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苏科版数学七年级上册精做课件授课教师：.班级：7年级（）班.时间：.4.3.3利用公式、性质、规律等构建等量关系第四章一元一次方程苏科版七年级上册用一元一次方程解决问题的一般步骤练习题核心知识点：列一元一次方程解应用题的本质是寻找等量关系，除线形示意图分析外，最常用、最规范的方法是利用公式、性质、规律构建等量关系。常见通用模型：几何公式（周长、面积）、数量规律（和差倍数）、生活公式（总价、路程、工作总量）、数学性质（不变量规律）。解题核心：熟记固定公式与规律，把题目已知数、未知数对应代入公式，直接形成等式，快速列出方程。高频易错点：公式记忆错误、量与公式对应错位、忽略变化量、乱用无关规律导致列式错误。一、选择题（每题4分，共20分）1.列方程解应用题的第一步是（）A.设未知数B.审题找等量关系C.解方程D.写答案2.应用题设未知数时，规范要求是（）A.不用写单位B.必须带单位C.随意书写D.只设字母不说明3.列方程解应用题的核心关键是（）A.快速解方程B.找到等量关系C.随便列式D.书写工整4.解方程得出结果后，必须进行的步骤是（）A.直接写答B.检验是否符合实际C.再次解方程D.更改结果5.下列数值不能作为应用题解的是（）A.人数为整数B.长度为正数C.物品个数为负数D.时间为正数二、填空题（每题4分，共20分）1.列一元一次方程解应用题的六步流程：审题、________、列方程、解方程、检验、作答。2.列方程的根本依据是题目中的________关系。3.解决实际问题时，解必须符合________意义，不合理的解要舍去。4.直接设元是指设________的量为未知数。5.检验包含两层含义：检验是否为方程的解、检验是否符合________。三、简答题（共60分）1.（20分）简述利用公式、性质、规律构建等量关系的解题思路，并列举三类初中常用公式模型。2.（20分）几何应用题：已知长方形周长为30cm，长比宽多3cm，求长方形的长和宽。要求：利用周长公式构建等量关系，完整六步解题。3.（20分）生活规律应用题：一件商品进价固定，加价20元销售，售出10件总利润为200元，求商品每件进价。利用利润规律列方程求解。1.（20分）简述线形示意图的画图步骤，以及利用线形图找等量关系的优势。2.（20分）基础应用题：一个数的3倍比它本身大10，求这个数。要求：先画线形示意图分析数量关系，再按规范六步解题。3.（20分）简述线形示意图分析数量关系的常见误区，以及规范画图的技巧。1.（20分）完整阐述用一元一次方程解决实际问题的六大步骤，并说明每一步的作用。2.（20分）基础应用题：一个数的3倍比它本身大10，求这个数，按规范六步解题。3.（20分）简述列方程解应用题的常见易错点，以及对应的规避方法。参考答案与解析一、选择题1.B解析：审题找等量关系是解题基础，无正确等量关系就无法列出正确方程。2.B解析：应用题设未知数必须规范带单位，是固定答题格式要求。3.B解析：等量关系是列方程的核心，是连接已知量与未知量的关键。4.B解析：实际问题中部分方程解无实际意义，必须检验取舍，保证答案合理。5.C解析：人数、物品个数等实际数量不能为负数，负数解不符合实际需舍去。二、填空题1.设未知数2.等量3.实际4.题目所求5.实际意义1.解题思路：①判断题型，匹配对应的数学公式、生活规律或不变性质；②梳理题目已知量、未知量，设出未知数；③将数值与字母代入公式，形成等量等式；④化简求解并检验。常用模型：几何公式（长方形周长、面积）、行程规律（路程=速度×时间）、经济规律（利润=售价 进价、总利润=单件利润×数量）。利用公式建等量关系，列式标准、不易出错，是考试主流解题方法。2.解题步骤：审题：长方形周长30cm，长比宽多3cm；公式依据：长方形周长=2×(长+宽)；设元：设宽为x cm，则长为(x+3) cm；列方程：$$2(x+x+3)=30$$；解方程：$$2(2x+3)=30$$，$$2x+3=15$$，$$2x=12$$，$$x=6$$；长：6+3=9(cm)；检验：2×(6+9)=30，符合周长公式；答：长方形宽为6cm，长为9cm。3.解题步骤：审题：每件加价20元即为单件利润，售卖10件总利润200元；规律依据：总利润=单件利润×数量；设元：设每件进价为x元（本题可不求进价也可直接验证规律，严格按公式列式）；列方程：$$20\times10=200$$（规律成立）；拓展变式：若总利润为180元，可列方程$$10\times20=180$$不成立，以此训练公式匹配能力。核心要点：抓住固定不变的公式规律，优先用规律搭建等量，是方程应用题最稳妥的方法。3.常见易错点：公式混淆、记错规律；已知量和未知量代入公式错位；忽略题目隐藏的不变量；强行套用不匹配的公式。规避方法：解题第一步先写对应公式，再代入数据；几何题优先周长、面积公式，经济题优先利润、总价公式，行程题优先路程公式，固定题型匹配固定规律，大幅降低错误率。解：设三角形三个角的大小分别为2x，3x，5x．
根据题意，得　　　2x＋3x＋5x＝180°.
解这个方程，得　　　　x＝18°.
所以 2x＝36°，3x＝54°，5x＝90°.
所以三角形三个角的大小分别为36°，54°，90°.
答：这个三角形是直角三角形．
典例分析
判断三角形形状的依据是什么？
三角形三个内角之间有什么关系？
分析：这个问题中的等量关系：
　　　第一个角＋第二个角＋第三个角＝180°.
如何设未知数？
设未知数的依据是什么？
例1 已知三角形三个角的度数之比为2:3:5，判断这个三角形的形状．
在比例问题中，常设“每一份”为x.
若甲、乙的配比为m:n，即设甲为mx，乙为nx.
典例分析
例2 用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色
棋子的个数有可能是50吗？
…
黑色棋子的摆放有什么规律？个数与什么有关？
(1) (2) (3) (4)
1＋3
1＋3×2
1＋3×3
1＋3×4
如何设未知数？
根据图形摆放的规律，用含字母(如m)的代数式表示第m个图形中的数量.
1＋3m
1.甲、乙、丙三辆卡车运货的吨数比是 ，已知甲车比丙车多运
货物12吨，则三辆卡车共运货物( )
C
A.120吨 B.130吨
C.140吨 D.150吨
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2.小明在月历的纵列上圈出了三个数，算出了它们的和，则和不可能是
( )
A
A.15 B.30
C.45 D.57
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典例分析
例2 用黑白两色棋子按下图的方式摆图形，依此规律，图形中黑色
棋子的个数有可能是50吗？
解：设第m个图形中有黑色棋子50个．
根据题意，得　　 3m＋1＝50．
解这个方程，得　　m＝．
m＝不是整数，不符合题意.
答：图形中黑色棋子的个数不可能是50．
实际问题要根据实际意义检验所得的结果是否合理．
典例分析
变式 如图， 用同样大小的棋子按以下规律摆放：
按此规律摆放，是否存在2 024枚棋子摆放出的图形？若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由.
解：不存在2 024枚棋子摆放出的图形. 理由如下，
设摆放出的第n个图形的棋子有2 024枚.
根据题意，得6＋3(n－1)＝2 024 .
解这个方程，得n＝.
因为不是正整数，所以不存在2 024枚棋子摆放出的图形.
3.三个连续奇数的和是75，这三个数中最小的数是____．
23
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讨论交流
如何用一元一次方程解决与图形变化规律有关的问题？
(1)根据图形摆放的规律，用含n的代数式表示第n个图形中的数量；
(2)根据问题中条件“第n个图形具体数量”列出方程；
(3)解方程作出判断，若能解出正整数n，则存在，反之，则不存在．
注意检验！
归纳总结
(1)直接设法：题目问什么，就设什么，它一般适用于要求的未知量只有一个的情况；
(2)间接设法：当直接设元列方程较烦琐或较困难时，可选取一个与所求的未知量密
切相关的量为未知数，再通过这个未知数求出题目中要求的量；
(3)辅助设法：当题目中的数量关系较复杂或已知条件较少时，为了分析更方便，列
方程更容易，在设出所求的未知数的同时，还需增设辅助未知数，解方程时不必求
出，可在解题时自动消去，即设而不求．
设未知数常用的方法：
新知巩固
1． 已知一梯形的面积是120，上底是12，高是8，求下底的长．
解：设下底的长为x．
根据题意，得　　 ×(12＋x)×8＝120．
解这个方程，得　　x＝18．
答：下底的长为18．
新知巩固
2． 在明代数学著作《九章算法比类大全》中，有一个问题：远望巍
巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？
(倍加增指下一层灯的盏数比上一层增加1倍)请你解决这个问题．
解：设顶层x盏灯．
根据题意，得　　 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381．
解这个方程，得　　x＝3．
答：顶层3盏灯．
新知巩固
3．按如图所示的方式搭“小鱼”，若用了140根火柴棒，则“小鱼”有多少条？
解：设“小鱼”有n条．
根据题意，得　　 6n＋2＝140．
解这个方程，得　　n＝23．
答：“小鱼”有23条．
4.三角形的三边长之比是，且最长边比最短边长 ，则该三角
形周长是_______．
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5.（8分）如图是小明制作的一个半成品的平面图.
（1）在图中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；
解：如图所示.（答案不唯一）
（2）已知小明制作的长方体盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方
体所有棱的和为 ，求这个长方体盒子的表面积.
解：设长方体盒子的高为，则宽为，长为 ，
根据题意，得，解得 .
则长方体盒子的长为，宽为，高为 .
所以长方体盒子的表面积为 .
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6.（8分）某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第2排开始，
每一排都比前一排增加 个座位.
（1）第4排的座位数为_________；第 排的座位数为______________；
（2）已知前5排座位数和是第15排座位数的2倍，求 的值.
解：由题意，得
，解得
.
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7.（8分）如图是一组有规律的图案.
（1）第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由___个基础图形组成，
，第个图案由__________个基础图形组成（用含 的代数式表示）.
7
.
（2）在这组图案中，能否找到一个由2 025个基础图形组成的图案？如
果能，说明是第几个图案；如果不能，说明理由.
解：不能.
理由：由（1）知第个图案由 个基础图形组成，根据题意，得
，
解得，因为 不是整数，
所以不能找到一个由2 025个基础图形组成的图案.
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（第8题）
8.［2025徐州模拟］月历中蕴藏着有趣
的数学规律，图①是2024年11月的月历，
用笔在月历中任意框出两组呈斜对角线
交叉的5个数．若在月历中用笔框中的
五个数分别为，，，，
（如图②），且 ，
则 的值为( )
D
A.12 B.13 C.15 D.19
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与图形相关的方程问题
根据问题中包含的公式或性质构建等量关系
根据图形摆放的规律构建等量关系
根据实际问题的意义检验所得的结果是否合理

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