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2025-2026学年宁夏银川市第十五中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.窗格作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征.下列窗格样式图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.一个正多边形的每个外角都是60°，则这个多边形是（　　）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正十二边形
3.下列说法错误的是（　　）
A. 用反证法证明“a＞b”时，应假设a≤b
B. “同位角相等，两直线平行”的逆命题是真命题
C. 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三边的距离相等
D. 边长为3，6的等腰三角形的周长为15
4.如果a＞b,则下列结论正确的是（　　）
A. a-1＞b-1 B. -a＞-b C. D. a-b＜0
5.如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )

A. AB∥DC，AD∥BC B. AB=DC，AD=BC
C. AB∥DC，AD=BC D. OA=OC，OB=OD
6.A市与甲、乙两地的距离分别为400千米和350千米，从A市开往甲地列车的速度比从A市开往乙地的速度快15千米/时，结果从A市到甲、乙两地所需时间相同，根据题意可列方程，则方程中x表示（　　）
A. 从A市开往甲地列车的速度 B. 从A市开往乙地列车的速度
C. 从A市开往甲地的时间 D. 从A市开往乙地的时间
7.在探索因式分解的公式时，可以借助几何图形来解释某些公式.从图①到图②的变化过程中，解释的因式分解的公式是（　　）
A. a2+ab=a（a+b） B. a2-b2=（a+b）（a-b）
C. a2+2ab+b2=（a+b）2 D. a2-2ab+b2=（a-b）2
8.如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB同侧分别作正三角形ACD和正三角形BCE，AE与BD交于点F，AE与CD交于点G，BD与CE交于点H，连接GH.以下五个结论：，①AE=BD；②GH∥AB；③AD=DH；④GE=HB；⑤∠AFD=60°，正确的个数有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.因式分解：ma2-4m= .
10.当x ______时，分式无意义．
11.在 ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠B= °.
12.若，则的值 .
13.在平面直角坐标系中，把点P（a-1，5）向左平移3个单位得到点Q（2，5），则a= .
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交CA于点M，交CB于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点D，则∠BCD= .
15.在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b（a≠0）与y2=mx+n（m≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＞mx+n的解集为 .
16.如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=4cm,将纸片沿对角线AC对折至CF，交AD边于点E，此时△CDE恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 .
三、计算题：本大题共2小题，共12分。
17.解不等式组：，并把解集表示在数轴上.
18.先化简，再求值：（），其中a=-3.
四、解答题：本题共8小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务.
解：去分母得，1=3+（x-1），…第一步
去括号得，1=3+x-1，…第二步
解得，x=-1，…第三步
检验：当x=-1时，2-x≠0，…第四步
∴x=-1是原方程的根.…第五步
任务：
（1）小亮同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是______；
（2）请你写出正确的解方程过程.
20.(本小题6分)
如图，在12×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，点A、B、C，O都在格点上.按下列要求画图：
（1）画出△ABC向左平移8个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的△A1B1C1；
（3）在直线B2C2上找出一点P，使得AP+CP的值最小.
21.(本小题6分)
代数推理是学习数学的一种重要推理方法，请你阅读以下推理过程并完成所给的题目：
【阅读材料】如果a、b、c、d都是正数，且a＞b,c＞d,那么ac＞bd.
证明：∵a＞b,c是正数，第一步
∴ac＞bc.（依据：______）第二步
又∴c＞d,b是正数，第三步
∴______，第四步
∴ac＞bd.第五步
（1）上述证明过程中，第二步的依据为______，第四步应填______.
（2）如果a、b、c、d都是负数，且a＜b,c＜d,那么ac与bd的大小关系如何？请说明你的结论的正确性.
22.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD=AC，DE⊥AB，交BC于点E，若∠B=32°，求∠AEC的度数.
23.(本小题8分)
如图，点E，F是 ABCD对角线BD上的点，BF=DE，连接AF、CE，求证：四边形AECF为平行四边形.
24.(本小题8分)
绫绢扇是中国传统手工艺品四大名扇之一，起源于商周时期，该扇以绫、绢等轻薄丝织物为扇面，配以竹、木等材质的框架和彩带沿边的工艺制作，形制丰富，常被当作承载传统文化的伴手礼，成为连接古今审美，展现中式雅致生活的载体.某文创店销售甲、乙两种绫绢扇，下面是小刚和小明的对话：
根据上述对话，解决下列问题：
（1）求甲、乙两种绫绢扇的单价；
（2）某学校准备在该文创店购买甲、乙两种绫绢扇共500把，花费不超过8000元，求该校最多可以购买多少把乙种绫绢扇？
25.(本小题10分)
问题解决
问题 三角形内角和为什么等于180°
问题提出 如图1，通过裁剪，将三角形纸片的三个角拼成一个平角，从而验证猜想：然而实验会存在误差，不符合数学的严谨性.是否可以通过逻辑推理来说明三角形内角和等于180°呢？
思路启迪 从逻辑推理的角度思考：有什么方法（知识点）使角可以“移动”，组成一个平角呢？
尝试思考 请过三角形的顶点A添加辅助线，使角“移动”到合适位置，便于说明三角形内角等于180°，要求如下：
1.用两种不同的方法对图2、图3添加辅助线；
2.用简短、专业的数学语言对添加辅助线的操作进行描述.
逻辑说理 在上述图形中，选择其中一种方法，说明三角形内角和等于180°的理由.
触类旁通 小华同学通过思考，发现在△ ABC边AB上任意取一点P（不与点A重合），如图4，添加合适的辅助线，也能说明“三角形内角和定理”.
（1）完成“尝试思考”中的操作与描述：
方法一：如图5，延长BA至点D，过点A作______，利用平行线的性质得到∠B=∠DAE，∠C=∠EAC即可求解.
方法二：如图6，过点A作DE∥BC，利用平行线的性质得到______，再利用平角定义和等量代换可得结论.
（2）写出“逻辑说理”中的说理过程：选择图______，证明过程如下；
（3）写出“触类旁通”中的说理过程.（在图7画出图形，写出证明过程）
26.(本小题10分)
数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：
【操作探究】
（1）如图1，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF，图1中AF与DE的数量关系是______；图1中90°的角有______个.
【迁移探究】
（2）如图2，将等边△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点.连接AF，探究AF与DE的数量关系，并说明理由.
【拓展应用】
（3）如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF.在旋转过程中，当∠EBC=15°时.求线段AF的长.
【反思提升】
（4）回顾以上探究过程.回答下列问题：
①从等边三角形到等腰直角三角形，你在解题时运用了哪些数学思想方法？
②通过本题的探究，你对“中点”在几何问题中的应用有了哪些新的认识？
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】m（a+2）（a-2）
10.【答案】=1
11.【答案】130
12.【答案】
13.【答案】6．
14.【答案】36°
15.【答案】x＞3
16.【答案】cm2
17.【答案】x＞3；．
18.【答案】，．
19.【答案】一;方程两边同乘以最简公分母时，漏乘了不含分母的项“3” 方程两边都乘以（2-x）去分母，得1=3（2-x）+x-1．
去括号得：1=6-3x+x-1，移项得：3x-x=6-1-1，
合并同类项得：2x=4，解得x=2．
检验：当x=2时，2-x=0，所以x=2不是原分式方程的解，
故原方程无解
20.【答案】如图，△A1B1C1即为所求
如图，△A2B2C2即为所求
如图，点P即为所求.
21.【答案】不等式两边乘同一个正数，不等号的方向不变;bc＞bd
ac＞bd
22.【答案】解：∵在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB交BC于点E，
∴∠ADE=∠C=90°，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
∵，
∴Rt△CAE≌Rt△DAE（HL），
∴∠CAE=∠DAE=∠CAB，
∵∠B+∠CAB=90°，∠B=32°，
∴∠CAB=90°-32°=58°，
∵∠AEC=90°-∠CAB=90°-29°=61°．
23.【答案】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠EDA=∠FBC，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（SAS），
∴AE=CF，∠AEF=∠BFC，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
24.【答案】甲种绫绢扇的单价是15元，乙种绫绢扇的单价是18元。该校最多可以购买166把乙种绫绢扇
25.【答案】直线MN∥BC;两直线平行，内错角相等
若选第一种方法：
∵AE∥BC，
∴∠DAE=∠B，∠EAC=∠C，
∵∠DAE+∠CAE+∠BAC=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°；若选第二种方法：
∵DE∥BC，
∴∠1∠B，∠2=∠C，
∵∠1+∠BAC+∠2=180°，
∴∠B+∠BAC+∠C=180°
如图4，过点P作PD∥BC，PE∥AC，交AC，BC于点D、E，
∵PD∥BC，
∴∠APD=∠B，∠DPE=∠PEB，
又∵PE∥AC，
∴∠PEB=∠C，∠BPE=∠A，
∵∠APD+∠DPE+∠BPE=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°
26.【答案】AF=DE;4
DE=AF，理由如下：
如图：∵等边△ABC 绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，
∴∠BAC=60°，∠CAE=30°，AB=AC=AE=DE，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵F为BE中点，AB=AE，
∴AF⊥BE，
∴△ABF 是等腰直角三角形，
∴AB2=AF2+BF2=2AF2，
∴AB=AF，
∴DE=AF
线段AF的长为或
①从等边三角形到等腰直角三角形，你在解题时运用了数形结合的思想、转化的思想、分类讨论的数学思想．
②通过本题的探究，等腰三角形中出现中点容易考虑到等腰三角形的三线合一和三角形的中位线
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