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北京市大兴区2025-2026学年度第二学期期末练习初二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.将下列长度的三条线段首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.下列各曲线中，不能表示是的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.正比例函数的图象经过点，则这个正比例函数的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在中，平分交于点，交的延长线于点．若，，则的长为（ ）
A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5
6.致远中学以“沉墨色，品书香”为主题开展演讲比赛，9位评委分别给出某选手的原始评分．如果从9个原始评分中去掉一个最高分和一个最低分后得到7个有效评分，分别计算9个原始评分与7个有效评分的极差、中位数、平均数、方差，在这四个统计量中，一定不会发生变化的是（）
A. 极差 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差
7.同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面高处出发，以的速度上升；2号气球从距离地面高处出发，以的速度上升，两个气球都上升了．两个气球距离地面的高度（单位：）与上升时间（单位：）的函数关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 当气球上升时，2号气球距离地面的高度是
B. 当两个气球的高度差为时，气球上升的时间是
C. 当气球上升时，1号气球距离地面的高度高于2号气球距离地面的高度
D. 在某时刻，1号气球距离地面的高度比2号气球距离地面的高度高
8.在平面直角坐标系中，已知点，，对于直线，给出下面三个结论：
①直线经过点；
②当时，直线与直线平行；
③若直线与线段有交点，则的取值范围是且．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共10小题，共26分。
9.函数y=中,自变量x的取值范围是 .
10.中式窗格是我国传统建筑里灵动的诗意符号，窗格图案背后蕴藏着东方美学智慧．如图1是传统建筑中的一种窗格，图2是它的窗框示意图，这个多边形为正八边形，则的度数是 ．
11.若点，在一次函数的图象上，则与的大小关系是 （填“”“”或“”）．
12.如图，在中，对角线，相交于点，点，是上的两点，连接，．若再添加一个合适的条件，就可以证明，这个条件可以是 （填写一个即可）．
13.已知直线与直线的交点坐标为，则关于，的二元一次方程组的解是 ．
14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作．书中有一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何．意思是：一根竹子高1丈（1丈尺），折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，求折断处离地面的高度是多少？若设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为 ．
15.有一组整数数据：4，17，8，14，12，a，18，3，5，5，4，11，12，其箱线图如图所示，则这一组数据的第一四分位数是 ，数据a的值为 ．
16.如图，过的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点，连接，，，．
若，，给出下面三个结论：
①当线段的长度取得最大值时，线段的长度取得最小值；
②四边形可能是正方形；
③当时，四边形的面积为的面积的一半．
所有正确结论的序号是 ．
17.为落实北京市2026年“课间一刻钟”体育活动提质要求，某校八年级开展一分钟跳绳班级选拔赛，体育老师从某班甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一人参加年级比赛．对这四名同学最近10次一分钟跳绳测试成绩（单位：个）的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲同学10次测试成绩（从小到大排列）：
179，180，181，182，182，182，183，183，185，185
b．乙、丙两名同学10次测试成绩：
c．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 182.2 182.2 182.2
中位数 182.0 183.0 182.5
方差 3.36 3.96 3.36
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 表中的值为 ，的值为 ；
(2) 表中 3.96（填“>”“=”或“<”）
(3) 根据这10次测试成绩，体育老师按如下方式评估四名同学的实力强弱：①先比较平均数，平均数较大者实力更强；②若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；③若平均数、方差分别相等，则测试成绩大于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名同学按实力由强到弱依次为 ．
18.在平面直角坐标系中，对于图形，图形给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形与图形的远端距离，记为（图形，图形）．已知，，．
(1) 如图1．
①若点，则点与的远端距离是 ；
②若点，，则 ；
(2) 如图2，已知四边形，点．
①已知点，，若（线段，四边形），则的取值范围是 ；
②一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则（线段，四边形）的最小值为 ，此时的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共3分。
19.计算：．
四、解答题：本题共9小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题3分)
计算：已知，求的值．
21.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 该一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，求的面积．
22.(本小题3分)
尺规作图：
如图，在中，，．
在边上求作一点，使得的面积等于的面积的一半（保留作图痕迹，不写作法）．
23.(本小题6分)
阅读材料：
在数学课上，有这样一道问题：
如图1，在中，是边的中点，求证：．
小华的证明方法是：
证明：如图2，延长到点，使得，连接．
是的中点，
．
又，，
．
．
在中，
，
．
，，
．
．
通过交流讨论，同学们又发现了其他的辅助线添加方法．
请你添加两种辅助线并补全图形并证明．
(1) 方法1：延长到点，使得，连接．
(2) 方法2：取的中点，连接．
24.(本小题4分)
在矩形ABCD中，点E是BC上一点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为F.
求证：DF=DC．
25.(本小题9分)
夏日如约至，瓜香满大兴．某西瓜采摘园今年采取线上和线下相结合的方式销售，顾客可以通过网络平台在直播间线上购买，也可以线下到西瓜园先采摘再购买．若购买西瓜所需费用元，两种购买方式的具体费用标准如下：
线上：在直播间购买，所需费用与的函数解析式为；
线下：在西瓜园采摘购买，不超过时，每千克西瓜的价格为元；超过时，超过部分每千克西瓜的价格为10元．线下购买所需费用与的函数关系如图所示：
(1) 的值为 ；
(2) 直接写出在西瓜园采摘购买西瓜所需费用与之间的函数解析式；
(3) 小方想购买西瓜，选用哪种购买方式更合算，请说明理由．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和．
(1) 求该函数的解析式；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于的值，直接写出的取值范围．
27.(本小题12分)
某智慧校园内有一个三角形智能巡检区域．如图所示，在中，，，一台智能巡检机器人从点出发，沿着路径移动，最终到达点停止．在机器人的移动过程中，系统会自动记录当前它与固定监测点，所构成的三角形的“监测覆盖面积”，即的面积．设机器人移动的路程为（单位：），的面积为（单位：），工程师需要建立关于的函数关系模型．探究过程如下，请补充完整．
(1) 实验记录部分数据如下：
（单位：） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
（单位：） 0 0
则的值是 ；
(2) 在平面直角坐标系中，请补全数对所对应的点，并画出该函数的图象；
(3) 观察函数图象，请写出该函数的一条性质： ；
(4) 当“监测覆盖面积”不大于时，机器人的移动路程（单位：）的取值范围是 ．
28.(本小题6分)
在正方形中，点是边上一点（不与点，重合），连接，点在边的延长线上，且，连接交于点．
(1) 如图1，求的度数；
(2) 如图2，过点作，垂足为，交于点．
①用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明；
②当点为边的中点时，若，直接写出线段的长．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】x≥3
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】/（答案不唯一）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】③
17.【答案】【小题1】

182
【小题2】
＞
【小题3】
丁甲乙丙

18.【答案】【小题1】

【小题2】
或
或

19.【答案】解：

20.【答案】解：∵，
∴
.

21.【答案】【小题1】
解：设该一次函数的解析式为，
该函数图象与直线平行，
，即解析式为，
又函数图象经过点，
将代入解析式：，
解得，
该一次函数的解析式为；
【小题2】
解：令，则，
解得，
点坐标为，
，
令，则，
点坐标为，
，
，
是直角三角形，
．

22.【答案】解：如图所示，点D所求．

23.【答案】【小题1】
证明：延长到点，使得，连接．
∵，点D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小题2】
证明：取的中点，连接．
∴，
∵点D是的中点，点E是的中点，
∴，，
∴，
∴．

24.【答案】证明： 连接DE，

∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，AB=CD，AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠FED，
∴∠DEC=∠FED，
∵DF⊥AE，
∴∠DFE=∠C=90°，
在△DFE和△DCE中
，
∴△DFE≌△DCE，
∴DF=CD．

25.【答案】【小题1】
16
【小题2】
解：由（1）有，
当时，，
当时，，
综上所述，y关于x的函数解析式为．
【小题3】
解：若在线上购买，当时，（元），
若在线下购买，当时，（元），
∵，
∴选用线上购买更合算．

26.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象经过点和，
则，解得，
∴该函数的解析式为；
【小题2】
解：根据题意，当时，对的每一个值都有，
由不等式，得，
要使所有都满足该不等式，可得，解得，
由不等式，得，
要使所有都满足该不等式，可得，解得，
综上，的取值范围为．

27.【答案】【小题1】
48
【小题2】
【小题3】
由图象可得，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【小题4】
或

28.【答案】【小题1】
解：连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【小题2】
解：①，证明如下：
由（1）有，
∴，
∵在正方形中，，
∴，
∴．
∵由（1）有是等腰直角三角形，即，，
又，
∴，
∵，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
②解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵点N是的中点，
∴．
连接，
设，则，，
∵，，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，解得，
∴，，
由①有，
∴，
∴在中，．

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