 函数的表示方法
【例5-1】已知函数的部分与的对应关系如下表：则（ ）
0 1 2 3 4
3 2 1 0 0
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】由图表可知，，所以，
故选：D
【例5-2】下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（ ）
（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，此时对应的图像为直线递增图像，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间，此时离家距离为常数，然后为递增图像，对应图像A；
（2）我离开家不久，此时离家距离为递增图像，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学，此时离开家的距离递减到0，然后再递增，对应图像C；
（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进，此时图像为递增图像，对应图像B；
故选：D
【变式】
1．已知函数分别由下表给出：则的值是（ ）
1 2 3
1 3 1
3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．1和2
【答案】C
【解析】由表可知：，则.故选：C.
2已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（ ）．
1 2 3
2 3 0

A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】由图可知，，由表格可知，故选：B.
3．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】当小明在弧上运动时，与点的距离相等，所以AB选项错误.
当小明在半径上运动时，与点的距离减小，
当小明在半径上运动时，与点的距离增大，所以C选项错误，D选项正确.
故选：D
知识点六 分段函数
【例6-1】设．
(1)求的值；
(2)若，求t值.
【答案】(1)0
(2)或或
【解析】（1）.
（2）当时，，∴；
当时，，解得：；
当时，，∴，
综上所述：或或．
【例6-2】已知函数.
(1)求，的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
【答案】(1)，
(2)函数的简图见解析.
(3)
【解析】（1）由，
∴， .
（2）简图如图所示：
（3）简图可知函数的值域为
【变式】
1．已知函数
(1)求；
(2)若，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）函数，则，
所以.
（2）函数，
由可得或或，
解得或或，
所以a的取值范围是.
2．已知函数.
(1)求，的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.
【答案】(1)，
(2)作图见解析
【解析】（1）由已知可得，，.
（2）在坐标系中描点，，，，，
作出的简图
3．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．

(1)写出函数的解析式、定义域和值域；
(2)求，的值．
【答案】(1)，定义域为，值域为；
(2)，.
【解析】1）根据题意及图象可知：当时，可设线段解析式为，
将点代入解析式可得，即；
当时，图象为抛物线一部分，可设解析式为，
由图象可知其顶点为且过点，所以，
即，
则，
结合图象，所以的定义域为，值域为；
（2）由上可知，，
即，.
重难点一 函数的解析式
【例7】（1）已知是一次函数，且，求的表达式；
（2）已知，求的表达式；
（3）已知，求的表达式；
（4）已知，求的表达式．
【答案】（1）或；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）设．
∵，
，解得或，
∴或．
（2）令则．
∵，
∴．
（3）令，，则，即．
∵，
∴，
∴．
（4）∵，①
∴．②
得，
∴．
【变式】
1．已知，则函数的解析式为（ ）
A． B．（）
C．（） D．（）
【答案】C
【解析】设（），则，
，
所以（），
故选：C.
2．若函数，则 ．
【答案】（）
【解析】函数，令，则，所以
则函数化为
所以（）.
故答案为：（）.
3．已知，，则 ．
【答案】
【解析】对于函数，有，
又因为，故.
故答案为：.
4．（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式；
（2）已知，求的表达式；
（3）已知，求的表达式．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）设，∵，∴．
又∵，∴．
整理得．
由恒等式的性质知上式中对应项系数相等，
∴，解得
∴所求函数的表达式为．
（2）令，则．∴，
∴所求函数的表达式为．
（3）在原式中用替换，得，
于是有，
消去，得．
∴所求函数的表达式为．
重难点二 作函数图像
【例8】作出下列函数的图象.
(1)；(2)；(3)．(4)
(5)， （6）
【答案】图象见解析
【解析】（1），∴图象为一条直线上5个孤立的点；如下图．
（2），
先作函数的图象，把它向右平移一个单位得到函数的图象，再把它向上平移两个单位便得到函数的图象．如下图．
（3）先作的图象，保留轴上方的图象，再把轴下方的图象对称翻到轴上方．再把它向上平移1个单位，即得到的图象，如下图所示．
（4）画出一次函数的图象，取上的一段；
画出二次函数的图象，取上的一段；
画出一次函数的图象，取上的一段，
如图所示．

（5）先作出二次函数的图象，保留轴上及其上方部分，再把轴下方的部分翻折到轴上方，并截取在区间上的部分，如图所示．

（6）由 ，可得函数图象如下图，
【变式】
作出下列函数的草图．
(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．（7）
【答案】答案见解析
【解析】（1）列表：
0 1
1
描点，连线：

（2）列表：
0 1 2 3
3 0 0 3
描点，连线：

（3）列表：
0 1
1 0 1
描点，连线：

（4）列表：
1 2
2 1
描点，连线得第一象限内的图象，并作出其关于原点对称的曲线，如图．

（5）由题意得，其图象可由的图象先向右平移1个单位，
再向上平移2个单位得到，即：

（6）由题意得，
分段作出二次函数图象，则图象为：
（7）由题意知，
结合二次函数性质，函数图象如下：
单选题
1.下列对应是集合到集合的函数的是（ ）
A．，
B．，，
C．，
D．，
【答案】A
【解析】对于A选项，满足函数的定义，A选项正确；
对于B选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故B选项错误；
对于C选项，集合A中取，在集合B中没有对应元素，故C选项错误；
对于D选项，集合A中当时，在集合B中都有两个元素与x对应，不满足函数的定义，故D选项错误.
故选：A．
2．已知函数，则（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】A
【解析】依题意，，所以.故选：A
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的定义域为，所以，
，
所以的定义域为，
对于函数，由，
得，所以函数的定义域为.
故选：C
4．已知函数，若，则（ ）
A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或
【答案】A
【解析】函数，则，
当，即时，，解得，无解，
当，即时，，解得，则，
所以.
故选：A
5．下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为[0，+∞），所以这两个函数不是同一个函数；
对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数；
对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数；
对于D，函数的定义域为{，且}，函数的定义域为R，
所以这两个函数不是同一个函数.故选：B.
6．已知，则说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．当，
【答案】B
【解析】因为，
所以，即，故A正确；
所以，，故B错误；
所以，故C正确；
当时，，所以，故D正确.
故选：B.
7．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】设题中函数为，则，
当时，；
当时，视其为关于x的二次方程，
判别式，
综上，故值域为．
故选：C.
8．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5
【答案】D
【解析】函数的定义域为A，值域为B，
所以当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以，又，
所以若，解得或，因为，所以.
此时，所以，则；
若，又，所以不成立.
综上，.
故选：D.
多选题
9．下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】由函数的定义可知，对任意的自变量，有唯一的值相对应，
选项B中的图像不是函数图像，出现了一对多的情况，
其中选项A、C、D皆符合函数的定义，可以表示是函数.故选：ACD
10．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A. ，定义域都为R，故表示同一函数；
B. ，故不是同一函数；
C. ，解析式相同，定义域都为R，故表示同一函数；
D. ，的定义域为R，的定义域为 ，故不是同一函数，
故选：AC
11．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30min
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为
【答案】BCD
【解析】由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误，
由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确，
当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确，
当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3），
则，故y与x的关系式为，故D正确．
故选：BCD
填空题
12．下列四种说法中，不正确的是 （填序号）．
①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；
④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．
【答案】②
【解析】在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应，①正确；
若函数,定义域为，但值域为，故②错误，
定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了，故③正确，
由于对任意的，有唯一的与之对应，故函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素，④正确，
故答案为：②
13．已知函数，则当函数值时， .
【答案】或或.
【解析】当时，，，
所以，
当时，，，所以；
当时，，，所以，
综上，或或.
故答案为：或或.
14．已知函数和分别由下表给出，则 ，若，则实数的取值集合为 .
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
2 3 4 5 6
1 3 2 4 5
【答案】
【解析】根据表格可得，，
所以，.
根据表格可得，
当时，满足，此时；
当时，满足，此时；
当时，满足，此时.
综上可得，实数的取值集合为.
故答案为：；.
解答题
15．设函数．
(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)解不等式．
【答案】(1)答案见解析
(2)或或
【解析】（1）
的图象如下：
（2）由，结合（1）可得
①或②，
解①得或
解②得
故的解集为或或.
16．求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知是一次函数，且，求；
(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【解析】（1）因为，
所以．
（2）解法一（换元法）：令，，则，
所以，
所以．
解法二（配凑法）：，
因为，所以．
（3）设，
则，
所以，解得或，
所以或．
（4）对任意的有，
由，①
得，②
联立①②解得，．
17．分别根据下列两个实际背景
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)求函数的值域.
背景1：在国内投递外埠平信，每封信不超过付邮资80分，超过不超过付邮资160分，超过不超过付邮资240，依此类推，每的信应付邮资（单位：分）.
背景2：如图所示，在边长为2的正方形的边上有一个动点，从点出发沿折线.移动一周后，回到点.设点移动的路程为，的面积为.

【答案】(1)，
(2)图像见解析
(3)，
【解析】（1）背景1：函数，
背景2：当点在线段上时，，的面积为；
当点在线段上时，，的面积为；
当点在线段上时，，的面积为；
当点在线段上时，，的面积为，
综合可得，.
（2）背景1与背景2中，函数的图象如图所示：

（3）结合背景1中函数的图象，可得函数的值域为，160，240，320，.
结合背景2中函数的图象，可得函数的值域为.
18．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．
(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．
【答案】(1)6天
(2)2
【解析】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为， ．
当时，，解得； ．
当时，，解得； ．
综上求得，
所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天． ．
（2）设从第一次投放起，经过x（）天后，浓度为 ．
因为，所以，
所以即
所以
当且仅当，即时，等号成立，所以
答：为使接下来的4天中能够持续有效m的最小值为2
19．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且.
(1)求，的解析式；
(2)若，解关于的不等式.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【解析】（1）①，
用代替上式中的，
得②，
联立①②，可得；
设，
所以，
即
所以，解得，，
又，得，所以.
（2）因为，
即，
化简得，，
①当时，，不等式的解为；
②当，即，即时，不等式的解为或；
③当，即，即或，
当时，不等式的解为或，
当时，不等式的解为，
④当，即时，，解得且，
综上所述，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为或；
当时，不等式的解为且；
当时，不等式的解为或.3.1 函数的概念及表示
知识点一 函数的概念
【例1-1】下图中可表示函数的图象是（ ）
A．B．C． D．
【例1-2】设,如下选项是从M到N的四种应对方式,其中是M到N的函数是（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】已知，，下列对应关系不能作为从到的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．（多选）下列图象中，表示函数关系的有（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）对于集合，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有（ ）

A．① B．② C．③ D．④
3．（多选）下列对应关系：是集合到集合的函数关系的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
4．（多选）下列对应关系是从到的函数的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
知识点二 区间的表示
【例2-1】下列叙述正确的是（ ）
A．用区间可表示为 B．用区间可表示为
C．用集合可表示为 D．用集合可表示为
【例2-2】若为一确定区间，则的取值范围为 .
【变式】
1．用区间表示下列数集：
（1） ；
（2） ；
（3）且 ；
（4） ；
（5） ．
2．已知区间[－2a，3a＋5]，则a的取值范围为 ．
知识点三 函数的定义域
【例3-1】求下列函数的定义域：
(1)；(2)；(3)．
【例3-2】（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域：
①；②.
（2）函数的定义域是，求函数的定义域.
【例3-3】已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
1．函数的定义域为 ．
2．函数的定义域是 ．
3．函数的定义域为 ．
4．已知的定义域为，则的定义域为 ．
5．函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ．
知识点四 相等函数
【例4-1】下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．与
【例4-2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
1．下列各组函数相等的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（多选）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
4．（多选）下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
知识点五 函数的表示方法
【例5-1】已知函数的部分与的对应关系如下表：则（ ）
0 1 2 3 4
3 2 1 0 0
A． B． C． D．3
【例5-2】下图的四个图象中，与下述三件事均不吻合的是（ ）
（1）我骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（2）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家里找到了作业本再上学；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.
A． B． C． D．
【变式】
1．已知函数分别由下表给出：则的值是（ ）
1 2 3
1 3 1
3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．1和2
2．已知函数的对应关系如下表，函数的图象为如图所示的曲线，其中，，，则（ ）．
1 2 3
2 3 0

A．3 B．2 C．1 D．0
3．如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速走了一圈，则小明到点的直线距离与他从点出发后运动的时间之间的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
知识点六 分段函数
【例6-1】设．
(1)求的值；
(2)若，求t值.
【例6-2】已知函数.
(1)求，的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
【变式】
1．已知函数
(1)求；
(2)若，求a的取值范围.
2．已知函数.
(1)求，的值；
(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出的简图（不用列表）.
3．已知函数的图象如图所示，其中y轴的左侧为一条线段，右侧为某抛物线的一段．

(1)写出函数的解析式、定义域和值域；
(2)求，的值．
重难点一 函数的解析式
【例7】（1）已知是一次函数，且，求的表达式；
（2）已知，求的表达式；
（3）已知，求的表达式；
（4）已知，求的表达式．
【变式】
1．已知，则函数的解析式为
2．若函数，则 ．
3．已知，，则 ．
4．（1）已知是二次函数，且满足，，求的表达式；
（2）已知，求的表达式；
（3）已知，求的表达式．
重难点二 作函数图像
【例8】作出下列函数的图象.
(1)；(2)；(3)．(4)
(5)， （6）
【变式】
作出下列函数的草图．
(1)；(2)；(3)；(4)．(5)；(6)．（7）
单选题
1.下列对应是集合到集合的函数的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．，
2．已知函数，则（ ）
A．2 B．3 C． D．5
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若，则（ ）
A．-4 B．-1 C．-4或-1 D．-4或
5．下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6、已知，则说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．当，
7．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
8．已知集合，其中，函数的定义域为A，值域为B，则a，k的值分别为（ ）
A．2，3 B．3，4 C．3，5 D．2，5
多选题
9．下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
11．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（ ）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60min
B．甲从家到公园的时间是30min
C．当0≤x≤30时，y与x的关系式为
D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为
填空题
12．下列四种说法中，不正确的是 （填序号）．
①在函数值域中的每一个数，在定义域中都至少有一个数与之对应；
②函数的定义域和值域一定是无限集合；
③定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了；
④若函数的定义域中只含有一个元素，则值域也只含有一个元素．
13．已知函数，则当函数值时， .
14．已知函数和分别由下表给出，则 ，若，则实数的取值集合为 .
1 2 3 4 5
1 4 9 16 25
2 3 4 5 6
1 3 2 4 5
解答题
15．设函数．
(1)在平面直角坐标系中画出它的图象；
(2)解不等式．
16．求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知是一次函数，且，求；
(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
17．分别根据下列两个实际背景
(1)求函数的解析式；
(2)画出函数的图象；
(3)求函数的值域.
背景1：在国内投递外埠平信，每封信不超过付邮资80分，超过不超过付邮资160分，超过不超过付邮资240，依此类推，每的信应付邮资（单位：分）.
背景2：如图所示，在边长为2的正方形的边上有一个动点，从点出发沿折线.移动一周后，回到点.设点移动的路程为，的面积为.

18．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放且个单位的营养液，它在水中释放的浓度克/升随着时间天变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于克/升时，它才能有效．
(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？
(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求的最小值．
19．已知函数对任意满足：，二次函数满足：且.
(1)求，的解析式；
(2)若，解关于的不等式.

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