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北京市第二十中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.下列各图中反映了变量y是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
3.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）
A. 2，2，2 B. 2，3，4 C. 1，， D. 1，2，3
4.将一次函数的图象向上平移2个单位长度，所得直线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，在四边形中，且，对角线交于点O，E为中点，若，则的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
6.在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12.要使个数相差较小的同学分在一组，如表是4种分法的组内离差平方和（结果保留小数点后一位）.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 18.8 18.8
第2个间隔 2 4.7 6.7
第3个间隔 12.7 2 14.7
第4个间隔 22.8 0 22.8
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（　　）
A. {7}和{9，12，13，15} B. {7，9}和{12，13，15}
C. {7，9，12}和{13，15} D. {7，9，12，13}和{15}
7.如图，一次函数的图象经过点，若，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，，直线与轴，轴分别交于，．其中，、为线段上任意两点，、为线段上任意两点，记点，，，组成的四边形为图形．下列四个结论中：
①对于任意的，都存在无数个图形是平行四边形；
②对于任意的，都存在无数个图形是矩形；
③存在唯一的，使得此时有一个图形是菱形；
④至少存在一个，使得此时有一个图形是正方形．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.明代先农坛正六边形井亭是具有明确历史意义的国内六边形古建筑代表，位于北京先农坛（今北京古代建筑博物馆内），建于明代永乐年间（世纪初），为祭祀先农时取水用的井亭．如图所示的正六边形的内角和为 ．
10.某一次函数的图象经过点，且函数y随x的增大而减小，请你写出一个符合条件的函数解析式 ．
11.已知点（-2，y1），（2，y2）都在直线y=2x-3上，则y1 y2．（填“＜”或“＞”或“=”）
12.一组数据的箱线图如图，这组数据的下四分位数m25是 .
13.如图，在菱形中，，交于点，于点，连接，若，，则菱形的面积为 ．
14.某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按2：1：2：2：3的比例对学生学习过程进行课堂评价.某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 .
15.我国汉代数学家赵爽利用一幅“弦图”，证明了勾股定理，后人称该图为“赵爽弦图”．如图，“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形面积为49，小正方形面积为4，用，表示直角三角形的两直角边，下列四个推断：①；②；③；④．其中正确的推断是 ．
16.在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，线段的长度为 ；若将该直线向右平移13个单位长度，线段扫过区域的边界恰好为菱形，则的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1) ；
(2)
四、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题5分)
已知 ，求代数式 的值．
19.(本小题6分)
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1) 判断的形状为 三角形；
(2) 在网格中画出，并直接写出的周长为__________．
20.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，．点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，且四边形是菱形．
(1) 使用直尺和圆规，按照下面的作法补全图形（保留作图痕迹）；作法：以点为圆心，的长为半径画弧，交轴负半轴于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交轴正半轴于点，连接，，，则四边形是菱形．
(2) 根据（1）中的作法，完成下面的证明：
证明：， ，
四边形是平行四边形．（ ）（填推理的依据）
，
，
四边形是菱形．（ ）（填推理的依据）
21.(本小题6分)
已知一次函数与的图象都经过点（2，1）．
(1) 求k，b的值；
(2) 在同一直角坐标系中画出这两个一次函数的图象，并结合函数图象，直接写出当x取何值时，．
22.(本小题6分)
如图，菱形的对角线相交于点O，，．
(1) 求证：四边形是矩形；
(2) 连接，若，，求AE的长．
23.(本小题9分)
2026年，中国人工智能项目DeepSeek取得重大突破．其发布的新一代大模型在推理性能上比肩全球一流模型，并率先完成与华为昇腾国产芯片的深度适配，同时开放识图模式等功能，展现出强大的多模态理解能力．其开源免费的模式与极低的推理成本，引发了全球科研界和社会的广泛关注．某初中学校为了解学生对 DeepSeek等智能软件的使用情况，举办了智能软件使用技能竞赛，现从八、九年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析，所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用表示，共分成四组 A．； B．； C．； D．），下面给出了部分信息：
a．八年级抽取20名学生的竞赛成绩为：65，66，70，75，77，81，82，82，82，83，84，87，88，89，92，95，96，98，98，100
b．九年级抽取20名学生的竞赛成绩在B组的数据是：81，82，85，86，87，88．
c．八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 84.5 84.5
中位数 83.5
众数 82 79
方差 102.75 122.5
d．九年级所抽学生的竞赛成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
(1) 填空： ， ．
(2) 请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？请说明理由．（写出一条理由即可）
(3) 若该校八年级有800名学生，九年级有600名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有多少名？
24.(本小题12分)
某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1) 自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值：
… 3 2 1 0 1 2 3 4 5 …
… 5 4 3 2 0 1 2 3 …
其中， ；
(2) 如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；
(3) 观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是 ；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而 ；
(4) 进一步探究，若关于的方程（）只有一个解，则的取值范围是 ．
25.(本小题6分)
四边形和都是正方形，其中正方形可以绕顶点旋转（）．
(1) 如图1，点在上，点在上，连接和，取的中点，连接，求证：；
(2) 如图2，正方形绕点旋转到图2位置，连接和，取线段的中点，连接．
①依题意补全图2；
②判断线段与的关系，并证明你的结论．
26.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“相随点”．
(1) 已知，点，点．
①在点，，，中，线段的“相随点”是__________；
②若点为线段的“相随点”，连接，，直接写出的最小值及此时点的坐标；
(2) 已知，点，点，正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“相随点”，请直接写出的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】
10.【答案】（答案不唯一）
11.【答案】＜
12.【答案】60
13.【答案】
14.【答案】8.1
15.【答案】①②③
16.【答案】
或

17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】解：
．
故答案为： ．

19.【答案】【小题1】
直角
【小题2】
，

20.【答案】【小题1】
所作四边形如图所示：
【小题2】
OD
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形

21.【答案】【小题1】
解：将点（2，1）代入，得2k-1=1，解得k=1；
将点（2，1）代入，得-1+b=1，解得b=2；
【小题2】
由（1）得
图象如图：
解方程组，解得，
∴两个函数图象的交点坐标为（2，1），
∴当x≤2时，．

22.【答案】【小题1】
证明：∵，，、为菱形对角线，
∴，，
∴四边形为平行四边形．
又菱形中，，即，
∴四边形为矩形．
【小题2】
解：菱形中，，，
则为等边三角形，，．
又，
∴，
∴，
在中，．
矩形OCED中，，．
在Rt中，．

23.【答案】【小题1】


【小题2】
解：八年级成绩更好．理由：八年级和九年级的平均数相同，但八年级的方差更小（），说明八年级学生成绩更稳定
【小题3】
解：八年级优秀人数：20人中80分以上的有15人，优秀率，
八年级优秀人数名，
九年级优秀人数：A组5人+B组6人名，优秀率，
九年级优秀人数名，
总优秀人数名，
答：八年级和九年级两个年级竞赛成绩为优秀（）的学生共有名．

24.【答案】【小题1】
1
【小题2】
画出该函数图象的另一部分如图，

【小题3】

大
【小题4】
或

25.【答案】【小题1】
证明：∵四边形、是正方形，
∴，
∴，
∴，
在中，点P是斜边的中点，
∴，
∴；
【小题2】
①补全图形如图2所示，
②线段与的关系为，证明：
如图3，延长至M使，连接，则，
∵点P是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，作，
∴，
∴
∵
∴
即
∴
∴，

26.【答案】【小题1】
解：①∵点，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵点P在直线上，
∴设，
∴若，且，
∴，
∴，
∴符合题意，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且，
∴，
∴，
∴，
∴是线段的“相随点”；
∴若，且，
∴，此时方程无解，
∴不是线段的“相随点”；
∴若，且，
∴，此时方程无解；
∴不是线段的“相随点”；
综上所述，线段的“相随点”是，；
②∵点Q为线段的“相随点”，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
如图，连接，，作点O关于直线的对称点，连接，
∴，
∴，
∴当点，Q，B三点共线时，有最小值，即的长度，
分别将和代入直线得：，
∴，
∴，
∵点O和点关于直线对称，
∴，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴根据两点间距离公式可得：，
∴的最小值为，
设直线的解析式为，则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，解得：，
∴；
【小题2】
解：∵正方形边长为2，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，
∴正方形左上角的顶点坐标，右上角的顶点坐标，左下角的顶点坐标，右下角的顶点坐标，
∵点，点，设，
设所在直线表达式为，
∴，
解得，
∴所在直线表达式为，
若与等长，如图，当正方形左上角的顶点为线段的“相随点”时，
∴四边形是平行四边形，
∴根据平行四边形的对角线互相平分及中点坐标公式可得：，
解得，
当点F在上时，则有，解得：，
∴，此方程组无解，
∴不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴；
若与等长，如图，当正方形右下角的顶点为线段的“相随点”时，
∴同理可得，
解得，
当点C在上时，则有，解得：，
∴，此方程组无解，
∴不存在线段上的两点M，N，使得该点为线段的“相随点”，
∴；
综上所述，t的取值范围或．

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