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2026-2027学年五年级上册数学单元全真模拟培优卷（苏教版）
（新教材）第6单元 因数与倍数
学校： 班级： 姓名： 成绩：
注意事项：
答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
请将答案正确填写在答题区域，注意书写工整，格式正确，卷面整洁。
一、选择题
1．电影《哪吒2》讲述了哪吒面对命运挑战，实现自我救赎与成长的故事。某天的放映总场次既是2的倍数，又是3的倍数。下面（ ）可能是当天的放映总场次。
A．357 B．462 C．596 D．614
2．小华运动时佩戴了一款运动手表每6分钟测一次心率，每10分钟测一次血氧。如果上午8：00同时测了心率和血氧，那么，下一次同时测心率和血氧的时间是（ ）。
A．8：03 B．8：30 C．9：00 D．9：30
3．漫步晋中街巷，见工作人员正在分装本地特产酸枣糕，其中被除数和除数存在倍数关系的是（ ）。
A． B． C．
4．端午节到了，妈妈包了24个肉粽和32个蛋黄粽，分装成同样的小礼包，刚好分完，没有剩余。每个礼包里肉粽数量相同，蛋黄粽数量也相同。最多能装（ ）个小礼包。
A．7 B．8 C．24
5．泸州公交231路车和242路车的起点在同一个地方，231路车每6分钟发一班车，242路车每4分钟发一班车。早上5：30两路车同时发车后，下一次同时发车的时间是（ ）。
A．6：00 B．5：42 C．5：36
6．研研家的书房长3.6m，宽3.2m。要给书房铺地砖，下面的地砖规格中，可以不用切割，正好铺满的是（ ）。
A．40cm×40cm B．60cm×60cm C．80cm×80cm
7．数学家们证明了“质数有无穷多个”，并且发现有些质数可以写成两个平方数之和，例如：5＝12＋22，13＝22＋32。下面的数中，能写成两个平方数之和的质数是（ ）。
A．7 B．11 C．17 D．19
8．绘画社团的部分同学参加学校组织的立蛋活动，如果3人一组或5人一组，均剩余1人。参加活动的可能是（ ）人。
A．60 B．61 C．62
9．一包糖果，无论平均分给6个人还是平均分给8个人，都剩下3块，这包糖果至少有（ ）块。
A．51 B．48 C．24 D．27
10．某市政道路长1200米，原计划每隔40米设置一个共享单车停放点（两端都设）。后因优化布局，改为每隔60米设置一个。请问有（ ）个原有的停放点位置不需要移动？
A．6 B．10 C．11 D．12
二、填空题
11．体育课分组跳绳训练，参训人数在35~45人之间，无论分成4人一组，还是5人一组，都多1人，本次参与跳绳训练的有( )人。
12．某小学开展全员体质健康测试活动，五年级一班共24名男同学参与测试。24的因数有( )，其中既是偶数又是质数的是( )。
13．“12，15，30”这三个数的最小公倍数是( )；若将其中因数最多的数写成几个质数相乘的形式，则可表示为( )。
14．在“怡然见晋中”文化节的榆次老城花灯布置中，工作人员用24盏红灯笼和18盏黄灯笼搭配成若干组造型，每组造型中红灯笼和黄灯笼的数量分别相同且无剩余。每组造型中，最少能使用( )盏红灯笼和( )盏黄灯笼。
15．一块正方形布料，既可以裁成若干条边长是4cm的方巾，也可以裁成若干条边长是6cm的方巾，且都没有剩余。这块正方形布料的边长至少是( )cm。
16．春日畅游榆次百草坡森林公园，园区内成活绿植乔木共98棵。98的因数有( )，其中既是偶数又是质数的数是( )。
17．五年级一班男生分组去参加课外活动，每6人一组或每8人一组，都能刚好分完。五年级一班男生最少有( )人。
18．一箱苹果，如果6个装一盒，还剩余4个，如果7个装一盒，也还剩余4个。这箱苹果至少有( )个。
19．一个两位数，既是3的倍数，又有因数5，如果这个数是偶数，最大是( )，如果这个数是奇数，最小是( )。
20．a和b都是大于0的自然数，若，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )；若，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
21．聪聪和亮亮在环形跑道上跑步，聪聪跑一圈要6分钟，亮亮跑一圈要8分钟。两人同时从起点出发，至少经过( )分钟后，他们会再次在起点相遇。
22．如果M÷N＝6（M、N都是非0自然数），M是N的( )，N是M的( )。（填因数或倍数）
23．用0、1、8、3四个数字组成一个数，它既是2的倍数，又是3的倍数，这个数最大是( )，最小的四位数是( )。
24．学校以“绿色发展，低碳创新”为主题举办环保宣传活动，同学们积极报名参加。活动开始前，老师想把报名的同学分成几个小组分配任务，他发现每组6人剩1人，每组7人也剩1人，那么报名参加活动的同学至少有( )人。
25．某天，爸爸的手机显示步数为四位数938□。若这个四位数既有因数2又有因数5，则步数是( )步；若这个四位数既是2的倍数又是3的倍数，则这个步数是( )步。
三、判断题
26．已知a是一个非零自然数，则5a一定是合数。( )
27．因为0.8×10＝8，所以0.8和10是8的因数。( )
28．用3、4、5三张数字卡片组成不同的三位数，所组成的三位数中，奇数的可能性大。( )
29．在1~20的20个自然数中，有8个质数，12个合数。( )
30．今年2026年是平年，全年共365天，而且2026是3的倍数。( )
四、计算题
31．求下面各组数的最大公因数和最小公倍数。
24和18 25和15 13和26
32．用短除法把下列各数分解质因数。
32 48 91
五、作图题
33．一个周长为18厘米的长方形，它的长和宽都是质数，请你在下列方格中画出这个长方形。（每个小方格的边长都是1厘米）。
六、解答题
34．一种长方形地砖长8分米，宽6分米。用这种地砖铺一个正方形（地砖必须是整块的），正方形的边长最小是多少分米？铺这个正方形用了多少块地砖？
35．学校开展五年级学生体质健康肺活量抽测，抽取36名男生、24名女生分批测试，男、女生分别分组，每组人数相同且无剩余。每组最多有多少人？这时一共可以分成几个小组？
36．五年级师生前往榆次老城研学，分组活动，每8人一组或每12人一组，都正好分完。已知师生人数在50人以内，本次研学最多有多少人？
37．爸爸和笑笑沿着1200米的环形公园跑步。爸爸每分钟跑300米，笑笑每分钟跑200米，两人同地点同时同方向出发；至少经过多长时间两人同时回到出发点？
38．用一种长20厘米、宽16厘米的长方形地砖拼成一个正方形（地砖不重叠），只能整块地砖铺，不能切割，地砖之间空隙忽略不计）。至少需要多少块这样的长方形地砖？
39．即墨古城正在进行街巷地面的维护翻新工程，施工队计划用一种仿古青砖铺设一处正方形的景观平台。这种青砖每块长45厘米、宽30厘米，为了让平台地面整齐美观，不切割任何砖块，这个正方形的景观平台至少需要多少块这样的砖才能铺成？
40．用长18厘米，宽12厘米的长方形地砖铺成一个正方形图案（都用整块的地砖），这个正方形的边长最小是多少厘米？铺这样一个正方形图案需要多少块砖？
41．草鞋陪伴红军翻雪山、过草地，见证了“红军不怕远征难”的豪迈，某研学小组参加“编草鞋”体验活动，活动前老师要将两条长度分别为56分米和80分米的麻绳剪成同样的整数分米小段给同学们，且没有剩余，剪的每段麻绳最长为多少分米？一共可以剪成多少段？
42．海水稻具有抗涝、抗盐碱等能力，通过推广种植海水稻，可实现“亿万荒滩变良田”。小新家有一块海水稻试验田，长60米，宽48米。把这块海水稻试验田划分为若干块大小相同的正方形试验田且没有剩余，最少可以划分出多少块？（边长为整米数）
43．芳芳家要给长分米、宽为分米的储藏室地面铺一种地砖（整块铺），市场上有边长为4分米和6分米的正方形地砖两种。
(1)她选择边长是( )分米的正方形地砖来铺，能保证用的地砖都是整块的。
(2)这种正方形地砖需要多少块？
44．六一儿童节，同学们用彩带装扮教室，有一根黄彩带长为30厘米，另一根红彩带长45厘米。把两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？
45．一张长方形木板长28米，宽12米。木工师傅将它裁成同样大小且没有剩余的正方形，正方形的边长最大是多少厘米？一共可以裁成多少个这样的正方形？
46．布艺坊社团制作非遗香囊挂件。有一块长45分米、宽36分米的彩色花布，要把它裁成边长是整分米数、大小完全相同的正方形小布块（没有剩余），至少能裁成多少块这样的小布块？
47．志愿者小组分配。五年级48名男生和42名女生报名运动会的志愿者，为运动会尽自己的一份力量。如果把这些男生和女生分别分成若干个小组，每个小组的人数相等，且没有多余。至少可以分成多少个小组？
48．环绕操场步行一周，甲要4分钟，乙要6分钟，丙要8分钟。三人同时同地同向出发环绕操场步行，当他们三人再次相遇时，甲、乙、丙分别走了几周？
49．拾金不昧、见义勇为、帮扶同学，这些都是当代学生的高尚品格。希望小学的校长将48本笔记本和36支钢笔全部分给五年级的品德模范，要求每名品德模范都有笔记本和钢笔，且每人分得的笔记本数量相同，钢笔数量也相同。每名品德模范至少分得几本笔记本和几支钢笔？
50．阳光小学五（1）班有男生30人，女生24人。
(1)在六一儿童节当天游戏中，班主任张老师要把五（1）班同学5人分一组，至少有几名同学不能刚好分成一组？
(2)在节目汇演中，张老师要把五（1）班男生和女生分别分成若干列，要使每列的人数都相等，每列最多站几人？五（1）班男生和女生一共可以分成多少列？
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参考答案与试题解析
1．B
【分析】既是2的倍数又是3的倍数，说明这个数同时满足2的倍数的特征和3的倍数的特征。2的倍数个位上是 0、2、4、6、8；3的倍数各位上数的和是3的倍数。据此逐项判断。
【解析】A．个位上是7，不是2的倍数，此选项错误；
B．462个位上是2，是2的倍数；各位上数的和是 ，12是3的倍数，所以462是3的倍数，此选项正确；
C．596个位上是6，是2的倍数；各位上数的和是 ，20不是3的倍数，所以596不是3的倍数，此选项错误；
D．614个位上是4，是2的倍数；各位上数的和是 ，11不是3的倍数，所以614不是3的倍数，此选项错误。
下面462可能是当天的放映总场次。
2．B
【分析】心率测量间隔是6分钟，血氧测量间隔是10分钟，要求下一次同时测量的时间，即求6和10的最小公倍数，计算出经过的分钟数后，再加上起始时间即可得出结果。
【解析】6＝2×3
10＝2×5
6和10的最小公倍数：
2×3×5
＝6×5
＝30
再过30分钟可以同时测量。
下一次同时测心率和血氧的时间：8：00＋30分钟＝8∶30
3．B
【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数的倍数，除数是被除数的因数。解题时需逐一计算各选项的除法算式，判断是否满足商是整数且没有余数的条件。
【解析】A．，有余数，被除数和除数不存在倍数关系，此选项错误；
B．，商是整数且没有余数，被除数和除数存在倍数关系，此选项正确；
C．，有余数，被除数和除数不存在倍数关系，此选项错误。
4．B
【分析】根据题意，小礼包的数量必须同时整除肉粽的数量和蛋黄粽的数量，即小礼包的数量是24和32的公因数。要求“最多”能装多少个小礼包，即求24和32的最大公因数。用分解质因数法求出它们的最大公因数，最后对照选项得出答案。
【解析】24＝2×2×2×3
32＝2×2×2×2×2
24和32的最大公因数是2×2×2＝8
所以最多能装8个小礼包。
5．B
【分析】两路车从同一时刻开始发车，下一次同时发车经过的时间间隔必须是两路车发车间隔时间的公倍数。要求“下一次”同时发车，即求和的最小公倍数。求出最小公倍数后，将其加到起始时刻上，即可得到下一次同时发车的具体时间。
【解析】第一步：求和的最小公倍数。
的倍数有：
的倍数有：
和的最小公倍数是。
这说明每隔分钟两路车同时发车一次。
第二步：计算下一次同时发车的时刻。
起始时刻是，经过分钟。
（分）
所以下一次同时发车的时间是。
6．A
【分析】要使地砖不用切割正好铺满，地砖的边长必须是书房长和宽的公因数。先将书房的长和宽的单位m换算成cm（1m＝100cm），再分别计算各选项中的地砖边长是否能同时整除书房的长和宽。
【解析】3.6×100＝360，3.6m＝360cm
3.2×100＝320，3.2m＝320cm
A．360÷40＝9，320÷40＝8，商均为整数，说明40是360和320的公因数，该选项正确；
B．320÷60＝5……20，商不是整数，说明60不是320的因数，该选项错误；
C．360÷80＝4……40，商不是整数，说明80不是360的因数，该选项错误。
综上所述，可以不用切割，正好铺满的地砖规格是40cm×40cm。
7．C
【分析】非0自然数中，只有1和它本身两个因数的数是质数。逐一分析各选项中的数是否为质数，常见的平方数有1（12）、4（22）、9（32）、16（42）、25（52）……同时看是否能找到两个平方数相加等于该数。
【解析】A．7是质数，7＝1＋6＝4＋3，6、3都不是平方数，7不能写成两个平方数之和，此选项错误。
B．11是质数，11＝1＋10＝4＋7＝9＋2，10、7、2都不是平方数，11不能写成两个平方数之和，此选项错误。
C．17是质数，17＝1＋16＝12＋42，1和16是平方数，17可以写成两个平方数之和，此选项正确。
D．19是质数，19＝1＋18＝4＋15＝9＋10＝16＋3，18、15、10、3都不是平方数，19不能写成两个平方数之和，此选项错误。
8．B
【分析】根据题意“3人一组或5人一组，均剩余1人”，可知总人数减去1后，既能被3整除，也能被5整除，即总人数减1是3和5的公倍数。解题时结合选项，验证哪个数减去1后是3和5的公倍数即可。
【解析】A．，不能被3整除，也不能被5整除，此选项错误；
B．，，，是3和5的公倍数，此选项正确；
C．，不能被3整除，也不能被5整除，此选项错误。
参加活动的可能是61人。
9．D
【分析】根据题意，糖果总数减去剩下的3块后，既能被6整除，也能被8整除，说明糖果总数减去3是6和8的公倍数；要求至少有多少块，即求6和8的最小公倍数，再加上剩下的3块。
【解析】6＝2×3
8＝2×2×2
2×2×2×3
＝4×2×3
＝8×3
＝24
24＋3＝27（块）
10．C
【分析】不需要移动的停放点，其位置距离起点的长度必须既是原计划间隔40米的倍数，又是新计划间隔60米的倍数，即是40和60的公倍数。解题思路是先求出40和60的最小公倍数，确定不需要移动的点的间隔距离，再根据总路程和两端都设的条件，利用“点数＝总长÷间隔距离＋1”的关系计算出具体数量。
【解析】求40和60的最小公倍数。
40和60的最小公倍数是。
（个）
所以共有个原有的停放点位置不需要移动。
11．41
【分析】不管是每4人一组，还是每5人一组，都剩余1人，可得这个队伍的人数比4和5的公倍数多1，要求这个队伍最少有多少人，4和5互质，所以4和5的最小公倍数是它们的乘积，据此找出35~45之间4和5的公倍数，再加1得解。
【解析】
4和5的最小公倍数是20。
4和5的公倍数：20、40、60······
（人）
（人）
（人）
21＜35＜41＜45＜61
所以本次参与跳绳训练的有41人。
12．、、、、、、、
【分析】先根据乘法算式找出24全部因数。再结合偶数和质数的概念筛选出符合条件的数。
偶数：是2的倍数的数。
质数：只有1和它本身，2个因数的数。
【解析】找的因数：
所以的因数有：、、、、、、、。
在的因数中，偶数有：、、、、、；
质数有：、；
其中既是偶数又是质数的是。
13．60 30＝2×3×5
【分析】先将这三个数全部分解成质数相乘的形式，找出所有出现过的不同质因数，每个质因数取三个里面出现次数最多的，将这些质因数全部相乘，乘积就是这三个数的最小公倍数。
分别找出12，15和30的因数，看哪个数的因数个数最多，再将这个数写成质数相乘的形式。
【解析】分解质因数：12＝2×2×3，15＝3×5，30＝2×3×5。
2、3、5是出现的所有质因数，且12里面2出现的次数最多，要乘2次，所以最小公倍数是2×2×3×5＝60。
12的因数有1，2，3，4，6，12，有6个；15的因数有1，3，5，15，有4个；30的因数有1，2，3，5，6，10，15，30，有8个。
30的因数个数最多，分解质因数是30＝2×3×5。
14．4 3
【分析】由题意可知，把24盏红灯笼和18盏黄灯笼搭配成若干组造型，每组造型中红灯笼和黄灯笼的数量分别相同且无剩余。则搭配成的造型组数既是24的因数也是18的因数，要每组的红灯笼和黄灯笼最少，则组数需要最多，最多的组数为24和18的最大公因数，计算出组数，用红灯笼的总数量÷组数＝每组红灯笼的数量；黄灯笼的总数量÷组数＝每组黄灯笼的数量。
【解析】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6；18＝1×18＝2×9＝3×6；
24和18的最大公因数为6，最多配成6组造型
每组红灯笼：24÷6＝4（盏）
每组黄灯笼：18÷6＝3（盏）
15．12
【分析】正方形布料的边长要同时被4和6整除，也就是边长得是4和6的公倍数，要求边长至少是多少，也就是求4和6的最小公倍数。用分解质因数法求最小公倍数即可解答。
【解析】4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是2×2×3＝12
即这块正方形布料的边长至少是12cm。
16．、、、、、
【分析】找一个数的因数，可以用乘法算式一对一对地找，注意要做到不重复、不遗漏。质数是指只有1和它本身两个因数的数，偶数是能被2整除的数。在所有质数中，只有2是偶数，其余质数都是奇数。
【解析】98的因数：
，，
所以98的因数有：1、2、7、14、49、98。
在98的因数中：偶数有：2、14、98；质数有：2、7；
既是偶数又是质数的数是2。
17．24
【分析】根据题意，每6人一组或每8人一组都刚好分完，说明男生总人数是6和8的公倍数，题目问最少多少人，就是求两个数的最小公倍数。
【解析】6＝2×3，8＝2×2×2
2×2×2×3＝24
所以五年级一班男生最少有24人。
18．46
【分析】先求出6和7的最小公倍数，再根据剩余苹果数量，计算出这箱苹果至少有多少个。因为苹果数量除以6和除以7都余4，所以苹果总数是6和7的最小公倍数加上4。
【解析】因为6和7互质，所以它们的最小公倍数是6×7＝42，42＋4＝46（个）。
19．90 15
【分析】同时满足是3的倍数、又有因数5的数，这个数是15的倍数；
15的倍数中偶数是15和偶数的乘积，所以在两位数的范围内找最大的符合条件的数；偶数个位必须是偶数，因此个位只能是0，十位取最大的一位数9。
15的倍数中奇数是15和奇数的乘积，所以在两位数的范围内找最小的符合条件的数；奇数个位必须是奇数，因此个位只能是5，十位是最小的一位数1。
【解析】如果这个数是偶数，最大是90。
90既是3的倍数，又有因数5。
如果这个数是奇数，最小是15。
15既是3的倍数，又有因数5。
20．1 /ba
【分析】分两种关系判断。（1）a＋1＝b，说明a和b相差1，是相邻的两个自然数，相邻自然数没有除1以外的公因数，所以最大公因数是1；两个互质数的最小公倍数是它们的乘积。（2）a÷b＝3，说明a是b的3倍，a和b成倍数关系；成倍数关系的两个数，较小数是最大公因数，较大数是最小公倍数。
【解析】（1）因为a＋1＝b，所以a和b是相邻的两个自然数。
相邻的两个自然数只有公因数1，所以a和b的最大公因数是1。
最小公倍数是a×b＝ab。
（2）因为a÷b＝3，所以a＝3b，a是b的倍数。
所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。
21．24
【分析】两人同时从起点出发，再次在起点相遇，说明经过的时间既是聪聪跑一圈所用时间的倍数，也是亮亮跑一圈所用时间的倍数。要求“至少”经过多少分钟，即求6和8的最小公倍数。
【解析】6的倍数有：6、12、18、24、30等；
8的倍数有：8、16、24、32等；
6和8的最小公倍数是
至少经过分钟后，他们会再次在起点相遇。
22．倍数 因数
【分析】在整数除法中，如果商是整数而且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数，据此填空即可。
【解析】如果M÷N＝6（M、N都是非0自然数），M是N的倍数，N是M的因数。
23．8310 1038
【分析】既是2的倍数又是3的倍数的数需要同时满足两个条件：个位是0、2、4、6、8；各个数位数字之和能被3整除。先计算0、1、8、3的总和，判断四位数都满足3的倍数要求，只需让个位为0或8；要找最大数就把大数放高位、个位取0，要找最小四位数就把最小非0数放千位，个位取8。
【解析】0＋1＋8＋3＝12，12÷3＝4，说明用这四个数字组成的任意四位数都是3的倍数。
是2的倍数，个位只能是0或8。
求最大四位数：高位尽量放大数字，个位选0，依次排8、3、1、0，得到8310。
求最小四位数：千位不能为0，最小选1，个位选8，中间从小到大排0、3，得到1038。
24．43
【分析】每组6人剩1人，这意味着报名的总人数减去1人后，正好是6的倍数；
每组7人也剩1人，这意味着报名的总人数减去1人后，正好是7的倍数；综合起来，总人数减去1是6和7的公倍数；求最少的人数，先找6和7的最小公倍数，再把多出的1人加回去即可。
【解析】因为6和7是互质数，
最小公倍数：（人）
（人）
即报名参加活动的同学至少有43人。
25．9380 9384
【分析】这个四位数同时有因数2和5，说明这个数具备2和5的倍数的共同特征；2的倍数，个位上的数是偶数；5的倍数，个位上是0或5；
这个四位数既是2的倍数又是3的倍数，说明这个数具备2和3的倍数的共同特征；2的倍数，个位上的数是偶数；3的倍数，各位上的数的和是3的倍数。
【解析】是2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，是5的倍数，个位可以是0、5，综上，既是2的倍数又是5的倍数，个位只能是0，这个四位数是9380；
是2的倍数，个位可以是0、2、4、6、8，
如果个位是0，，20不是3的倍数；
如果个位是2，，22不是3的倍数；
如果个位是4，，24是3的倍数；
如果个位是6，，26不是3的倍数；
如果个位是8，，28不是3的倍数；
综上，既是2的倍数又是3的倍数，个位只能填4，这个四位数是9384。
26．×
【分析】判断命题是否正确，可通过举反例的方法。非零自然数包括，，……，需考虑时的特殊情况，看是否符合合数的定义。
【解析】根据合数的定义：一个数如果除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
因为是非零自然数，
所以可以取，
当时，。
的因数只有和，所以是质数。
由此可见，不一定是合数，原题说法错误。
故答案为：×
27．×
【分析】因数和倍数是在不为0的自然数范围内才有的说法。据此判断。
根据五年级所学因数和倍数的意义，研究因数和倍数时，所说的数指的是非零自然数，小数不在研究范围内，据此判断。
【解析】由分析得出：
0.8是小数，不能说0.8和10是8的因数。所以，原题说法错误。
故答案为：×
28．√
【分析】先列出所有用3、4、5组成的三位数，再分别统计奇数和偶数的数量，比较数量多少判断可能性大小。
【解析】用3、4、5组成的三位数有：345、354、435、453、534、543，共6个。
其中奇数为345、435、453、543，共4个；偶数为354、534，共2个。
因为4＞2，所以组成的三位数中奇数的数量更多，即奇数的可能性大，题目说法正确。
故答案为：√
29．×
【分析】一个自然数，如果只有和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个自然数，如果除了和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；既不是质数也不是合数。采用列举法，找出中所有的质数和合数，统计具体个数后与题干描述进行对比验证。
【解析】在这个自然数中：
质数有：，共个；
合数有：，共个；
数字既不是质数也不是合数。原题说法错误。
故答案为：×
30．×
【分析】判断平年、闰年的方法：用年份除以4（整百年份除以400），有余数为平年，无余数为闰年；判断一个数是否是3的倍数，可以把这个数每一位上的数字全部加起来，如果得到的和能被3整除，那这个数就是3的倍数；如果和不能被3整除，这个数就不是3的倍数。分别验证题干中的两个结论。
【解析】
有余数，所以2026年是平年，全年共365天，这部分说法正确；
不是3的倍数，所以2026不是3的倍数，这部分说法错误。
综上所述，原题说法错误。
故答案为：×
31．24和18：最大公因数6，最小公倍数72；
25和15：最大公因数5，最小公倍数75；
13和26：最大公因数13，最小公倍数26
【分析】分解质因数是把合数分解成若干个质因数相乘的形式。
两个或两个以上的合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是它们的最大公因数；把公有的质因数与每个数独有的质因数乘起来，就是它们的最小公倍数。
当两个数是倍数关系时，它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
【解析】（1）24＝2×2×2×3
18＝2×3×3
24和18的最大公因数是：2×3＝6
24和18的最小公倍数是：2×2×2×3×3＝72
（2）25＝5×5
15＝3×5
25和15的最大公因数是：5；
25和15的最小公倍数是：3×5×5＝75；
（3）13和26是倍数关系，所以13和26的最大公因数是13，最小公倍数是26。
32．32＝2×2×2×2×2；48＝2×2×2×2×3；91＝7×13
【分析】用短除法分解质因数，先用能被它整除的一个最小质数去除，如果得到的商是合数，就按照上面的方法继续除下去。以此类推，除到商是质数为止。最后把除数和最后的商写成连乘的形式。
【解析】

32＝2×2×2×2×2 48＝2×2×2×2×3 91＝7×13
33．见详解
【分析】一个数，只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。
根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2；即长、宽之和是18÷2＝9；找出两个质数和是9的，即可画出这个长方形，据此解答。
【解析】18÷2＝9（厘米）
9＝7＋2，7、2都是质数；
所以画一个长是7厘米，宽是2厘米的长方形。
如图：
34．24分米，12块
【分析】用长方形地砖铺成正方形，且地砖必须是整块的，说明正方形的边长既是地砖长的倍数，也是地砖宽的倍数。要求正方形的边长最小，即求长和宽的最小公倍数。求出正方形边长后，根据正方形面积和地砖面积的关系，或分别计算长和宽方向所需地砖数量，即可求出地砖总块数。
【解析】
8和6的最小公倍数是：
（块）
答：正方形的边长最小是24分米；铺这个正方形用了12块地砖。
35．12人；5个
【分析】根据题意，男、女生分别分组，且每组人数相同、无剩余，说明每组人数必须是男生人数和女生人数的公因数。要求每组最多有多少人，即求和的最大公因数，用短除法求得。求出每组人数后，分别计算男生和女生所分的组数，最后将两者相加即可得到总组数。
【解析】
求和的最大公因数，所以每组最多有人。
（个）
（个）
（个）
答：每组最多有人，这时一共可以分成个小组。
36．48人
【分析】已知五年级师生人数每8人一组或每12人一组，都正好分完，说明师生人数是8的倍数，也是12的倍数，先找出8和12的最小公倍数，再依次扩倍，计算到人数小于50的最大数，就是本次研学最多的人数。
【解析】
8和12的最小公倍数为
24×1＝24（人），24＜50
24×2＝48（人），48＜50
24×3＝72（人），72＞50不符合条件
48＞24，人数最多有48人
答：本次研学最多有48人。
37．12分钟
【分析】两人同时回到出发点，意味着两人跑的时间必须分别是各自跑一圈所需时间的整数倍。要求“至少”经过多长时间，即求两人跑一圈所需时间的最小公倍数。首先根据“时间路程速度”，分别求出爸爸和笑笑跑一圈的时间，再求这两个时间的最小公倍数即可。
【解析】爸爸跑一圈需要的时间：（分钟）
笑笑跑一圈需要的时间：（分钟）
的倍数有：
的倍数有：
和的最小公倍数是。
答：至少经过分钟两人同时回到出发点。
38．块
【分析】用长方形地砖拼成正方形，正方形的边长必须是长方形长和宽的公倍数。要求至少需要多少块，就是求最小的正方形边长，即长和宽的最小公倍数。求出最小公倍数作为正方形的边长，再用正方形面积除以一块地砖的面积，得到至少需要的块数。
【解析】20＝2×2×5
16＝2×2×2×2
最小公倍数：2×2×2×2×5＝80
80×80÷（20×16）
＝6400÷320
＝20（块）
答：至少需要20块这样的长方形地砖。
39．6块
【分析】要用长方形的青砖铺成正方形平台且不切割，说明正方形平台的边长必须既是青砖长的倍数，也是青砖宽的倍数，即边长是45和30的公倍数。要求至少需要多少块砖，即求正方形的边长最小是多少，也就是求45和30的最小公倍数。求出正方形边长后，分别计算长和宽方向各需要多少块砖，相乘即可得到总块数。
【解析】，，
45和30的最小公倍数是，正方形平台的边长至少是90厘米。
（块）
答：这个正方形的景观平台至少需要6块这样的砖才能铺成。
40．36厘米；6块
【分析】要用长方形地砖铺成一个正方形图案，正方形的边长必须既是长方形长的倍数，也是宽的倍数。要求正方形的边长最小，即求18和12的最小公倍数。求需要多少块砖，用拼成的正方形的面积除以一块长方形地砖的面积即可。
【解析】18＝2×3×3
12＝2×2×3
所以18和12的最小公倍数是：2×2×3×3＝36
即正方形的边长最小是36厘米。
36×36÷（18×12）
＝1296÷216
＝6（块）
答：这个正方形的边长最小是36厘米，铺这样一个正方形图案需要6块砖。
41．8 分米；17 段
【分析】要把两条不同长度的绳子剪成同样的整数分米小段且没有剩余，每段的长度必须是两条绳子长度的公因数；要求每段最长，即求和的最大公因数。求出每段长度后，分别用两条绳子的总长度除以每段长度，求出各自的段数，最后相加即可得到总段数。
找最大公因数方法：把两个数分解成质数相乘；把相同质因数全部相乘，积就是最大公因数。
【解析】和分解质因数：
和的最大公因数是：
所以剪的每段麻绳最长为分米。
一共可以剪成的段数：
（段）
答：剪的每段麻绳最长为 分米，一共可以剪成段。
42．20块
【分析】要把长方形试验田划分成大小相同的正方形且没有剩余，正方形的边长必须是长和宽的公因数。要求最少划分多少块，则每块正方形试验田的面积要尽可能大，即边长要尽可能大，也就是求长和宽的最大公因数。求出最大公因数后，分别用长和宽除以最大公因数，得到长和宽方向各能划分的块数，二者相乘即为总块数。
【解析】
60和48的最大公因数是2×2×3＝12。
即正方形试验田的最大边长为12米。
（60÷12）×（48÷12）
＝5×4
＝20（块）
答：最少可以划分出20块。
43．(1)
(2)
块
【分析】要使正方形地砖能整块铺满长方形地面，地砖的边长必须既是地面长的因数，也是地面宽的因数，即长和宽的公因数。首先分别找出和的因数，判断和哪个是它们的公因数，从而确定地砖边长。确定边长后，用地面的长和宽分别除以地砖边长，求出长和宽方向各铺的块数，再相乘得到总块数。
【解析】（1）的因数有：
的因数有：
和的公因数有：
选择边长是分米的正方形地砖来铺，能保证用的地砖都是整块的。
（2）
（块）
答：这种正方形地砖需要块。
44．15厘米
【分析】把两根彩带剪成同样长的短彩带且没有剩余，说明短彩带的长度是30和45的公因数。要求每根短彩带最长是多少厘米，即求30和45的最大公因数。
【解析】；
30和45的最大公因数是：（厘米）
答：每根短彩带最长是15厘米。
45．400厘米；21个
【分析】根据题意，要把长方形木板裁成同样大小且没有剩余的正方形，正方形的边长必须是长方形长和宽的公因数。要求正方形的边长最大是多少，即求长和宽的最大公因数。先进行单位换算，求出边长后，分别计算长和宽各能裁出多少个边长，相乘即可得到正方形的总个数。
【解析】28米＝2800厘米
12米＝1200厘米
2800＝2×2×2×2×5×5×7
1200＝2×2×2×2×3×5×5
所以2800和1200的最大公因数是2×2×2×2×5×5＝400
所以正方形的边长最大是400厘米。
（2800÷400）×（1200÷400）
＝7×3
＝21（个）
答：正方形的边长最大是400厘米，一共可以裁成21个这样的正方形。
46．20块
【分析】要把长方形裁成大小完全相同的正方形且没有剩余，正方形的边长必须是长和宽的公因数；要求至少能裁成多少块，意味着每块正方形的边长要尽可能大，即求长和宽的最大公因数；求出边长后，分别计算长和宽各能裁多少块，相乘即可得到总块数。
【解析】
45和36的最大公因数是。
所以正方形小布块的边长是9分米。
（块）
（块）
（块）
答：至少能裁成20块这样的小布块。
47．15个
【分析】要把男生和女生分别分成人数相等的小组，说明每组的人数必须是男生人数和女生人数的公因数。要求至少分成多少个小组，意味着每组的人数要尽可能多，因此每组人数应是48和42的最大公因数。求出最大公因数后，用男生人数和女生人数分别除以最大公因数，分别计算出男生和女生可以分成的组数，最后将两者相加即可得到总组数。
【解析】48＝2×2×2×2×3
42＝2×3×7
因此，48和42的最大公因数为：2×3＝6
48÷6＋42÷6
＝8＋7
＝15（个）
答：至少可以分成15个小组。
48．甲走了6周，乙走了4周，丙走了3周
【分析】三人同时同地同向出发，当他们再次相遇时，所用的时间必须是每个人走一周所需时间的公倍数。要求第一次相遇，即求4、6、8的最小公倍数。求出相遇所需的总时间后，分别除以每人走一周的时间，即可求出各自走的周数。
【解析】4＝2×2
6＝2×3
8＝2×2×2
4、6、8的最小公倍数是2×2×2×3＝24。
即经过24分钟三人再次相遇。
甲：24÷4＝6（周）
乙：24÷6＝4（周）
丙：24÷8＝3（周）
答：甲走了6周，乙走了4周，丙走了3周。
49．本；支
【分析】根据题意，笔记本和钢笔都要全部分完，且每人分得的数量相同，说明品德模范的人数必须是和的公因数。题目要求每名品德模范分得的物品数量“至少”是多少，意味着品德模范的人数要尽可能“最多”。因此，解题思路是先求和的最大公因数，确定最多有多少名品德模范，再用物品总数除以人数，即可得到每人分得的最少数量。
【解析】的因数有：
的因数有：
和的公因数有：
其中最大公因数是，所以最多有名品德模范。
每名品德模范分得笔记本的数量：
（本）
每名品德模范分得钢笔的数量：
（支）
答：每名品德模范至少分得本笔记本和支钢笔。
50．(1)4人
(2)6人；9列
【分析】（1）先用男生人数加上女生人数，求出全班总人数；再用总人数除以每组人数5，所得的余数即为不能刚好分成一组的人数。
（2）要使男生和女生分别分成若干列且每列人数相等，每列人数必须是男生人数和女生人数的公因数。要求每列最多站几人，即求30和24的最大公因数。求出每列人数后，分别求出男生和女生可以分成的列数，最后相加求出总列数。
【解析】（1）30＋24＝54（人）
54÷5＝10（组）……4（人）
答：至少有4名同学不能刚好分成一组。
（2）30＝2×3×5
24＝2×2×2×3
30和24的最大公因数是：2×3＝6
所以每列最多站6人。
男生分成的列数：30÷6＝5（列）
女生分成的列数：24÷6＝4（列）
一共分成的列数：5＋4＝9（列）
答：每列最多站6人，五（1）班男生和女生一共可以分成9列。
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