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2026-2027学年高中数学人教A版必修一课时作业 5.7 三角函数的应用
一、选择题
1．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是三角函数，如音叉发出的纯音振动可表示为，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率（对应音高），A表示纯音振动的振幅（对应音强）.已知某音叉发出的纯音振动可表示为，则该纯音振动的频率为( )
A. B. C. D.
2．为了得到函数的图象,需要把函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
3．函数的一个对称中心为( )
A. B.
C. D.
4．给出几种变换:
①横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变;
②横坐标缩小到原来的,纵坐标不变;
③向左平移个单位长度;
④向右平移个单位长度;
⑤向左平移个单位长度;
⑥向右平移个单位长度;
则由函数的图象得到的图象,可以实施的方案是( )
A.①→③ B.②→③
C.②→④ D.②→⑤
5．为了得到函数的图象,只需把函数图象上的所有点( )
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
6．将函数的图象先向左平移个单位长度,再将其横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,则所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
7．要得到函数的图像,只需将的图像( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
8．将函数的图象先向左平移个单位长度,再将其横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）,则所得图象的解析式为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2米.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间t（单位：s）之间的关系为（，，）.则以下说法正确的有( )
A. B.
C. D.盛水筒出水后到达最高点的最小时间为
10．如图,一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,筒车的轴心O距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下则d为负数）,若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间,则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮最高点距离地面高度为110米，转盘直径为100米，摩天轮的圆周上均匀地安装了36个座舱，游客甲从距离地面最近的位置进舱，开启后摩天轮按逆时针方向匀速旋转，开始转动t分钟后距离地面的高度为H米，当时，游客甲随舱第一次转至距离地面最远处.如图，以摩天轮的轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立直角坐标系，则，下列说法中正确的是( )
A.H关于t的函数是偶函数
B.若在时刻，游客甲距离地面的高度相等，则的最小值为30
C.摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟
D.若甲、乙两游客分别坐在P，Q两个座舱里，且两人相隔5个座舱（将座舱视为圆周上的点），则劣弧的弧长米
三、填空题
12．简谐振动
简谐振动(,)中,A表示这个振动物体偏离平衡位置的最大距离,称为_______,周期_______,而表示单位时间内往复振动的次数,称为_______,称为_______,时的相位φ称为_______.
13．基本概念
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动,水中浮标的上下浮动,琴弦的振动,等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数表示,其中.描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A就是这个简谐运动的_______,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离﹔这个简谐运动的周期是_______,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式______________给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；称为______________；时的相位y称为_______.
14．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为,秒针均匀地绕点O旋转,当时间时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离表示成的函数,则____________________其中.
15．如图，正方形ABCD的边长为，以点A为顶点，引出放射角为的阴影部分的区域，其中，，记AE，AF的长度之和为，则的最大值为____________________.
四、解答题
16．已知函数的部分图象,如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,当时,求函数的值域.
17．一个单摆如图所示,以OA为始边,OB为终边的角与时间t(单位:s)的函数满足.
(1)时,角是多少
(2)单摆频率是多少
(3)单摆完成5次完整摆动共需多长时间
18．水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,工作示意图如图所示.设水车(即圆周)的直径为3米,其中心(即圆心)O到水面的距离b为1.2米,逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒.水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位；米),水车逆时针旋转时间为t(单位：秒).当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时,点P距水面的高度记为负值.过点P向水面作垂线,交水面于点M,过点O作PM的垂线,交PM于点N.从水车与水面交于点Q时开始计时(),设,水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为.

(1)求h与t的函数解析式；
(2)当雨季来临时,河流水量增加,点O到水面的距离减少了0.3米,求的大小(精确到)；
(3)若水车转速加快到原来的2倍,直接写出h与t的函数解析式.(参考数据：)
19．某游乐场的摩天轮示意图如图,已知该摩天轮的半径为30米,轮上最低点与地面的距离为2米,沿逆时针方向匀速旋转,旋转一周所需时间为分钟.在圆周上均匀分布12个座舱,标号分别为1～12（可视为点）,在旋转过程中,座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型,现从图示位置,即1号座舱位于圆周最右端时开始计时,旋转时间为t分钟.
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式；
(2)在前24分钟内,求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
20．某摩天轮的直径为10米,最高点距离地面达110米,共有48个座舱（图为摩天轮示意图）.摩天轮开启后按逆时针方向匀速旋转,转一周需要30分钟.游客甲在座舱转到距离地面最近的位置点进舱,t分钟后距离地面的高度为（单位:米）,.求
（1）的解析式;
（2）甲进舱10分钟后距离地面的高度是多少米
（3）游客乙在甲后的第8个座舱进舱,乙进舱后多少分钟甲、乙两人第一次距离地面高度相等
参考答案
1．答案：C
解析：频率为，
故选：C
2．答案：C
解析：函数,根据图像左加右减的变换原则,
只需把函数的图象向左平移个单位长度,
即可得到函数的图象,
故选：C.
3．答案：B
解析：令，，则有，，故函数的一个对称中心为.
4．答案：D
解析：A选项,经过变换后得到的解析式为;B选项,经过变换后得到的解析式为;C选项,经过变换后得到的解析式为;D选项,经过变换后得到的解析式为.
故选:D
5．答案：C
解析：函数,
因此把函数图象上的所有点向左平移个单位得到函数的图象.
故选:C
6．答案：D
解析：函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为
,
再将的图象横坐标缩短为原来的得到的函数图象对应的解析式为
.
7．答案：B
解析：将的图像向右平移个单位长度可得.
故选：B.
8．答案：D
解析：函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为
,
再将的图象横坐标缩短为原来的得到的函数图象对应的解析式为
.
9．答案：ABD
解析：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，
，
则，故B正确；
振幅A为筒车的半径，
即，，故A正确；
由题意，时,，
，即，
，∴，故C错误；
，
由，得，
，得，
∴当时，t取最小值为，故D正确.
故选：ABD.
10．答案：ABC
解析：由题意,一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈,
所以振幅且,可得,所以A、B正确;
又由筒车的轴心O距离水面的高度为,可得,所以D错误;
根据题意,当时,,即,可得,所以C正确.A
故选：ABC.
11．答案：BCD
解析：对A，由题意，，，，，
所以，当时，可得，所以，
故，，所以是非奇非偶函数，故A错误；
对B，由题意，即，
即，所以，或，
，即或，，故B正确；
对C，由题意，即，即，
所以，，解得，.
所以摩天轮旋转一周的过程中，游客甲距离地面的高度不低于85米的时长为10分钟，故C正确；
对D，因为摩天轮的圆周上均匀地安装着36个座舱，
故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为，
因为P，Q两个座舱相隔5个座舱，所以劣弧对应的圆心角是，
故.故D正确.
故选：BCD
12．答案：振幅；；频率；相位；初相
解析：
13．答案：振幅；；；相位；初相
解析：
14．答案：
解析：如图,
；
在中,
由余弦定理得,由知,
故答案为：．
15．答案：
解析：在中，，.易得.在中，，所以，.所以.令，则，所以，所以.易知函数在上单调递减，所以，此时或.
16．答案：(1)
(2)
解析：(1)由图象可知函数的最大值为,最小正周期,
可得,,所以.
将代入,可得,
由,则,解得,所以.
(2)将函数的图象向右平移个单位后,
可得的图象,
再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,
得到函数的图象.
由,可得,
又函数在上单调递增,在单调递减,
,
,
函数在的值域.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)当时,.
(2)单摆的周期,频率.
(3)由(2)知单摆完成1次完整摆动需,则单摆完成5次完整摆动共需.
18．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题意设(,,),
则,,则,
由题意,是锐角,所以,
所以,又,解得,
所以h与t的函数解析式；
(2)河水上涨米,水面仍在圆心O的下方,
在中,,
所以.
(3)水车转速加快到原来的2倍,则周期变为原来的一半,
即,所以,
所以h与t的函数解析式.
19．答案：(1)
(2)分钟或分钟.
解析：(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为（,,）,
依题意可得,,
.
依题意,,
当时,,,
.
(2)令,即,,
,,
或,解得或,
或时,1号座舱与地面的距离为17米.
20．答案：（1）
（2）85
（3）
解析：（1）摩天轮转动t分钟时游客的高度,
摩天轮旋转一周需要30分钟,即周期,
则,所以,
由题意可得,,,
所以,解得,
当时,,即,可取,
所以,
（2）由（1）知,当时,;
（3）甲、乙两人的位置分别用点A、B表示,则,
经过后,乙距离地面的高度,
点B相对于A始终落后,甲距离地面的高度为,
令,,
即,,
由,可得:,经验证成立,
所以乙进舱后分钟甲、乙两人距离地面高度相等.
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