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北京市西城区2025-2026学年高二第二学期期末数学试题
一、单选题
1．下列函数中，存在极值点的函数是（ ）
A． B．
C． D．
2．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为
A． B． C． D．
3．甲、乙两人投篮的命中率分别为和，现甲、乙各投篮一次，记为甲命中的次数，为乙命中的次数，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．某公司计划用10年时间（从2026年初到2036年初）完成产能升级，若初始产能为，每年产能的增长率为定值，2030年初产能为，则2036年初的产能是（ ）
A． B． C． D．
5．已知是无穷等差数列，“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知函数，的导函数为，则__________.
10．已知等差数列的公差不为零，且，则__________.
11．某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为，第二种、第三种产品受欢迎的概率分别为，，且不同种产品是否受欢迎相互独立.记为公司向市场投放三种新型产品受欢迎的数量，其分布列为
0 1 2 3
则__________；__________.
12．中国古代以“三分损益法”确定十二律管的长度.从黄钟出发，交替进行“损一”（乘）和“益一”（乘）操作，依次生得十二律管.记（黄钟），第次损益后所得律管的长度为，已知损益规则为，设，则数列的前11项中，最大值是__________.
13．已知无穷数列满足，，给出下列四个结论：
①对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列；
②对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列；
③对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等；
④不存在实数和，使得数列为等比数列（公比），
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题
14．已知在等比数列中，，公比为，且是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足__________，求数列的前项的和.
从①，；②这两个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
15．智能手机的普及推动了人们对电池续航与寿命的更高要求.电池健康度作为衡量电池实际性能与剩余寿命的核心指标，通常以百分比呈现.
为评估市场上甲、乙、丙三种型号手机的电池耐用性，某评测机构对这三种型号手机各随机选取8台设备，每台均执行完全相同的1000次充放电循环测试.随后，使用专业设备检测并记录每台手机的当前电池健康度.
下表为三种型号手机在完成1000次充放电循环后的具体电池健康度数据：
型号 电池健康度（%）
甲 85.2 86.5 84.8 79.1 85.9 86.2 83.9 79.4
乙 82.1 81.3 79.7 79.5 77.4 83.0 83.6 77.2
丙 76.9 82.8 78.1 79.0 82.0 79.6 77.2 82.7
假设忽略其余因素对电池健康度的影响，用频率估计概率.
(1)根据上述数据，若随机选择一台全新的甲型号手机，试估计其在完成1000次充放电循环后，电池健康度低于80%的概率；
(2)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各一台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这3台手机中，电池健康度低于80%的手机数目为，求的分布列和数学期望；
(3)若随机选择全新的甲、乙、丙型号手机各100台，每台手机各自完成1000次充放电循环后，记这三种型号手机电池健康度低于80%的手机数目分别为，，，试比较，，的大小.（结论不要求证明）
16．盒子里有大小相同的12个球，其中有个红球，其余为白球，从中任取3个球，记为恰好取到2个红球的概率.
(1)求的值；
(2)当为何值时，取得最大值.
17．已知函数，．
(1)若为函数的极值点，求的值；
(2)当时，求函数的单调区间；
(3)若函数的图象恒在轴的下方，求的取值范围．
18．给定正奇数，设为首项为，公差为()，项数为的等差数列，将中各项按如下规则排成一个有行，列的数阵．
(1)若，，写出数阵，并计算；
(2)求证：数阵中每一行所有数的和为同一定值；
(3)设，从数阵的第1列开始，在每一列中，分别取出第行，第行，，第行，第1行，第2行，，第行的数，将取出的个数相加，记得到的和为．求证：对给定的数阵，的取值有且只有两种可能．
参考答案
1．A
【详解】对于A，由函数，可得，令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，函数取得极小值，所以A符合题意；
对于B，由函数，可得，
所以函数在上单调递增，所以没有极值点，所以B不符合题意；
对于C，由函数，可得其定义域为，且，
所以在上单调递减，没有极值点，所以C不符合题意；
对于D，由函数，可得其定义域为，且，
所以在上单调递增，没有极值点，所以D不符合题意；
2．B
【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，
即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，
则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=
故选B.
3．D
【详解】由题意可知，甲投篮一次命中次数X服从参数为的两点分布，则.
同理，.
已知，则，整理得，解得.
4．B
【详解】设初始产能，
从2026年初到2030年初，经过了年，此时产能为，
所以两边约去，
得，
从2026年初到2036年初，经过了年，此时的产能为
，
所以答案是B.
5．A
【详解】若，则，则充分性成立；
若，则，
但不存在正整数，使得，故必要性不成立，
则“存在正整数，使得”是“存在正整数，使得”的充分不必要条件.
6．B
【详解】已知曲线在点处的切线方程为，则，
，则，
，则，
故切线斜率为0，过点，切线方程为．
7．D
【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数，
等价于，在内有解，
设，设两根，则，故两根异号，
要使正根在区间内，则，
解得，故实数的取值范围是．
8．C
【详解】当时，，
时，，
时，，则，所以在上单调递增，，
此时的值域为，值域不是，舍去，
当时，
当时，，开口向上，对称轴为，
所以，
趋向时趋向，故段取值范围为；
当时，，则，所以在上单调递增，，
此时的值域为，缺少部分，值域不是，舍去，
当时，
当时，，开口向下，对称轴为，所以
当时，，则，令，解得：，
令，解得
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以要使函数的值域为，则，
即，解得：，
综上，实数的取值范围是.
9．
【详解】易得，则
10．
【详解】设等差数列的首项为，公差为（），
因为，所以，解得，
则.
11．
【详解】因为，所以，
设事件表示“第种产品受欢迎”，，
由题意得，且相互独立，
根据题意，
化简得，即，
又，化简得，
所以.
12．/
【详解】由题可得当，且为正奇数时，，
则中所有奇数项，构成以为首项，公比为的等比数列，
则为奇数时，，则当为偶数时，.
从而当为奇数时，；
当为偶数时，.
因为R上减函数，则当为奇数时，，取等号时，
当为偶数时，，取等号时.
注意到，则数列的前11项中，最大值是.
13．①②③④
【详解】对于①，当数列是公差为0的等差数列时，此时，
则，解得：，
所以对任意实数，存在实数，使得数列为等差数列；故①正确；
对于②,若数列为单调递增数列，则
即，
即恒成立，
令，
所以恒成立，等价于在上大于零恒成立，
由于，令，解得：，
令，解得：或
令，解得：
所以在和上单调递增，在单调递减，
由于当时，，
所以只要选取足够大，使得即可，
故对任意实数，存在实数，使得数列为单调递增数列；故②正确；
对于③，数列的每项都小于0且互不相等，则，且，则等价于当时，恒成立，
由于，令，解得：，
令，解得：或
令，解得：
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，，
只要取足够小的时，的值都是小于0的，
由于方程的根，等价于的根，所以只要不取该方程的根即可，
综上，只要取足够小的且不为方程的根时，对任意实数，存在实数，使得数列的每项都小于0且互不相等；故③正确，
对于④，假设存在实数和，使得数列为等比数列（公比），
所以恒有，
即
因为，，，
所以，，是三次方程的根，
所以，
若数列为等比数列，则，
所以，因为，
所以在实数范围内无解，
综上，不存在实数和，使得数列为等比数列（公比），故④正确.
14．(1).
(2)选择任意条件答案相同，的前项和为.
【详解】（1）因为是和的等差中项，
所以，即，
所以，
解得或（舍），
所以，
所以；
（2）选择①，，，
则有，解得，
且，
所以，
所以数列是以2为周期的周期数列，
所以，
设数列的前项的和，
则
；
选择②，，
则，，
所以，
设数列的前项的和，
则
；
15．(1)
(2)
分布列为：
0 1 2 3
数学期望
(3)
【详解】（1）解：由统计表格中的数据值，甲型号手机共8台，其中电池健康度低于的有2台，
所以甲型号手机电池健康度低于的概率为.
（2）解：由题意知，甲、乙、丙三种型号手机电池健康度低于的概率分别为：
，
随机变量的可能取值为，
可得；
；
；
，
所以变量的分布列为：
0 1 2 3
所以数学期望为.
（3）解：由题意知，变量分别服从二项分布，，，
可得，，
，
因为，所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，所以；
（2）由（1）知，
取得最大值，也即是取最大值，
所以，解得，所以
17．(1)
(2)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为
(3)
【详解】（1）由，，则，
又为函数的极值点，则，解得，
验证：时，，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减，
所以为函数的极大值点，即满足题意．
故．
（2）由，，
令，，
当时，，即，所以在上单调递增；
当时，是开口向下的二次函数，且其对称轴为，
又，则存在唯一正根，
则当时，，即，所以在上单调递增；
当时，，即，所以在上单调递减．
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．
（3）由函数的图象恒在轴的下方，即在上恒成立．
结合（2），
当时，有在上单调递增，且时，，不符合题意；
当时，是开口向上的二次函数，且其对称轴为，
则当时，，即，所以在上单调递增，
且时，，不符合题意；
当时，在处取得最大值，则只需即可，
又，得，
则，得，
即，整理得，
所以，
令，，
则，
即在上单调递增，且，
所以时，解得，即时，解得，
又，即，，
又是开口向上的二次函数，且其对称轴为，
则在上单调递增，
则当时，，所以，
故的取值范围为．
18．(1)数阵为，
(2)由为首项为，公差为()，项数为的等差数列，则，
在数阵中，记第行第列的数为，，，
则的通项公式为，
则第行的所有数为，，，，，，，，，
令
，
，
所以，
即第行的所有数的和与无关，为定值，得证．
(3)结合（2），可知的通项公式为，
则所取的个数分别为：
，，，，，，，，，，，，
当为奇数时，
，
，
所以；
当为偶数时，
，
，
所以．
故对给定的数阵，，
即的取值有且只有这两种可能，得证．
【详解】（1）由，，则有行，列的数阵为，
所以．
（2）略
（3）略

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