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山东省烟台市蓬莱区2025-2026学年七年级下学期数学期末试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“数学课本共196页，某同学随手翻开，恰好翻到第98页”，这个事件是（）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上都不正确
2.下列命题中，属于真命题的是（）
A. 同位角相等 B. 任意三角形的外角一定大于内角
C. 多边形的内角和等于180° D. 同角或等角的余角相等
3.如图，点在上，点在上，且，补充下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.如图是某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（）
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是6
C. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时正面朝上
D. 不透明袋中有3个除颜色外均相同的小球，其中有2个红球，随机摸出一个红球
6.①如图1，，则；
②如图2，，则；
③如图3，，则∠；
④如图4，，则；
以上结论正确的个数是（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（ ）
A. 方程的解是
B. 方程的解是
C. 关于x，y的方程组的解是
D. 不等式的解集是
8.如图，在中，，，点是的中点，是的垂直平分线，点是上一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在中，，点、分别在、边上，连接、，将分别沿和折叠，点落在点处，连接，点恰好落在线段上，记为点，连接．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
10.在中，，，D为中点，连接，过点C作于点E，交于点M．过点B作交的延长线于点F，则下列结论正确的有（ ）个．
①；
②；
③连接，则有是等边三角形；
④连接，则有垂直平分．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值： ．
12.如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边AB和BC的长分别为2m和1m,又测得点A与点C间的距离为2.5m,则小红家的木门 （填“已变形”或“没有变形”）.
13.将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点，表示的刻度分别为，，则的周长为 ．
14.如图，在长方形中，，，，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿向点B匀速运动；点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点C匀速运动；点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿向点D运动．连接，．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，与全等，则a的值为 ．
15.如图所示的网格是正方形网格，则 °（点，，是网格线交点）．
16.如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解下列方程组和不等式组：
(1) ；
(2) 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来．
四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
若关于，的二元一次方程组的解满足不等式，求的取值范围．
19.(本小题6分)
某商场文具卖场为了吸引顾客，推出了“购物转转盘”活动，该卖场设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买100元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色扇形区域（见扇形内的汉字注明），顾客就可以分别获得相应的奖品（如表）．小明和妈妈购买了125元的商品，获得一次转动转盘的机会，并参与了活动，请解答下列问题：
颜色 奖品
红色 笔袋
黄色 中性笔
绿色 橡皮
(1) 小明获得中性笔的概率是多少？
(2) 小明获得奖品的概率是多少？
(3) 为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，那么需要再将几个空白扇形涂上颜色？
20.(本小题7分)
阅读材料：学行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的（1）-（4）所示，虚线部分表示折痕）．
将正方形纸片按以上方式折叠，标记字母如下图．
(1) 求证：；
(2) 联系拓展：若，求的度数．
21.(本小题8分)
五一假期结束后，为了吸引游客，甘肃定西的贵清山国家森林公园推出了甲、乙两种购票方式．
甲：按照次数收费，门票每人每次25元．
乙：购买一张贵清山国家森林公园年卡后，门票每人每次按五折优惠．
设某人一年内去贵清山国家森林公园的次数为，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．
根据图中信息，解答下列问题：
(1) 分别求出选择甲、乙两种购票方式时，关于的函数解析式．
(2) 购买一张贵清山国家森林公园年卡的费用为 元．
(3) 小明准备利用本学期的周末去贵清山国家森林公园完成“生物多样性”的课题实践活动，他选择哪种购票方式更划算？请说明理由．
22.(本小题8分)
如图，、分别是等边三角形的两边、上的点，且，，相交于点，过点作，垂足为，若，求的长度．
23.(本小题8分)
综合与探究
问题情境：
小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小明进行了如下操作：
如图1，在和中，，，，连接、．
【问题发现】
(1) 小明发现图1就是手拉手模型，拉手线、存在某种数量关系．其探究过程如下，请你写出①和②处的理由；
解： （理由：① ） 在和中 （理由：② ）
(2) 如图2，在图1的基础上，不动，将绕着点逆时针旋转至点，点、、在一条直线上，交于点．小明发现与依然全等．当时，求；
(3) 【拓展探究】在图2的基础上，延长至点，如图3．判断与的数量关系，并说明理由．
24.(本小题11分)
某花农培育甲种樱花3株，乙种樱花2株，共需要成本1700元；培育甲种樱花1株，乙种樱花2株，共需成本1500元．
(1) 求甲、乙两种樱花每株成本分别为多少元？
(2) 据市场调研，1株甲种樱花售价为160元，1株乙种樱花售价为840元．该花农决定在成本不超过29000元的前提下培育甲、乙两种樱花，若培育乙种樱花的株数是甲种樱花的3倍还多10株，那么要使总利润不少于5000元，花农有哪几种具体的培育方案？
(3) 在（2）的条件下，求出选择何种方案成本最少？最少成本为多少元？
25.(本小题12分)
综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰直角三角形为背景，探究线段之间的关系．
问题情景：如图，点在等腰直角三角形的斜边所在直线上，且，交于点．
实践探究：
(1) 当点在上，点在上方时，如图①，求证：；
(2) 当点在的延长线上，点在上方时，请在图②补全图形，并直接写出，，之间的数量关系为；
(3) “希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，当点在边上，点在下方时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？请证明．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】2/答案不唯一
12.【答案】已变形．
13.【答案】6
14.【答案】2 或
15.【答案】45
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：整理得，
得：，
解得，
把代入①得：，
解得
因此方程组的解为：；
【小题2】
解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示如下：
．

18.【答案】解：，
由得，
解得，
将代入①得，
解得，
∴方程组的解为，
∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式，
∴，
解得．

19.【答案】【小题1】
解：，
∴小明获得中性笔的概率是；
【小题2】
解：，
∴小明获得奖品的概率是；
【小题3】
解：∵获得奖品的概率提高为，
∴涂色的区域一共有个，
∵，
∴需要再将5个空白扇形涂上颜色．

20.【答案】【小题1】
证明：由题意知，第一次折叠后，得到的折痕与直线之间的位置关系是；
第二次折叠，得到的折痕与第一次折痕之间的位置关系是；
，
，
∴；
【小题2】
解：如图，过点作，
由（1）可知，，
，
，
∵正方形纸片，
∴，
，
．

21.【答案】【小题1】
解：设选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴选择甲种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
设选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为，
将，代入，得：，
解得：，
∴选择乙种购票方式时，y关于x的函数表达式为；
【小题2】
100
【小题3】
解：联立，解得：，
∴直线与直线的交点为．
∴由图象可知当时，直线在直线的图象下方，即，
∴此时选择甲种购票方式更划算；
当时，直线与直线交于点，即此时选择甲种购票方式或乙种购票方式同样划算；
当时，直线在直线的图象上方，即，
∴此时选择乙种购票方式更划算．

22.【答案】解：∵是等边三角形，
，，
在与中，
，
，
，
，
，
，即，
，
∴．

23.【答案】【小题1】
等式的性质
全等三角形的对应边相等
【小题2】
解：同（1）可知，
．
且，
在与中，
，
；
【小题3】
解：．理由如下：
如图，过点A作于点M，作于点N．
同（1）可知，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．

24.【答案】【小题1】
解：设甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元，
由题意得，
解得，
∴甲种樱花每株成本为元，乙种樱花每株成本为元；
【小题2】
解：设培育甲种樱花株，则培育乙种樱花株，
由题意得，
解得，
∵为整数，
∴的取值为，，，
∴共有三种培育方案，分别是：培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；培育甲种樱花株，乙种樱花株；
【小题3】
解：在（2）的前提下，设成本为，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∵为整数，
∴当时，最小为，
故选择培育甲种樱花株，乙种樱花株时成本最少，最少成本为元．

25.【答案】【小题1】
证明：如图，过点作交于，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：如图，过点作交于，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：如图，过点作交的延长线于，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．

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