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2025-2026学年山东省泰安市新泰中学高一（下）期末数学模拟试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足zi=i-1，则复数z的虚部为（　　）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
2.已知A，B，C是同一平面内不同的三点，且，若，则λ=（　　）
A. B. C. 2 D. 3
3.已知一组数据5，9，3，x,4，7的极差为6，则（　　）
A. x的最小值为1 B. x的最小值为4 C. x的最大值为9 D. x的最大值为15
4.在正四面体A-BCD中，E，F，G分别为AB，AC，AD的中点，则异面直线EF与CG所成角的余弦值为（　　）
A. B. C. D.
5.已知两个随机事件A，B相互独立，P（A）=2P（B）=0.8，则P（A∪B）=（　　）
A. 0.68 B. 0.76 C. 0.88 D. 0.98
6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若b=5，c=3，则BC边上的中线长度的取值范围是（　　）
A. （1，3） B. （2，3） C. （1，4） D. （2，4）
7.已知球O与正四棱锥P-ABCD的四条侧棱和底面均相切，若，则球O的表面积为（　　）
A. B. 2π C. D. π
8.已知O是△ABC所在平面内一点，且，，△ABC的面积S满足，则∠AOC=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量=（2，1），=（x,4），则下列说法正确的是（　　）
A. B. 若∥，则x=8
C. 若⊥，则x=-2 D. 若2||=||，则x=2
10.已知a,b为异面直线，α，β为两个不同的平面，且a α，b β，则下列说法正确的是（　　）
A. 对于任意一点O，都存在过点O的平面与a,b都平行
B. 对于任意一点O，都存在过点O的直线与a,b都垂直
C. 若a∥β，b∥α，则α∥β
D. 若a⊥b,则α⊥β
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，AA1=4，AB=2，E，F分别为棱B1C1，DD1的中点，设过点B，E，F的平面为α，C1D1∩α=M，则（　　）
A. 2D1M=MC1
B. α截长方体ABCD-A1B1C1D1所得截面为五边形
C. α截长方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的周长不超过12
D. α与平面ABCD所成的锐二面角的正切值为5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某新能源科技公司研发团队共有36名成员，其中女性成员12人.现按比例采用分层随机抽样的方法抽取6人参加国际清洁能源峰会，则被选中的男性成员人数为 .
13.光明中学举办演讲比赛，其中8人比赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这8人成绩的第60百分位数和第70百分位数的和为 .
14.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=4，AB=2，则直线A1B与直线B1C所成角的正切值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m+2+（m2+2m-3）i（m∈R）.
（1）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围；
（2）若z为正实数，z-4i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a+b的值.
16.(本小题15分)
不透明的袋子中装有红球、绿球各1个，黄球m个，这些球除颜色外完全相同，每次从袋子中有放回地随机取出1个球，且每次黄球被取出的概率为.
（1）求m的值.
（2）现进行两次取球.
（ⅰ）求恰好有一次取出黄球的概率；
（ⅱ）求这两次取出的球的颜色相同的概率.
17.(本小题15分)
某市组织数学建模大赛，从参加比赛的800名学生中随机抽取100名学生的成绩进行样本分析（满分为150分，按照[90，100），[100，110），…，[140，150]分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中a=2b.
（1）求图中a的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表）
（2）根据成绩，准备给成绩较高的15%的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分；
（3）若落在[100，110）中的样本数据的平均数是105，方差是5，落在[110，120）中的样本数据的平均数是117，方差是2，求落在[100，120）中的样本数据的平均数和方差s2.
18.(本小题17分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求C；
（2）.
（i）若△ABC的周长为，角C的平分线交AB于点D，求CD的长；
（ⅱ）若△ABC为锐角三角形，，求CE的取值范围.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，BC∥AD，CD⊥AD，CD⊥AP，△PAD为等边三角形，BC=1，AD=3，CD=2.
（1）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值；
（2）若M为棱AP上一点，且BM∥平面PCD，
（i）试确定点M的位置；
（ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成锐二面角的正弦值.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】ABC
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】4
13.【答案】182
14.【答案】
15.【答案】解：（1）若复数z在复平面内对应的点在第四象限，
则，即，解得-2＜m＜1，
即实数m的取值范围为（-2，1）．
（2）由于z为正实数，所以，解得m=1，所以z=3，
而z-4i=3-4i是方程x2+ax+b=0的一个根，
所以3+4i也是方程x2+ax+b=0的一个根，
所以，解得a=-6，b=25，
所以a+b=19．
16.【答案】m=3 （ⅰ）；（ⅱ）
17.【答案】a=0.020，众数为125
138分
113；35
18.【答案】
（ⅰ）；（ⅱ）
19.【答案】
（i）M为棱AP上靠近点P的三等分点；（ii）
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