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2025-2026学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。
1.已知集合A={0，1，2}，B={1，2，3}，C={0，1}，则（A∩B）∪C=（　　）
A. {0，1} B. {0，1，2} C. {1，2，3} D. {0，1，2，3}
2.命题“ x∈R，x3＞x”的否定是（　　）
A. x∈R，x3≤x B. x∈R，x3＜x C. x∈R，x3≤x D. x∈R，x3＜x
3.函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A. B.
C. D.
4.已知口袋里有3个小球，其中2个红球，1个白球，甲、乙2人依次随机摸出1个小球.记事件A为“甲摸到红球”，事件B为“乙摸到红球”，则下列说法错误的是（　　）
A. 若摸球后放回，则P（A）=P（B） B. 若摸球后不放回，则P（A）=P（B）
C. 若摸球后放回，则P（B）=P（B|A） D. 若摸球后不放回，则P（B）=P（B|A）
5.已知，则下列选项正确的是（　　）
A. b＜c＜a B. b＜a＜c C. c＜a＜b D. c＜b＜a
6.已知a,b∈R，则“a＞b＞0”是“”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高X（单位：cm）近似服从正态分布N（170，52），则身高落在区间[170，175]内的男生人数约为（　　）
（参考数据：若X N（μ，σ2），则P（μ-σ X μ+σ）≈0.6827）
A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328
8.已知（x2+a）（x-）5的展开式中各项系数的和为-3，则该展开式中x的系数为（　　）
A. 0 B. -120 C. 120 D. -160
9.已知正实数a,b满足ab+2a-2=0，则4a+b的最小值是（　　）
A. 2 B. C. D. 6
10.定义域为R的函数，若关于x的方程f2（x）+mf（x）+n=0恰有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则所有实数x1，x2，x3，x4，x5之和为（　　）
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.某产品的广告投入x（万元）与销售额y（万元）的统计数据如下：
x 2 3 5 6
y 20 35 50 55
若y关于x的线性回归方程为，则= .
12.已知，则a5的值为 .
13.计算= .
14.若函数f（x）=loga（1-ax）在上单调递减，则实数a的取值范围为______．
15.用分别写有数字“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“4”的六张卡片可以组成 个六位整数.（用数字作答）
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
已知在（-）n的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n；
（2）求含x2项的系数；
（3）求展开式中所有的有理项．
17.(本小题15分)
某闯关游戏规则如下：闯关按关卡依次进行，若连续两个关卡任务都闯关失败，则游戏结束；每一个关卡系统随机派发一个简易关卡或高难关卡，派发简易关卡的概率为，派发高难关卡的概率为.已知玩家顺利通关简易关卡与高难关卡的概率分别为，且各关卡闯关完成情况相互独立.
（1）求该玩家在一个关卡中顺利通关的概率；
（2）记该玩家在完成第n个关卡后，整个游戏还未结束的概率为pn，求p2的值.
18.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2-7x+6lnx+10.
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
（2）求f（x）的单调区间和极小值.
19.(本小题17分)
科技馆趣味概率实验装置内装有8个同款发光小球，4颗红光球体，4颗白光球体.参与者分两轮操作，每轮一键弹出两颗小球，第一轮弹出的小球直接弹出装置无法回收，再进行第二轮弹射.两轮里单次弹出两颗光色相同即为实验通关，光色不同则本轮通关失败.
（1）求实验通关次数X的分布列和数学期望；
（2）求第二轮实验通关的概率.
20.(本小题15分)
已知函数.
（1）当a=1时，求函数f（x）的最值；
（2）讨论方程f（x）=f（-x）解的个数；
（3）若方程f（x）=f（-x）存在两个非零解x1，x2，且满足x1＜0＜x2，证明：|f′（x1）|＞|f′（x2）|.
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】C
11.【答案】2
12.【答案】84
13.【答案】6
14.【答案】（1，4）
15.【答案】300
16.【答案】解：（1）根据题意，可得（-）n的展开式的通项为
=，
又由第6项为常数项，则当r=5时，，
即=0，解可得n=10;
（2）由（1）可得，Tr+1=（-）rC10r，
令，可得r=2，
所以含x2项的系数为;
（3）由（1）可得，Tr+1=（-）rC10r，
若Tr+1为有理项，则有，且0≤r≤10，
分析可得当r=2，5，8时，为整数，
则展开式中的有理项分别为．
17.【答案】

18.【答案】解：（1）因为f（x）=x2-7x+6lnx+10，定义域为（0，+∞），
所以，
所以f'（1）=1，又f（1）=4，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=x+3，
切线在x轴上的截距为-3，在y轴上的截距为3，
所以切线与坐标轴围成的三角形面积为．
（2）令f'（x）=0，解得或x=2，
令f'（x）＜0，解得，令f'（x）＞0，解得或x＞2，
所以f（x）在上单调递减，在和（2，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x=2出取得极小值，极小值为f（2）=6ln2．
综上所述，f（x）单调递增区间为和（2，+∞），单调递减期间为，极小值为6ln2．
19.【答案】分布列：
X 0 1 2
P
期望：

20.【答案】最大值f（0）=1，无最小值 当a≤1，方程有一个解；当a＞1，方程有三个解 由（2）可得此时a＞1，且x1+x2=0，-a＜x1＜1-a，
，
即证：f′（x1）+f′（-x1）＞0，
因为x1是方程的解，
代入可得，
则，
消a可得，
设h（x）=e4x-4e2x x-1（x＜0），h（0）=0，
h′（x）=4e4x-4（2x+1）e2x=4e2x（e2x-2x-1）＞0，
函数h（x）在（-∞，0）单调递增，
所以，
又因为，所以f′（x1）+f′（-x1）＞0，
即原不等式得证
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