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2025-2026学年天津市南开中学高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共12小题，共60分。
1.已知集合A={x∈N*|-1＜x＜6}，B={0，1，3，5，6}，则A∩B=（　　）
A. {0，1，3} B. {1，3} C. {0，1，3，5} D. {1，3，5}
2.已知x∈R，“”是“x2-2x-3≥0”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3.下列说法中正确的是（　　）
A. 在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r越接近于1
B. 若随机变量X～N（1，22），Y～N（2，22），则P（X≤1）＜P（Y≤2）
C. 用决定系数R2来比较两个模型的拟合效果，R2越大，说明模型的拟合效果越好
D. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.881＞3.841=χ0.05，则依据α=0.05的χ2独立性检验，可以认为“X与Y无关联”
4.已知函数y=f（x）的部分图象如图，则f（x）的解析式可能为（　　）
A.
B.
C.
D.
5.设，b=log23，c=log93，则（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b C. b＜a＜c D. c＜a＜b
6.下列说法中正确的个数是（　　）
①的最小值为2
②的最小值为9
③已知ab＜0，则
④设a＞0，b＞0，则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7.已知，3b=4，则32b-a=（　　）
A. B. C. D.
8.已知函数f（x）为偶函数，且满足f（x）+f（x-2）=0，且当时，f（x）=x2+ax+3，则f（2026）=（　　）
A. 1 B. 3 C. -1 D. -3
9.甲、乙两班决定举行篮球比赛，比赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到一个班比另一个班多2分或打满5局时结束.设甲班在每局中获胜的概率为，乙班在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立.比赛结束时甲班所得分数为X，则P（X=2）=（　　）
A. B. C. D.
10.已知a∈R，设函数f（x）=若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（　　）
A. [0，1] B. [0，2] C. [1，e] D. [0，e]
11.某高校校庆发放纪念品，将6本完全相同的校庆纪念册、3枚完全相同的校庆纪念章、4张不同校园风景的明信片全部分给3位校友，要求每一位校友至少有一本纪念册，纪念章不能全给同一位校友，每一位校友至少有一张明信片，其中A明信片必须给校友甲，则不同的分配方案有（　　）
A. 420种 B. 840种 C. 960种 D. 1280种
12.已知函数，集合M={m| x1≠x2，f（x1）=f（x2）=m}，若对任意m1，m2∈M，都有|m1-m2|＜3，则t的取值范围为（　　）
A. [-3，+∞） B. C. [-2，+∞） D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.已知复数，则|z|等于 .
14.（2x-y）6的展开式中x3y3项的系数为 .（用数字作答）
15.若圆C：（x-1）2+（y-2）2=4与直线l：x-y+m=0相交于A，B，且∠ACB=120°，则实数m的值为 .
16.某中学组织高二年级学生研学活动，需从上海、杭州、南京、哈尔滨、武汉、西安这6个城市中随机选择1个作为目的地.现从全年级抽取两个班级进行调查，记事件A=“这两个班级选择的目的地中至少有一个是杭州”，事件B=“这两个班级选择的目的地不同”，则P（B|A）= .
17.设函数f（x）=ex（x+2）+x2+2x+1，则满足f（m-1）＜f（m+4）的实数m的取值范围是 .
18.已知，若存在x1，x2，…，xn∈[0，+∞），使得f（x1）+f（x2）+…+f（xn-1）=f（xn）成立的最大正整数n为6，则a的取值范围为 .
三、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题15分)
已知函数f（x）=ax2-x+ln（x+1），a∈R.
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）讨论f（x）的单调区间.
20.(本小题15分)
如图，三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，DA=DB=DC=，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E为BC的中点，点F满足EF=DA.
（Ⅰ）证明：BC⊥EF；
（Ⅱ）求直线DF与平面DAB所成角的正弦值；
（Ⅲ）求三棱锥F-ACD的体积.
21.(本小题15分)
一个口袋装有除颜色外，形状、大小完全相同的6个白球，2个蓝球.
方案一：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则放回小盒并再往小盒里加入4个蓝球；
方案二：若取出白球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出蓝球，则用白球替换该蓝球重新放回小盒中.
（Ⅰ）分别计算在两种方案下，抽两次球，第二次取到的球是蓝球的概率；
（Ⅱ）在方案一的前提下，连续抽取3次，用X表示取到蓝球的次数，求随机变量X的分布列和期望；
（Ⅲ）在方案二的前提下，求在第n（n≥2）次抽球时，抽到的球恰好是第二个蓝球的概率（结果用n表示）.
22.(本小题15分)
已知函数f（x）=xlnx,g（x）=.
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）证明：对于区间（1，2）内任意两个不相等的实数s,t,都有|f（s）-f（t）|＞|g（s）-g（t）|；
（Ⅲ）函数F（x）=（e为自然对数的底数）在区间（1，2）内有唯一的零点x0，记m（x）=min{f（x），g（x）}（其中min{a,b}表示a,b中的较小值），若m（x）=n（n∈R）在区间（1，+∞）内有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），证明：3x0-2x2＜x1＜n+1.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】B
12.【答案】A
13.【答案】
14.【答案】-160
15.【答案】1+或1-
16.【答案】
17.【答案】（-，+∞）
18.【答案】[-，-）∪（，]
19.【答案】3x-2y-3+2ln2=0
a≤0时，f（x）的单调递增区间为（-1，0），f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；0＜a时，f（x）的单调递增区间为（-1，0）和（，+∞），f（x）的单调递减区间为（0，）；a=时，f（x）的单调递增区间为（-1，+∞），无单调递减区间；a时，f（x）的单调递增区间为（-1，）和（0，+∞），f（x）的单调递减区间为（，0）
20.【答案】连接AE，DE．
因为，，
可知△ABD和△ACD是两个全等的等边三角形，则．
因为E为BC中点，所以AE⊥BC，DE⊥BC，
因为AE∩DE=E，AE，DE 平面ADE，
所以BC⊥平面ADE，
又AD 平面ADE，所以BC⊥AD，
而，则EF∥AD，所以BC⊥EF

21.【答案】（I）；
（Ⅱ）随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
==；
（Ⅲ）．
22.【答案】是函数f（x）的极小值点，无极大值点
由（Ⅰ）可知，当 x∈（1，2）时，f'（x）=lnx+1＞0，
所以 f（x）在（1，2）上单调递增．
对求导，可得D，
当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，所以g（x）在（1，2）上单调递减．
不妨设1＜s＜t＜2，则f（s）＜f（t），g（s）＞g（t），
要证|f（s）-f（t）|＞|g（s）-g（t）|，即证f（t）-f（s）＞g（s）-g（t），
也就是证f（t）+g（t）＞f（s）+g（s），
令h（x）=f（x）+g（x）=xlnx+，x∈（1，2），
对h（x）求导，可得，
所以h（x）在（1，2）上单调递增，
因为1＜s＜t＜2，所以h（t）＞h（s），即f（t）+g（ t）＞f（s）+g（s），
所以|f（s）-f（t）|＞|g（s）-g（t）
因为，x∈（1，2），
对F（x）求导，可得，所以F （x）在（1，2）上单调递增，
又因为，F（2）=，
根据零点存在定理，可知F（x）在（1，2）内有唯一的零点x0，且，
由（Ⅰ）可知f（x）在上单调递减，在上单调递增，且f（1）=0；由（Ⅱ）可知g（x）在（1，+∞）上单调递减，且g（1）=，，
因为，即，所以，
当1＜x＜x0时，f（x）＜g（x），则m（x）=f（x）=xlnx；当x＞x0时，f（x）＞g（x），则m（x）=g（x，
所以m（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，
因为m（x）=n在区间（1，+∞）内有两个不相等的实数根x1，x2（x1＜x2），所以1＜x1＜x0＜x2，
要证3x0-2x2＜x1，即证x1+2x2＞3x0，
因为m（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，且m（x1）=m（x2）=n，
所以x1＜x0＜x2，
又因为m（x）在（x0，+∞）上单调递减，所以m（x2）＜m（3x0-2x2），即n＜m（3x0-2x2），
因为m（x）在（1，x0）上单调递增，所以m（x1）＜m（3x0-2x2），即x1＜3x0-2x2，所以3x0-2x2＜x1．
要证x1＜n+1，因为m（x1）=n且m（x）在（1，x0）上单调递增．所以m（x1）＜m（n+1）．即n＜m（n+1），所以x1＜n+1，
综上，3x0-2x2＜x1＜n+1得证
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