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2025-2026学年四川省泸州市叙永县第一中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列数列中是等差数列也是等比数列的是（　　）
A. 1，-1，1，-1，1 B. 1，2，3，4，5
C. 5，5，5，5，5 D. 1，2，3，5，7
2.甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（　　）
A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种
3.已知{an}为等差数列，a3=2，a4=6，则a5+a6=（　　）
A. 36 B. 24 C. 18 D. 12
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，且S6=9S3，则公比q=（　　）
A. B. 1 C. 2 D. 4
5.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（　　）
A. B. [-1，0] C. [0，1] D. [，1]
6.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（　　）
A. 24 B. 48 C. 60 D. 72
7.用半径为R的圆形铁皮剪出一个圆心角为α的扇形，制成一个圆锥形容器，当该圆锥形容器的容积最大时，扇形的圆心角α为（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数f（x）=x3-3x+2，则（　　）
A. f（x）有两个极值点
B. f（x）有三个零点
C. 点（0，2）是曲线y=f（x）的对称中心
D. 过点（0，2）可作曲线y=f（x）的一条切线
10.现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A，B，C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则下列说法正确的是（　　）
A. 不同的安排方法共有34种
B. 若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有种
C. 若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种
D. 若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有72种
11.如图，有一系列正三角形，设第n（n∈N*）个正三角形Qn-1PnQn的边长为an，其中，Pn在曲线上，Q0为坐标原点，Qn在x轴上.记Sn为数列{an}的前n项和，则（　　）
A. B. 对任意的n∈N*，an+1=2an
C. 数列的前n项和为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）=lnx+ea在点（1，f（1））处的切线与y=ax平行，则a= .
13.如图，用6种不同颜色对图中A，B，C，D四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 种.
14.已知数列{an}的通项公式为，前n项的和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2a4=S4.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求使Sn＞an成立的n的最小值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x-alnx+a2.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在最小值，且最小值小于2，求a的取值范围.
17.(本小题15分)
已知.
（1）若f（x）在x=2处取得极值，求f（x）在区间[-2，3]上的最值；
（2）若f（x）≤3x-4对x∈[1，+∞）恒成立，求a的取值范围.
18.(本小题17分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且4Sn+1=3Sn-9（n∈N*）.
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足3bn+（n-4）an=0（n∈N*），记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，
求实数λ的取值范围.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若存在x∈（0，1）使得f（x）＞0成立，求a的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】ACD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】1
13.【答案】480
14.【答案】6
15.【答案】解：（Ⅰ）Sn是公差d不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3=S5，a2a4=S4．
根据等差数列的性质，a3=S5=5a3，故a3=0，
根据a2a4=S4可得（a3-d）（a3+d）=（a3-2d）+（a3-d）+a3+（a3+d），
整理得-d2=-2d，可得d=2（d=0不合题意），
故an=a3+（n-3）d=2n-6．
（Ⅱ）an=2n-6，a1=-4，
Sn=-4n+×2=n2-5n，
Sn＞an，即n2-5n＞2n-6，
整理可得n2-7n+6＞0，
当n＞6或n＜1时，Sn＞an成立，
因为n为正整数，
故n的最小正值为7．
16.【答案】若a≤0，则f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间；若a＞0，则f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a） （0，1）
17.【答案】 [1+ e，+∞）
18.【答案】解：（Ⅰ）由4Sn+1=3Sn-9可得4Sn=3Sn-1-9（n≥2），
两式作差，可得：4an+1=3an，
∴，
很明显，，
所以数列{an} 是以为首项，为公比的等比数列，
其通项公式为：（n≥1，n∈N*）．
（Ⅱ）由3bn+（n-4）an=0，得，
，
，
两式作差可得：
=
=，
则．
据此可得恒成立，即λ（n-4）+3n≥0 恒成立．
n=4时不等式成立；
n＜4时，，由于n=1时，故λ≤1；
n＞4时，，而，故：λ≥-3；
综上可得，{λ|-3≤λ≤1}．
19.【答案】极小值为-e，无极大值 当a≤0，f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当0＜a＜e，f（x）在（-∞，lna），（1，+∞）上单调递增，在（lna，1）上单调递减；当a=e，f（x）在R上单调递增；当a＞e，f（x）在（-∞，1），（lna，+∞）上单调递增，在（1，lna）上单调递减 （-∞，-4）
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