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2025~2026 学年度八年级第二学期期末数学参考答案及评分标准
一、选择题（共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B A D B B C C C
二、填空题（共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．-1 12． 13．甲
14． ， 15． ， 16．①②③⑤
（第 14 题第一空 2 分，第二空 1 分；第 15 题第一空 2 分，第二空 1 分；第 16 题在不出现④的前提下对 1
个或 2 个得 1 分，对 3 个得 2 分，对 4 个得 3 分）
三、解答题（共 8 小题，共 72 分）
17．（1）解：原式 2 分
， 4 分
（2）解：原式 6 分
． 8 分
18．解：（1）将 代入 得 ， 2 分
解得 ， 4 分
∴直线 的解析式为 ． 6 分
（2） ． 8 分
19．（1）60； 1 分
2 分
（2） ；9． 6 分
（3） （人）， 7 分
答：估计成绩不低于 9 分的学生有 800 人． 8 分
20．（1）证明：∵四边形 是平行四边形， ， 2 分
． 3 分
又 ， 分别平分 ， ，
．
， 4 分
同理 ，
．
∴四边形 是矩形． 6 分
（2）①或③（填一个即可） 8 分
21．画图如图（1）和图（2）．每画图任务 4 分．
（图（3）为第 2 个任务另解；若用图（4）的相似方法解决第 2 个任务可给分）
22．解：（1）设甲型机器人单价为 万元，乙型机器人单价为 万元，依题意得，
2 分
解得 ， 3 分
答：甲型机器人单价为 5 万元，乙型机器人单价为 3 万元． 4 分
（2）购买甲型机器人 台，则购买乙型机器人 台，则
. 5 分
由题意得： 6 分
解得 ． 7 分
可取的整数值为 3，4，5． 8 分
（3）在 中， ， 随 增大而增大．
当 时，总费用最少，此时 ．
答：当购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 7 台时，购买的总费用最少． 10 分
23．解：（1） ， ， ， ． 4 分
（2）① ， ， ， ， ．
． 5 分
②点 的横坐标为 ． 7 分
（3）设直线 解析式为 ，代入 ，
得 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ， 8 分
同理，直线 的解析式为 ，
直线 解析式为 ．
， ． ， ，
， ， 9 分
将 代入 ，
得 ，
当 时， ，故直线 经过定点，这个定点坐标为 ． 10 分
24．探索发现
（1）证明： ，∴设 ， 1 分
， ， ， 2 分
∵四边形 为矩形， ， ， ． 3 分
（2）证明：如图（1），延长 ， 交于点 ， ， ，
， ， ， ， ． 4 分
∵ 四 边 形 为 矩 形 ， ， ， ， ，
， ， 5 分
． 6 分
第（2）问其它解法：
另解 1：如图（2），过点 作 垂线，交 延长线于点 ，证明
， ， ．
另解 2：如图（3），连接 ，证明 ，
， ，
又 和 互余， 和 互余， ， ．
迁移拓展 （1）如图（4），延长 ， 交于点 ，在正方形 中， ， ，
， ， ， ，
， ， ， 垂直平分 ，连接 ，
， ，同理： ， ， 为 中位线，
， ， ． 9 分
（如图 5，可以过点 作 的于点 ，延长 ， 交于点 ，转化为探索发现（2）解决）
（2） ． 12 分
解析：如图 6，在迁移拓展（1）的条件下，延长 交 于 ，易证
， ， ， ．
设 ， ，
在 中， ，
，解得 ， ．八年级数学
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1．若式子 有意义，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
3．一组数据：2，3，4，5，6，7，则这组数据的第一四分位数是
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知 ， 两点在一次函数 的图象上，则 与 的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
5．下列边长的三角形，不是直角三角形的是
A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．2，3，4
6．在一次函数 中， ， ，则它的图象不经过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，正方形 的对角线 ， 交于点 ，点 又是正方形 的一个顶点．若
，则阴影部分的面积是
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如图是《九章算术》中记载的浮箭漏示意图，它是由供水壶和箭壶组成，供水壶匀速供水，通过读取箭
尺的读数计算时间．某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏，实验小组通过实验与观察，每 2 h 记录一次箭
尺的读数，部分对应数据如下表．
供水时间 （ ） 0 2 4 6 …
箭尺的读数 （ ） 6 18 30 42 …
当箭尺的读数为 时，供水时间是
A． B． C． D．
9．如图， 是 的角平分线， ，垂足为点 ，点 为 中点，连接 ．若 ，
，则 的长是
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
10．如图（1），在菱形 中，点 从 点出发，以 的速度依次沿着边 ， ， 运动、
到达 点停止运动．设点 运动的时间为 （单位： ）、 的面积为 （单位： ）， 与 之
间的关系如图（2）所示，则菱形 的较短的对角线 的长是
A． B． C． D．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．若正比例函数 的图象经过第二、第四象限，写出一个符合条件的 的值是_______．
12．如图是中式园林里的八角窗，其形状为正八边形，它的每一个内角大小是_______．
13．某商场招聘收银员，对甲、乙两名应试者进行计算机操作、语言表达和商品知识三项测试，他们各项
的成绩（百分制）如下表所示．
应试者 计算机操作 语言表达 商品知识
甲 70 70 80
乙 60 80 85
若计算机操作、语言表达、商品知识成绩分别占 50%，30%，20%，从综合成绩看，应该录取_________．
（填“甲”或“乙”）
14．如图，在 中，点 在 上， ， 平分 ，若 ，则 的
大小是________， 的大小是_______．
15．如图，点 ， 分别在正方形 的边 和 上， ， ， ，则
的长是_______， 的长是_______．
16．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数 的性质，小明用描点法画它的图
象，列出了如下表格：
… -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… 2 1 0 1 0 1 2 …
下列五个结论：
①点 在该函数图象上；
②该函数图象关于 轴对称；
③该函数图象与坐标轴共有 3 个交点；
④若 ，则 ；
⑤关于 的方程 ，不存在整数 ，使其有两个不相等的实数根．
其中正确的是_____________．（填写序号）
三、解答题（共 8 小题，共 72 分）
17．（本小题满分 8 分）
计算：（1） ； （2） ．
18．（本小题满分 8 分）
已知直线 ： （ ）经过点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若将直线 向下平移 2 个单位长度，直接写出平移后直线的解析式．
19．（本小题 8 分）
某校开展“中国传统文化”知识竞赛，比赛成绩分为 A，B，C，D 四个等级，依次记 10 分，9 分，8 分，7
分．随机抽取 名学生的成绩，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
（1） 的值是_______；补全条形统计图；
（2）扇形统计图中“C 等级”对应的圆心角的大小是_______，比赛成绩的中位数是_______分；
（3）若该校共有 1200 名学生参加竞赛，请估计成绩不低于 9 分的学生人数．
20．（木小题满分 8 分）
如图， 的四个内角的平分线分别相交于点 ， ， ， ．
（1）求证：四边形 是矩形；
（2）下列三个条件：① ；② ；③ 对角线相等．从中选择一个条件_________，
使四边形 为正方形．（填写条件序号、不需要证明）
21．（本小题满分 8 分）
如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点， 的三个顶点都是格点， 为
上的点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务．每个任务的连线不超过六条．
（1）在图（1）中，先在 上画点 ，连接 ，使 ；再在 上画点 ，连接
，使 ．
（2）在图（2）中，先画 ；再在 上画 ， 两点，使 ， ．
22．（本小题满分 10 分）
快递公司为提高快递分拣速度．计划购买甲、乙两种型号的机器人来替代人工分拣物品．收集信息如下：
信息 1：甲型机器人单价比乙型机器人多 2 万元，若购买 2 台甲型机器人和 3 台乙型机器人共需 19 万元．
信息 2：该公司购买甲、乙两种型号机器人共 10 台，且购买的甲型机器人数量不超过乙型机器人数量．
信息 3：每台甲型机器人每小时可分拣 1000 件物品，每台乙型机器人每小时可分拣 800 件物品，要求这 10
台机器人每小时分拣物品的总量不少于 8500 件．
问题解决
（1）求甲、乙两种型号机器人的单价分别为多少万元；
（2）设购买甲型机器人 （单位：台），购买机器人的总费用为 （单位：万元），求 与 的函数关系
式，并求出自变量 可取的所有整数值；
（3）设计一种购买方案，使购买机器人的总费用最少．
23．（本小题满分 10 分）
直线 与 轴， 轴交于 ， 两点，直线 与 轴， 轴交于 ， 两点．
（1）直接写出点 ， ， ， 的坐标；
（2）如图（1），点 在 的延长线上，连接 ， ， ．
①若点 的横坐标是 2，求 ；
②若 ，直接写出点 的横坐标．
（3）如 图（2），已知点 ， 分别在第一、第四象限内，直线 ， 交 轴
于 ， 两点．若 ，求证：直线 过定点，并求该定点的坐标．
24．（本小题满分 12 分）
探索发现
如图（1），在矩形 中，点 在边 的延长线上，连接 ，作 于点 ，交 于点
，连接 交 于点 ， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
迁移拓展
如图（2），在正方形 中，点 ， 分别在边 ， 上，过点 作 于点 ， ，
的延长线相交于点 ，射线 交 于点 ，若 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）直接写出 的长．

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