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第三章 函数的概念及性质 章末总结及测试
考点一 函数的定义域
1.函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
考点二 函数的解析式
1．求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知是一次函数，且，求；
(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
2．求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知是一次函数，且，求；
(4)已知为二次函数，且，求；
(5)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
考点三 函数的值域或最值
1．已知函数，函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
2．函数，的值域为（ ）．
A． B． C． D．
3．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
4．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-
5．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点四 函数的单调性
1．下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ．
6．函数的单调增区间是 ．
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
考点五 函数的奇偶性
1．（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
3．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ．
6．已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ．
7．设是定义在R上的奇函数．当时，，则时， ．
考点六 幂函数
1．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为偶函数 B．函数的定义域为
C．函数的值域为 D．在其定义域上单调递增
2 ．（多选）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的定义域是 D．为偶函数
3．（多选）关于幂函数的性质下列说法中正确的是（ ）
A．当时，在是单调递减
B．当时，在是单调递减
C．当时，是偶函数
D．当时，是偶函数
4．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（ ）
A．为偶函数 B．为增函数
C．若，则 D．若，则
5．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．不等式的解集为 D．函数是偶函数
6．（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的定义域为
C．函数为偶函数 D．函数的值域为
考点七 函数的应用
1．（多选）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）

A．甲车出发2h时，两车相遇 B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2h时，两车相遇 D．甲车到达C地时，两车相距40km
2．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
3．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本）
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
4．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
5．某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式（k为常数，），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）
(1)将y表示为x的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
考点八 抽象函数
1．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.
(1)求
(2)判断的奇偶性并证明
(3)证明在上单调递减
2．已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
3．已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令．
(1)求的定义域；
(2)解不等式．
4．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
一、单选题
1．已知函数若，则的值为（ ）
A． B．或2 C．或2 D．或
2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
7二次函数在上最大值为1，则实数a值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．和
B．和
C．
D．和
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
三、填空题
12．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．有四个函数解析式：①；②；③；④，其中能够被用来构造“同族函数”的是 ．
13．已知函数，若，则a的值是 ．
14．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ．
四、解答题
15．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且.
(1)求与的解析式；
(2)求函数在上的值域.
16．已知幂函数为偶函数，且函数满足.
(1)求函数和的解析式；
(2)对任意实数恒成立，求的取值范围.
17．已知函数，其中，．
(1)将该函数写成分段函数的形式；
(2)画出的大致图像并写出的单调区间．
18．已知偶函数.
(1)求的表达式；
(2)设函数，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
19．已知是定义域上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明在区间上的单调性；
(3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值.第三章 函数的概念及性质 章末总结及测试
考点一 函数的定义域
1.函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数，令，
等价于，解得或，
所以函数的定义域为.
故选：D
2．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选：D
3．函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可得函数的定义域为，可知，
即的定义域为，
所以需满足，解得，
即的定义域为.
故选：D
4．若函数的定义域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】的定义域为，是使在实数集上恒成立.
若时,要使恒成立,则有 且,
即,解得.
若时，化为，恒成立，所以满足题意，
所以故答案为：.
考点二 函数的解析式
1．求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知是一次函数，且，求；
(4)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
【解析】（1）因为，
所以．
（2）解法一（换元法）：令，，则，
所以，
所以．
解法二（配凑法）：，
因为，所以．
（3）设，
则，
所以，解得或，
所以或．
（4）对任意的有，
由，①
得，②
联立①②解得，．
2．求下列函数的解析式：
(1)已知，求；
(2)已知，求；
(3)已知是一次函数，且，求；
(4)已知为二次函数，且，求；
(5)定义在区间上的函数满足，求的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)或
(4)
(5)
【解析】（1）因为，
所以.
（2）解法一（换元法）：令，，则，
所以，
所以.
解法二（配凑法）：，
因为，所以.
（3）设，
则，
所以，解得或，
所以或.
（4）设，
则，
所以，解得，
所以.
（5）对任意的有，
由，①
得，②
联立①②解得，.
考点三 函数的值域或最值
1．已知函数，函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，因为，所以的值域为，即，故选：A.
2．函数，的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，所以．故选：C.
3．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【解析】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
4．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．-
【答案】A
【解析】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意；
当时，，
当时，，又时，，
存在最小值，满足题意；
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，解得：，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
若存在最小值，则，不等式无解；
综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.
故选：A.
5．已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，
值域为当时，由，得，
由，得，解得或，
作出的图象如下图所示，
由图象可得：，即实数的取值范围是.
故选：C.
6．已知函数的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知当时，，故要使函数的值域为，
需满足，解得，故的取值范围是，选：D
考点四 函数的单调性
1．下列函数在定义域上为严格减函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误；
对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误；
对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误；
对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确.
故选：D.
2．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数在上单调递增，
当，即时，需满足，解得，所以；
当，即时，需满足，即，解得，又，所以,
综上，实数的取值范围为.故选：B
3．函数，若对任意，，都有成立，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为对任意，都有成立，所以是上的减函数，
则，解得．故选：A．
4．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于二次函数的二次项系数为正数，对称轴为直线，
其对称轴左侧的图象是下降的，
∴，故，
因此，实数的取值范围是.
故选：A.
5．函数在区间上为严格增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】开口向下的二次函数的对称轴是，
因为函数在区间上为严格增函数，
所以，解得.
故答案为：.
6．函数的单调增区间是 ．
【答案】
【解析】的对称轴为，因为，所以的图象开口向上，
所以的单调递增区间为.故答案为：
7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】】当时，，
作出函数的图象，如图（1）所示，可得函数在上单调递增，满足题意；
当时，，由二次函数的性质，可得函数在上单调递增，满足题意；
当时，，
作出函数的图象，如图（2）所示，
要使得在上单调递增，则满足或，解得或，
综上所述，的取值范围是.故答案为：.
考点五 函数的奇偶性
1．（多选）下列函数是奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】A.因为的定义域为，
且，A正确；
B.因为的定义域为R，
且 ，B正确
C.因为的定义域为，
设，则，所以，则，
同理当时，，所以函数是奇函数，C正确；
D.由，即，解得 ,
所以函数的定义域是 ，不关于原点对称，
所以函数是非奇非偶函数，故D错误；
故选：ABC
2．若函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】设，则，即，即
所以，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，
所以，
故选： A.
3．已知定义在上的偶函数，若对于任意不等实数都满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为对于任意不等实数都满足，
即当时，；时，
故在区间上单调递增.
因为是定义在上的偶函数，则，
所以不等式，
又，由在区间上单调递增.
则，即，解得，或，
故选：D.
4．定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为定义域为的奇函数在内单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由，可得：，或，或，
解得或，
所以满足的x的取值范围是，
故选：C.
5．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ．
【答案】或
【解析】由题设，函数的定义域关于原点对称，即，解得或，
故答案为：或.
6．已知定义在R上的偶函数满足，若，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为的图象的对称轴为，且开口向上，
所以在上严格增，且在R上是偶函数，
所以，两边平方得，所以.故答案为：
7．设是定义在R上的奇函数．当时，，则时， ．
【答案】
【解析】因为是奇函数，时．所以，所以．
所以时，故答案为：．
考点六 幂函数
1．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为偶函数
B．函数的定义域为
C．函数的值域为
D．在其定义域上单调递增
【答案】BCD
【解析】设，由的图象经过点，得，解得，所以.
选项A，的定义域为，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，A错误；
选项B，根据偶次方要的被开方数非负得的定义域为，B正确；
选项C，由在上是增函数，所以函数的值域为，C正确；
选项D，由在上是增函数，D正确.
故选：BCD.
2 ．（多选）若幂函数的图像经过，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的定义域是 D．为偶函数
【答案】BC
【解析】由幂函数，
则，即，
且，解得，
，则A错误，B正确；
的定义域为，故C正确，D错误.
故选：BC.
3．（多选）关于幂函数的性质下列说法中正确的是（ ）
A．当时，在是单调递减
B．当时，在是单调递减
C．当时，是偶函数
D．当时，是偶函数
【答案】AD
【解析】对于A，当时，在单调递增，
且注意到，且定义域关于原点对称，即是偶函数，
所以在是单调递减，故A正确；
对于B，当时，在单调递增，
且注意到，且定义域关于原点对称，即是奇函数，
所以在是单调递增，故B错误；
对于C，当时，定义域为，它为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，当时，定义域为，
且 ，所以此时是偶函数，故D正确.
故选：AD.
4．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（ ）
A．为偶函数 B．为增函数
C．若，则 D．若，则
【答案】BD
【解析】设幂函数，由于图象经过点，所以，即，所以，
故在定义域,上单调递增，B正确；
为非奇非偶函数，A不符合题意；
当，解得，故C正确；
当时，
，
故，即成立，D正确．
故选：BD
5．（多选）已知幂函数的图象经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．不等式的解集为 D．函数是偶函数
【答案】BCD
【解析】由题意知，，即，得，所以.
A：，所以函数的定义域为，故A错误；
B：由，知函数的值域为，故B正确；
C：由，得且，即，故C正确；
D：易知函数的定义域为，关于原点对称，
由，知函数为偶函数，故D正确.
故选：BCD
6．（多选）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的定义域为
C．函数为偶函数 D．函数的值域为
【答案】ACD
【解析】将代入函数中，可得，解得，故，即A正确，
易知，故的定义域为，故B错误，
对于，故函数为偶函数，即C正确，
任取， ，使，必有，
故在单调递减，由偶函数性质得在单调递增，故当时，，当时，，故函数的值域为，故D正确，
故选：ACD
考点七 函数的应用
1．（多选）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（ ）

A．甲车出发2h时，两车相遇
B．乙车出发1.5h时，两车相距170km
C．乙车出发2h时，两车相遇
D．甲车到达C地时，两车相距40km
【答案】BCD
【解析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，
∵C地位于A、B两地之间，
∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；
甲车的速度为240÷4＝60（km/h），
乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），
∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），
∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；
∵，
∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；
∵80×（4﹣3.5）＝40（km），
∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；
故选：BCD
2．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【解析】（1）当时，，
当时,，
所以.
（2）当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
3．党的二十大报告提出“积极稳妥推进碳达峰碳中和”，降低能源消耗，建设资源节约型社会．日常生活中我们使用的灯具就具有节能环保的作用，它环保不含汞，可回收再利用，功率小，高光效，长寿命，有效降低资源消耗．经过市场调查，可知生产某种灯需投入的年固定成本为3万元，每生产万件该产品，需另投入变动成本万元，在年产量不足6万件时，，在年产量不小于6万件时，．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式．（注：年利润年销售收入固定成本变动成本）
(2)年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．
【解析】（1）由题可知，，
所以；
（2）当时，，
由二次函数的性质知，对称轴为，开口向下，
所以当时，取得最大值为；
当时，，当且仅当，即时，等号成立，
因为，
所以年产量为9万件时，年利润最大，最大年利润是16万元．
4．世界范围内新能源汽车的发展日新月异，电动汽车主要分三类：纯电动汽车、混合动力电动汽车和燃料电池电动汽车.这3类电动汽车目前处在不同的发展阶段，并各自具有不同的发展策略.中国的电动汽车革命也早已展开，以新能源汽车替代汽（柴）油车，中国正在大力实施一项将重新塑造全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且；已知每辆车售价5万元，由市场调研知，全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出2022年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；
(2)2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1);
(2)100（百辆），2300万元.
【解析】（1）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
,
故2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为 .
（2）当时，，
故当时，；
当时，,
当且仅当， 即时取得等号；
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2300万元．
5．某厂家拟对A产品做促销活动，对A产品的销售数据分析发现，A产品的月销售量t（单位：万件）与月促销费用x（单位：万元）满足关系式（k为常数，），如果不搞促销活动，则该产品的月销量是1万件．已知生产该产品每月固定投入为7万元，每生产一万件该产品需要再投入4万元，厂家将每件产品的销售价定为元，设该产品的月利润为y万元，（注：利润=销售收入-生产投入-促销费用）
(1)将y表示为x的函数；
(2)月促销费用为多少万元时，该产品的月利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)，
(2)月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元．
【解析】（1）由题知，当时，，代入得．
．
将代入得．
所以，所求函数为．
（2）由（1）知，．
因为，所以，
因为，
当且仅当，即时取等号．
所以．
故月促销费用为2万元时，A产品的月利润最大，最大利润为7万元．
考点八 抽象函数
1．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.
(1)求
(2)判断的奇偶性并证明
(3)证明在上单调递减
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）由对任意，总有，
令，则，则，
又由，得，
则，
（2）令，则，
则有，故，则是奇函数
（3）设任意，，
则，
又，则，则，
则在上单调递减.
2．已知定义在上的函数满足：．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，求；
(3)若，判断并证明的单调性．
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2)
(3)在上单调递增，证明见解析
【解析】（1）是奇函数，证明如下：
因为，令，得到，
令，得到，即，所以是奇函数.
（2）令，得到，由（1）知是奇函数，
所以.
（3）在上单调递增，证明如下：
在上任取，令，
则，
又因为，而，所以，
即，得到，所以在上单调递增.
3．已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令．
(1)求的定义域；
(2)解不等式．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为的定义域为，
所以有，
即，解得：，
所以的定义域为．
（2）令，可得，即，
令，得，
即是奇函数，
令，则，且为奇函数，
，即，
在上单调递增，
由题意可知，，
，
解得，即不等式的解集为．
4．已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；
(3)当时，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)为奇函数；
(2)在上的单调递减，证明见解析；
(3).
【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且，
取，则，即，
取，则，所以，
所以为奇函数.
（2）在R上的单调递减，证明如下：
任取，且，则，
令，则，
因为为奇函数，所以，
因为当时，，所以，
即，所以在上的单调递减.
（3）由，得，
因为，所以，
因为在上的单调递减，所以，
即时，恒成立，
等价于对任意时，恒成立，
令，则，
所以，
所以，
故实数的取值范围为.
一、单选题
1．已知函数若，则的值为（ ）
A． B．或2 C．或2 D．或
【答案】C
【解析】①当时，由，解得，
其中不满足题意，故；
②当时，由，解得，满足，故；
综上所述，则的值为或.
故选：C.
2．若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得且，解得且，
故的定义域为.
故选：B
3．已知函数是奇函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】A
【解析】由函数是奇函数，得，则，解得，
函数定义域为，是奇函数，
所以.
故选：A
4．下列函数是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据幂函数的性质可知：为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数，
故A正确，BD错误，
且为偶函数，所以为非奇非偶函数，C错误；
故选：A．
5．已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由是上的增函数，得，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
6．设函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，故，
当时，有，解得或，即，或；
当时，，解得，即；
综上，不等式的解集是；
故选：B．
7．二次函数在上最大值为1，则实数a值为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】，则图像开口向上，对称轴为直线.
当时，即，时有最大值1,即，解得；
当时，即，时有最大值1,即，得；
故或.
故选：D．
8．已知定义域为的函数满足，给出以下结论：①；②；③；④是奇函数.所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④
【答案】D
【解析】因为，
对于①：令，可得，故①正确；
对于②：令，可得，解得；
③令，可得，解得，故③错误；
对于④：令，可得，
且的定义域为，所以是奇函数，故④正确.
故选：D
二、多选题
9．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】选项A不具有奇偶性；选项B是奇函数，在上单调递增；
选项C，记，则，函数在上不是单调递增函数；
选项D，函数是奇函数，在上单调递增.
故选：BD
10．下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．和
B．和
C．
D．和
【答案】AC
【解析】A：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；
B：定义域为，而定义域为R，它们的定义域、对应法则都不同，不为同一函数；
C：与定义域和对应法则都相同，为同一函数；
D：定义域为，而定义域为或，它们定义域不同，不为同一函数.
故选：AC
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．和表示同一个函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
【答案】ACD
【解析】A选项，对于，令，则，则，
所以，即的定义域为，A选项正确；
对于B，的定义域为，的定义域为，不是同一个函数，B选项不正确；
对于C，因为，所以，即函数的值域为，C选项正确；
对于D，由可得，
所以由可得，D选项正确；
故选：ACD.
三、填空题
12．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，为“同族函数”．有四个函数解析式：①；②；③；④，其中能够被用来构造“同族函数”的是 ．
【答案】①②④
【解析】由①②图象关于y轴对称可知，“能够被用来构造同族”函数，
③在定义域内任意一个x值都有唯一y值于之对应，故不可构造函数，
④，与，的值域都为，是同族函数．
故答案为：①②④.
13．已知函数，若，则a的值是 ．
【答案】或4
【解析】因为函数，
当时，，解得，
当时，，解得．
综上所述，a的值是或4．
故答案为：或4.
14．已知在上是严格增函数，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以在上严格增函数
所以，．故答案为：
四、解答题
15．已知幂函数与一次函数的图象都经过点，且.
(1)求与的解析式；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)，
(2)
【解析】（1）设，，，
则，
解得，
则，；
（2）由（1）知，，
令，，则，
记，
当时，，
当或1时，，
故在上的值域为.
16．已知幂函数为偶函数，且函数满足.
(1)求函数和的解析式；
(2)对任意实数恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】（1）由为幂函数，得，解得或.
因为为偶函数，所以，
则.
由，可得，令，
则，
所以.
（2）由，可得，
故，，
令，则，
当且仅当1，即时，等号成立，
所以，即，所以的取值范围为.
17．已知函数，其中，．
(1)将该函数写成分段函数的形式；
(2)画出的大致图像并写出的单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析，增区间为，减区间为．
【解析】（1）当时，
，
当时，
，
所以；
（2）作出函数的图像如下图所示：

由图可知，函数的增区间为，减区间为．
18．已知偶函数.
(1)求的表达式；
(2)设函数，，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当时，，且为偶函数
故，
即.
（2）当，，
由对勾函数可知，时，，故此时，
当，，
且为偶函数，故当，，
函数，,
当，，
此时对任意的，总存在，使显然不成立；
当，，
若对任意的，总存在，使成立，
则，即，解得；
当，，
若对任意的，总存在，使成立，
则，即，解得；
综上，实数的取值范围是.
19．已知是定义域上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明在区间上的单调性；
(3)设函数，若对任意的，，求实数的最小值.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(3)
【解析】（1）因为是定义域上的奇函数，且，
所以，
所以，解得，即．
经检验，是奇函数，满足题意，所以.
（2）函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，且，
则，
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以函数在上单调递增．
（3）由题意知，
令，则，
由（2）可知函数在上单调递减，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的，都有恒成立，
∴，
即，解得，
又∵，所以的取值范围是，则实数的最小值为．

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