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北京市东城区2025-2026学年第二学期期末样卷初二数学
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下四个函数中，图象不过坐标原点的函数是（）
A. B. C. D.
2.下列每组数分别表示三根木棍的长度，能将这三根木棍首尾连接摆成直角三角形的是（）
A. 1，2，3 B. 3，4，6 C. 3，3，5 D. 5，12，13
3.在平面直角坐标系中，点都在直线上，则的值是（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4.将函数的图象向下平移3个单位长度，得到的函数的图象对应的解析式是（ ）
A. B. C. D.
5.下列各式中运算结果正确的是（）
A. B.
C. D.
6.某年5个城市的人均生活用电量如下表所示：
城市 A B C D E
人均生活用电量／（）
根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（ ）
分组 组内离差平方和
第一种：和
第二种：和
第三种：和
第四种：和
A. 第一种 B. 第二种 C. 第三种 D. 第四种
7.在平面直角坐标系xOy中，已知点是一个平行四边形的三个顶点，第四个顶点的坐标不可能是（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与轴交于点，与函数的图象交于B，C两点．有以下三个结论：
①关于的方程的解是；
②关于的不等式的解集是；
③是直角三角形．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
9.如图，某公园有一个人工湖，湖的两端各有一棵大树，兴趣小组的同学们欲测量两棵大树之间的距离．他们先将两棵大树所在地分别标记为点A，B，在湖畔空地选定适当的点，分别连接，，然后取的中点，取的中点，量得28米．则这两棵大树之间的距离为 米，依据是 ．
10.如图，校园中有一扇中式古典花窗，其内部有一个菱形图案．若该菱形的周长为40分米，一条对角线长12分米，则另一条对角线的长为 分米．
11.已知四个不同的点均在正比例函数的图象上．若，则 （填“>”“<”或“=”）．
12.如图，在菱形中，是的中点．点是线段上的动点，记线段的长为．有以下三个结论：
①若是线段的中点，则；
②的取值范围是；
③若在菱形的内部存在点，使得，且，则的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共11小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题9分)
某校八年级甲、乙两班各随机抽取20名学生进行一分钟跳绳测试，根据他们的成绩绘制箱线图如下：
依据以上信息，回答下列问题：
(1) 甲班20位学生跳绳成绩的中位数是 ，甲班20位学生约有 的学生跳绳成绩低于次／分（填写百分数）；
(2) 乙班20位学生跳绳成绩的第三四分位数是 ，乙班20位学生跳绳成绩的四分位距为 ；
(3) 请结合箱线图，比较这两个班学生跳绳成绩的差异．
14.(本小题9分)
已知线段及其夹角如图所示．
(1) 尺规作图：求作（保留作图痕迹，不写作法）；
(2) 根据你的作法，写出判定四边形是平行四边形的依据： ；
(3) 若，则的面积是 ．
15.(本小题5分)
如图，在中，为边的中点，连接．
(1) 求证：是等腰三角形；
(2) 若，的中点分别为点，连接，，求证：四边形是矩形．
16.(本小题5分)
如图，在四边形中，对角线相交于点．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 过点且与分别相交于点E，F，连接和．判断与的数量关系，并说明理由．
17.(本小题6分)
已知一次函数的图象经过点．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 设为轴上动点，过点作轴的垂线分别交正比例函数和一次函数的图象于M，N两点（点M，N不重合）．若线段的长小于2，求的取值范围．
18.(本小题6分)
某大型快递转运中心为了提升包裹分拣的效率和准确性，计划采购一批智能分拣机器人．已知有两种不同型号的机器人，其工作性能和采购价格如下表所示：
机器人型号 每台机器人分拣包裹数量（件小时） 采购价格（万元台）
A 15000 8
B 12000 6
该转运中心计划购买这两种型号的机器人共20台，并且要求这20台机器人每小时分拣包裹量的总和不少于276000件．
(1) 设购买A型机器人台，购买这20台机器人的总采购费用为万元，求关于的函数解析式；
(2) 在购买的20台机器人中，购买几台A型机器人能使总采购费用最少？最少费用是多少？
19.(本小题6分)
在中，是的中点，且，连接，．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，，求线段和的长．
20.(本小题9分)
某校为了解七年级1班和2班两个班学生的立定跳远成绩（单位：cm），从两个班各随机抽取20名学生进行测试，收集部分数据如下．
a．2班的立定跳远成绩如下：
186 180 189 183 176 173 178 167 180 175
178 182 180 179 185 180 184 182 180 183
b．1班立定跳远成绩的频数分布直方图如下（数据分为6组：，）：
其中，这组的数据分别是：．
c．对1班和2班立定跳远成绩分析数据如下：
班级 平均数 众数 中位数 方差
1班 180 185 43.1
2班 180 180 22.6
根据以上信息回答下列问题：
(1) 计算表中 ， ；
(2) 从集中趋势和离散程度分析1班和2班的立定跳远成绩；
(3) 若要从一个班中选拔两名立定跳远运动员，优先从哪个班选？请说明理由．
21.(本小题6分)
某现代化农场采用了新型的灌溉设备，其中A设备为智能恒流灌溉机，B设备为根据土壤湿度自动调节流量的智能灌溉机．为了深入研究这两种设备的工作性能，工作人员进行了详细的记录与观测．他们记录了两种设备的灌溉时间（单位：小时）以及 A设备灌溉水量和 B设备灌溉水量（单位：立方米）的相关数据，如下表所示：
0 1 2 3 4 5 6
0 1.5 3.0 4.5 6.0 7.5 9.0
0 3.0 5.0 6.0 6.5 6.8 7.0
(1) 在同一平面直角坐标系xOy中，通过描点画出了关于的函数图象．请补全表格中数据的对应点，并画出关于的函数图象；
(2) 利用以上信息，解决下列问题：
①A，B两设备同时开始灌溉，当灌溉时间相同时，B设备与A设备灌溉水量的差的最大值是 立方米，当两种设备的灌溉水量相同时， 小时（结果保留一位小数）；
②农场有一块特定区域需要灌溉，该区域需灌溉水量10立方米，且需达到一定的湿度．为了在更短时间内完成灌溉任务且保证灌溉效果，先使用B设备快速提升土壤湿度，再使用A设备进行精准定量灌溉．有以下两种方案：
方案一：先用B设备灌溉1小时后，再用A设备灌溉；
方案二：先用B设备灌溉2小时后，再用A设备灌溉．
在方案一和方案二中，灌溉时长最短的方案为 ，最短灌溉时长为 小时（结果保留一位小数）．
22.(本小题6分)
在正方形中，为射线上一点，连接，点为线段的中点，连接，在直线右侧作且，连接．
(1) 如图1，若点与点重合，连接，求的大小；
(2) 如图2，点在延长线上，
①依题意补全图2；
②用等式表示，，的数量关系，并证明．
23.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，对于点和长为的线段作如下定义：过点作于点，若点在线段上，且点到线段的距离满足（其中），则称点是线段的“倍垂点”．已知点．
(1) 点，在点中，线段的“倍垂点”是 ；
(2) 点，若点是线段的“倍垂点”，则点的横坐标的取值范围是 ；
(3) 点，若直线上存在线段的“倍垂点”，直接写出的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半

10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】①②/②①
13.【答案】【小题1】
180次

【小题2】
183次
5
【小题3】
解：两个班跳绳成绩的中位数相同；甲班成绩的极差、四分位距更大，说明甲班学生跳绳成绩波动更大、分布更分散，乙班学生成绩更集中整齐，整体发挥更稳定．

14.【答案】【小题1】
如图，即为所求；
【小题2】
两组对边分别相等的四边形为平行四边形
【小题3】
30

15.【答案】【小题1】
证明：在中，，为边的中点，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形．
【小题2】
证明：连接，，如图，
∵，分别是，的中点，为边的中点，
∴，分别是的中位线，
∴，，
即，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形．

16.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：，理由如下：
由（1）得四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．

17.【答案】【小题1】
解：将代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
【小题2】
解：由题意得，过作轴的垂线为，
∴将代入得；将代入得，
∴线段的长为，
∵线段的长小于2，且、不重合，
∴，
由得
解得，
由得
解得，
∴的取值范围为且．

18.【答案】【小题1】
解：由题意可知，购买A型机器人台，则购买 B型机器人台，
∴总采购费用，即，
∵每小时分拣包裹总量不少于276000件，
∴
解得，
又∵机器人台数是整数，且，
∴且为整数，
∴关于的函数解析式为（且x为整数）；
【小题2】
解：由可知，一次项系数，
随的增大而增大，
当取最小值时，取得最小值，
的最小值为12，
∴将代入函数解析式得：（万元），
答：购买12台A型机器人能使总采购费用最少，最少费用是144万元．

19.【答案】【小题1】
证明：是的中点，
．
，
．
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【小题2】
解：如图，连接，
四边形是菱形，
，，
为等腰三角形．
，
为等边三角形．
是的中点，
，，
，
，
．
，
，
，
．

20.【答案】【小题1】
180
180
【小题2】
解：集中趋势：1班和2班的平均数、中位数都相等，说明两个班立定跳远的整体平均水平相当；1班的众数大于2班，说明1班的成绩更多集中在较高水平；
离散程度：2班的方差小于1班，说明2班的立定跳远成绩更整齐，波动更小，成绩比1班更稳定；
【小题3】
解：优先从1班选
理由：选拔运动员需要选出高成绩的选手，1班众数更高，且高分段人数更多，更容易选出成绩优异的运动员，因此优先从1班选.

21.【答案】【小题1】
关于的函数图象如下：
【小题2】
2

方案二
5.3

22.【答案】【小题1】
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵点为线段的中点，点与点重合，
∴，
∴，
∴，
则，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∴；
【小题2】
①，
②，理由如下：
过点作于点，过点作直线交延长线于点，交的延长线于点，连接，如图，
∵，点为线段的中点，
∴，
∴，，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
则，
设，
由（1）得，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
则，
在中，
则，
∴，
则．

23.【答案】【小题1】
，
【小题2】
或
【小题3】
解：分类讨论：
①当向的右方向移动时，基本模型以为旋转中心顺时针旋转，并且不断变大．
当开始与相交时如图绿色模型，
延长，作交延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
的坐标为，
，
，
的坐标为，继续旋转（逆时针），
模型与相交，并不断变大，
；
②当向的左方向移动时，基本模型以为旋转中心逆时针旋转并不断变大，且与有相交．
当到达时，如图紫色模型，恰好满足，
此时，该过程中；
当移到左侧时，发现，此时模型已不再与相交，继续旋转，
当模型旋转到如蓝色模型位置时，此时又开始与相交，继续旋转并变大的过程中一直相交，如蓝色模型所示．
的坐标为，，
如图，延长，作交延长线于点，
，
延长，作交延长线于点，
，
，
，
又，
，
，
取中点，连接，
又是的中点，
是的中位线，
，
，
作于点，
，
四边形是矩形，
，
设，
则，，，
又，
，
，
．
综上，或或．

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