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3.3 幂函数
知识点一 幂函数的判断
【例1】下列函数是幂函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据幂函数的定义，A、B、C均不是幂函数，只有D选项，形如（为常数），是幂函数，所以D正确故选：D.
【变式】
1．下列函数中幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A：函数为一次函数，故A不符合题意；
B：函数为二次函数，故B不符合题意；
C：函数为二次函数，故C不符合题意；
D：函数为幂函数，故D符合题意.
故选：D
2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C【解析】由于幂函数的一般表达式为：；逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个.故选：C.
3．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个故选：B
4．给出下列函数：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【答案】B【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，
则可知①和④是幂函数.故选；B.
知识点二 幂函数的单调性与奇偶性
【例2-1】函数的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由不等式，即，解得或，
当时，函数单调递减；
当时，函数单调递增，
根据复数函数的单调性，可得函数的增区间为.
故选：A.
【例2-2】已知幂函数在第一象限内单调递减，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】由幂函数的定义可知，解得，由幂函数在第一象限内单调递减，可得，
则，所以.故选：.
【例2-3】“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为为幂函数，且在上是减函数，
所以，解得，
因为当或时，不一定等于，
而当时，或成立，
所以“或”是“幂函数在上是减函数”的必要不充分条件.
故选：B
【例2-4】幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】因为幂函数，在区间上是减函数，
所以，解得：，
因为，得，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，
当时，函数是偶函数，关于轴对称，故舍去，
当时，函数是奇函数，不关于轴对称，故舍去，
所以.故选：A
【变式】
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，即，
解得，所以 的定义域为，
令，在上递增，在上递减，又，在上递减，
所以在上递减，
所以函数的单调递减区间为，
故选：C
2．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【解析】因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上是减函数，则，即，
所以，此时，易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
3．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【解析】因为函数是偶函数且在上是增函数，
所以函数在上单调递减，
所以，即，解得，
又因为，所以或或，
当或时，，此时为奇函数，不满足题意；
当时，，此时为偶函数，满足题意；
所以.
故选：B
4．（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数
C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为
【答案】AC
【解析】，A正确；
当时，分别在上单调递减，在定义域上不单调，B错误；
当时，的定义域为R，且，
所以函数是奇函数，C正确；
当时，的值域为，D错误.
故选：AC
知识点三 比较幂值的大小
【例3-1】若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】①若且时，不等式成立，此时
②若，此时不等式组的解为；
③若，不等式组无解，
综上，实数a的取值范围是.
故选：A.
【例3-2】已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是上的奇函数，
注意到幂函数都是上的增函数，
所以是上的增函数，
而，
所以，解得，
综上所述，的取值范围是.
故选：A.
【例3-3】比较下列各组中两个数的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．
（2），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递增，由于底数，所以．
（3），可看作幂函数的两个函数值．该函数在上递减，由于底数，所以．
【变式】
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由单调递增，则可知，由单调递增，
又，可得所以．故选：C．
2．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，，又在第一象限内是增函数，，
所以，即.故选：D.
3．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以在上单调递增，又因为，所以，
所以.故选：C.
4．若，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】由在上单调递增，故，解得.故答案为：
5．已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为
【答案】
【解析】由函数为幂函数得，解得或，又
函数在上是减函数，则，即，所以，所以；
所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.
知识点四 幂函数的综合运用
【例4-1】已知是幂函数.
(1)求、的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为是幂函数，
所以，解得；
（2）由（1）可知，定义域为，且，
所以是上的单调递增函数，
又因为，
所以，解得，
所以的取值范围是.
【例4-2】已知幂函数.
(1)求的值；
(2)若为偶函数，求的解析式；
(3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)2或3(2)(3)
【解析】（1）因为函数为幂函数，所以，
解得或3.
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
所以或3；
（2）由（1）知，当时，，则，为奇函数；
当时，，则，为偶函数，
所以的解析式为；
（3）由（2）知，，则，对称轴为，
又函数在上不是单调函数，
所以，解得，
即实数a的取值范围为.
【变式】
1．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】（1）解：令，则，
则，
故．
（2）解：由（1）可得．
因为函数和函数均在上单调递增，
所以在上单调递增．
故．
对任意，，不等式恒成立，
即对任意，不等式恒成立，
则解得或．
故的取值范围是．
2．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
【答案】（1）2；（2）a＝0，b＝1．
【解析】（1）为幂函数，∴，解得或，
又在区间内的函数图象是上升的，，∴k＝2；
（2）∵存在实数a，b使得函数在区间上的值域为，且，
∴，即，，∴a＝0，b＝1．
3．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）0；（2）
【解析】（1）∵为幂函数，∴，∴或2.
当时，在上单调递增，满足题意.
当时，在上单调递减，不满足题意，舍去.
∴.
（2）由（1）知，.
∵在上单调递增，∴.
∵，，∴，∴解得.
故实数的取值范围为.
4．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)．
【解析】（1）依题意为奇函数，在区间上是严格减函数，
可得，解得，
由于,故，1，2，
当和时，，此时为奇函数，符合要求，
当时，，此时为偶函数，不符合要求，
；
（2）不等式，即，
又在上是减函数，在上为增函数，则在上为减函数，
所以，则，
所以实数的取值范围为．
单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】，解得即函数的定义域为，
因为函数在定义域内是单调递增函数，要求函数的单调递减区间，
即求函数在上的单调减区间由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为
故选：A.
2．已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
【答案】B
【解析】对于①：由幂函数的定义可知，解得，
将点代入函数得，解得，
所以，故①错误；
对于②：因为定义域为R，且，
所以为奇函数，故②正确；
对于③：由幂函数的图象可知，在R上单调递增，故③正确；
对于④：因为，且在R上单调递增，所以，故④错误，
综上可知，②③正确，①④错误.
故选：B.
3．若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】幂函数在上单调递增，值域为，由，则，又，
所以.故选：D
4．下列命题中正确的是（ ）
①幂函数的图象都经过点和点；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当时，函数的图象是一条直线；
④幂函数当是增函数；
⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少.
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
【答案】D
【解析】对于①，当时，幂函数的图象不过原点，①错；
对于②，因为幂函数在第一象限有图象，若幂函数在第四象限有图象，
则存在，使得有两个值与之对应，与函数的定义矛盾，
故幂函数在第四象限没有图象，②对；
对于③，当时，对于函数，则，
且当时，，即幂函数的图象为两条射线，③错；
对于④，当时，在上为减函数，在上为增函数，④错；
对于⑤，当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少，⑤对.
故选：D.
5．下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
【答案】B
【解析】对于A，当时，幂函数图象不通过点，A错误；
对于B，幂指数时，幂函数分别为 ，三者皆为奇函数，
图象都经过第一、三象限，故B正确；
对于C，当时，幂函数在上皆单调递减，C错误；
对于D，若，则函数图象不通过点，通过点，D错误，
故选：B
6．已知，且函数在上是增函数，则（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】因为函数在上是增函数，所以，解得，
又，所以.故选：C
7．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知值域为，故A错误；
时，等号成立，所以的值域是，B错误；
因为定义域为， ，函数值域为，故C正确；
，，，所以，故D错误.
故选：C.
8．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意：函数是一个复合函数，要使值域为，
则函数的值域要包括，即最小值要小于等于．
当时，显然不成立，
所以，当时，则有，解得，
所以的取值范围是.
故选：B．
多选题
9．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点
【答案】AB
【解析】A：由，在上递减，但整个定义域上不单调，错；
B：根据幂函数定义也是幂函数，错；
C：由，显然且定义域为R，故为偶函数，对；
D：由单调递增，仅当时，故与x轴有且只有一个交点，对.
故选：AB
10．下列函数f(x)中，满足对任意有的是（ ）
A． B． C． D．f(x)=|x-1|
【答案】ABD
【解析】 对任意有，
则函数在区间上为增函数，
对于A，，由二次函数的图像与性质可知满足题意，故A可选；
对于B，，根据幂函数的性质，函数在区间上为增函数，故B可选；
对于C，，函数在区间上为减函数，故C不选；
对于D， ，显然函数在区间上为增函数，故D可选；
故选：ABD
11．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若时，
C．若时，关于轴对称 D．恒过定点
【答案】BC
【解析】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的；
对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的；
对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的；
对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的；
故选：BC.
填空题
12．已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ．
【答案】
【解析】因为，
幂函数的图像关于原点对称，且在上单调递减，
所以α是奇数，且，所以．
故答案为：.
13．不等式的解集为 .
【答案】
【解析】构造函数，该函数的定义域为，
且，即函数为奇函数，
因为函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
所以，函数为上的增函数，
由可得，可得，解得，
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
14．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】函数的图象恒过定点，所以 ,
因为，所以，
当时，的最小值为4.
故答案为：4
解答题
15．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．
(1)求m和k的值；
(2)求满足的实数a的取值范围．
【答案】(1)，或；
(2)
【解析】（1）由函数为幂函数，
则，解得或；
由在上单调递减，
得，解得，而，故或2，
当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意；
当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意；
故，或；
（2）结合（1）可知，即为，
故或或，
解得或或，
故实数a的取值范围为.
16．已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）解：由幂函数在上单调递减，
可得，解得，
所以.
（2）解：由函数图象关于y轴对称，且在上单调递增，
则可化为，平方得，
化简得，解得，所以x的取值范围是.
（3）解：由（1）知，
因为对，使得都成立，
所以，其中，
由（1）可得函数在上的最大值为4，所以，
因为存在，使得成立，可得，
又因为，所以是关于的单调递增函数，
所以，即，解得或，
所以实数t的取值范围为.
17．已知幂函数的图象过点．
(1)求实数m的值；
(2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由幂函数的定义可知，解得，
当时，，又的图象不过点，显然不满足题意；
当时，，将点代入得，
综上所述，．
（2）由（1）可知，，则，
任取，且，
则
，
因为，所以，，则，，
所以，则，
所以，
则，即，
故在上单调递增．
18．已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，.
(1)求的解析式；
(2)在时，解不等式；
(3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为是幂函数，
所以有，或，
当时，函数在区间上是单调递减，不符合题意；
当时，在区间上是单调递增，符合题意，
所以，
因为函数是定义域为R的奇函数，则，
所以当时，
因此的解析式为：；
（2）因为时，，
所以由，又，
所以，
所以不等式的解集为；
（3）当时，，此时函数单调递增，且，
当时，，此时函数单调递增，且，而，
因此奇函数是R上的增函数，于是由
恒成立，
又，
所以，
所以实数的取值范围为.
19．已知幂函数，函数.
(1)若，判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值.
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)答案见解析
【解析】（1）解：函数是定义域上的奇函数
证明：由函数，可得，解得，故，
所以，定义域为，关于原点对称，
又由，
所以函数是定义域上的奇函数.
（2）解：由，解得或，
当时，可得在上为单调递减函数，不符合题意；
当时，可得在上为单调递增函数，符合题意，故，
此时，可得其对称轴为，
当时，函数在单调递减，；
当时，函数在单调递减，在单调递增，；
当时，函数在单调递增，，
综上所述，当时，；
当时，；当时，.3.3 幂函数
知识点一 幂函数的判断
【例1】下列函数是幂函数的是（　　）
A． B． C． D．
【变式】
1．下列函数中幂函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．给出下列函数：
①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点二 幂函数的单调性与奇偶性
【例2-1】函数的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】已知幂函数在第一象限内单调递减，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【例2-3】“或”是“幂函数在上是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例2-4】幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式】
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，则（ ）
A． B． C．0 D．3
3．已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ）
A． B． C．0 D．3
4．（多选）已知函数（为常数），则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象恒过定点 B．当时，函数是减函数
C．当时，函数是奇函数 D．当时，函数的值域为
知识点三 比较幂值的大小
【例3-1】若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【例3-2】已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】比较下列各组中两个数的大小：
(1)，； (2)，； (3)，．
【变式】
1．已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若，则实数的取值范围为 .
5．已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为
知识点四 幂函数的综合运用
【例4-1】已知是幂函数.
(1)求、的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【例4-2】已知幂函数.
(1)求的值；
(2)若为偶函数，求的解析式；
(3)在（2）的条件下，若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
【变式】
1．已知函数．
(1)求的解析式；
(2)若对任意，，不等式恒成立，求的取值范围．
2．已知幂函数，且在区间内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
3．已知幂函数在上单调递增.
（1）求的值；
（2）当时，记的值域为集合，若集合，且，求实数的取值范围.
4．已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒成立，求实数t的取值范围.
单选题
1．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．已知幂函数的图象经过点，下面给出的四个结论：①；②为奇函数；③在R上单调递增；④，其中所有正确命题的序号为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③
3．若， ，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中正确的是（ ）
①幂函数的图象都经过点和点；
②幂函数的图象不可能在第四象限；
③当时，函数的图象是一条直线；
④幂函数当是增函数；
⑤当时，且当时，幂函数值随值的增大而减少.
A．①④ B．④⑤ C．②③ D．②⑤
5．下列关于幂函数的命题中正确的有（ ）
A．幂函数图象都通过点
B．当幂指数时，幂函数的图象都经过第一、三象限
C．当幂指数时，幂函数是增函数
D．若，则函数图象不通过点
6．已知，且函数在上是增函数，则（ ）
A． B． C． D．3
7．下列函数中，值域为的是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
多选题
9．下列关于幂函数的性质，描述不正确的有（ ）
A．当时，函数在其定义域上为减函数 B．当时，函数不是幂函数
C．当时，函数是偶函数 D．当时，函数与x轴有且只有一个交点
10．下列函数f(x)中，满足对任意有的是（ ）
A． B． C． D．f(x)=|x-1|
11．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若时，
C．若时，关于轴对称 D．恒过定点
填空题
12．已知，若幂函数的图像关于原点对称，且在上是严格减函数；则取值的集合是 ．
13．不等式的解集为 .
14．已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
解答题
15．已知幂函数为偶函数，且在上单调递减．
(1)求m和k的值；
(2)求满足的实数a的取值范围．
16．已知幂函数在上单调递减.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围；
(3)若对任意，都存在，使得成立，求实数t的取值范围.
17．已知幂函数的图象过点．
(1)求实数m的值；
(2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增．
18．已知幂函数在区间上是单调递增，定义域为R的奇函数满足时，.
(1)求的解析式；
(2)在时，解不等式；
(3)若对于任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
19．已知幂函数，函数.
(1)若，判断函数的奇偶性，并证明；
(2)若函数在上单调递增，当时，求函数的最小值.

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