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广东省河源市2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果为( )
A. B. C. D.
2.已知，则下列不等式错误的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，，两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取、的中点、，测得、两点间的距离为，则、两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，要从电线杆离地面5米的点处向地面拉一根钢缆，地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为12米，则这根钢缆长为（ ）
A. 13米 B. 12米 C. 11米 D. 10米
5.在平面直角坐标系中，点P(-3，2)关于x轴的对称点的坐标是 （ ）
A. (-2，-3) B. (-3，-2) C. (3，2) D. (3，-2)
6.如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ）
A. 25 B. 20 C. 15 D. 10
7.二元一次方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
8.质检员小李检验如图所示的零件是否为平行四边形，则下列检查方法错误的是（）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.已知不等式kx+b<0的解集是x<2,则一次函数y=kx+b的图象大致是( )
A. B.
C. D.
10.如图，一条河的两岸有，两个村庄，河宽为2千米，，两村庄的直线距离为13千米，，两村庄到河岸的距离分别为1千米、2千米，计划在河上修建一座桥垂直于两岸，为靠近村庄的河岸上一点，则的最小值为（ ）
A. 12千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解： .
12.若分式有意义，则的取值范围是 ．
13.“花影遮墙，峰峦叠窗”是描述中国传统建筑中的借景窗棂，窗棂中蕴含了许多数学元素．如图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，已知，则 ．
14.在四边形中，，，点、分别是、上的点，与相交于点，与相交于点，若，，则阴影部分的面积为 ．
15.在中，，为上任意一点，，，，垂足分别为、、，连接．已知，，则的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
16.阅读材料：
因式分解：．
解：将“”看成整体，令，则原式．
再将“”还原，可以得到：原式．
上述解题过程用到的“整体思想”，是数学解题中常用的一种思想方法．请利用“整体思想”解答下列问题：
(1) 因式分解：
(2) 因式分解：．
四、解答题：本题共7小题，共67分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解不等式组和化简求值
(1) 解不等式组：
(2) 先化简，再求值：，其中．
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形中，．
(1) 用尺规作图法过点作边上的高；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2) 在（1）的条件下，若，求的长．
19.(本小题8分)
启迪未来之星，推进科技教育．某中学举行了一次“人工智能”知识竞赛（竞赛成绩为十分制）．各班以小组为单位组织竞赛．
【数据整理】
小东将本班甲、乙两组同学（每组8人）竞赛的成绩整理成如图所示的统计图：
【数据分析】小东对这两个小组的成绩（单位：分）进行了如下分析：
平均数 中位数 众数
甲组 8 8
乙组 7.5 9
【数据应用】请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1) 填空： ， ．
(2) 小明同学说：“这次竞赛我得了7.8分，在我们小组中略偏上！”观察上面表格判断，小明可能是_____（填“甲”或“乙”）组的学生，请说明理由；
(3) 小华认为甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，因此甲组成绩比乙组成绩好．小东认为小华的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小东说明理由．（写出一条即可）
20.(本小题9分)
随着“体重管理年”三年行动的实施，河源市市民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低30元，用5000元购买甲型健身器材的数量和用5600元购买乙型健身器材的数量相同．
(1) 求甲、乙两种型号健身器材的单价．
(2) 该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，求本次购买最少花费多少元？
21.(本小题10分)
如图，在中，为的中点，延长，交于点，连接，．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，，，求的长．
22.(本小题11分)
如图1，直线：与轴交于点，与轴交于，点在线段上从向运动，过点作直线垂直于轴，另一动点从出发，沿直线向上运动，记的长为，的坐标为，分析此图后，对下列问题作出探究：
(1) 结合图形，直接写出当时，的取值范围为 ；求出直线的表达式；
(2) 当，时，求证：；
(3) 如图2，当时，
①试猜想线段和的数量关系，并证明你得到的结论．
②直接写出关于的函数关系式．
23.(本小题13分)
将两个全等的含的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图1，在和中，，，．
(1) 如图2，在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边上时，连接．求证：是等边三角形．
(2) 如图3，在绕点旋转过程中，当时，连接、，延长交于点，与相交于点．
①的长度为 ，的度数为 ．
②求证：点为线段的中点．
(3) 在绕点旋转过程中，试探究、、三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长；若不能，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】B
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】75
14.【答案】
15.【答案】3
16.【答案】【小题1】
解：将“”看成整体，令，
则原式
，
再将“B”还原，可以得到：原式；
【小题2】
解：将“”看成整体，令，
则原式
再将“C”还原，可以得到：原式．

17.【答案】【小题1】
解：解不等式
得
得．
解不等式
得
得．
取两个不等式的交集得 ．
【小题2】
解：
当时，将代入，可得值为．

18.【答案】【小题1】
解：垂线作法如下：
①以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点，
②分别以为圆心，的长度为半径画弧，两弧交于点
③连接，交于点．
如图所示，
【小题2】
解：，
，
由角所对直角边是斜边的一半可知．

19.【答案】【小题1】
7.5
8
【小题2】
解：由甲、乙两组学生竞赛成绩的统计分析表可知，甲组的中位数为8分，乙组的中位数为分，由于小明的描述可知小明的成绩大于自己所在组的中位数，即小明是乙组的学生；
【小题3】
解：虽然甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，但乙组成绩的众数大于甲组的众数，说明乙组优秀学生多于甲组，因此从众数的角度看，乙组成绩比甲组好；所以不能仅甲组成绩的平均数比乙组成绩的平均数高，即小华的观点比较片面．

20.【答案】【小题1】
解：设甲型健身器材的单价为x元，则乙型健身器材的单价为元，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲型健身器材的单价为250元，乙型健身器材的单价为280元；
【小题2】
解：设购买甲型健身器材m台，本次购买花费为y元，
由题意得，，
∵甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，
∴，
∴，
∴，且m为整数，
∵在中，，
∴y随m的增大而减小，
∴当时，y有最小值，最小值为，
答：本次购买最少花费5150元．

21.【答案】【小题1】
证明：在中，，
，
，，
又为的中点，
，
在和中，，
；
，
又，
四边形是平行四边形；
【小题2】
解：由（1）知，
又在中，，，
，即是的中点，
，
，
∵，，
．

22.【答案】【小题1】
解：直线：与轴交于，
当时，根据图象可得：；
将和代入得，
，解得，
直线的表达式：；
【小题2】
证明：，，
，
轴，轴，
，
，
，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
；
【小题3】
①；
证明：过点作轴，交于点，交直线于点，
，
四边形是矩形，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．

23.【答案】【小题1】
证明：在和中，，．
，
，，
为等边三角形．
【小题2】
解：①；15°；
，，
，
，
，
又，
为含的直角三角形，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
，
，
，
．
②证明：延长、相交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点．
【小题3】
解：由，，，
为含的直角三角形，
，
由勾股定理得，，
能构成以为直角边的直角三角形，理由如下，
由（1）图2可知，时，，
在绕点旋转过程中，当点恰好落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
由题意可知，，
，，
此时；
在绕点逆时针旋转时，落在的边的延长线上时，连接、，如图所示：
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
综上，或或．

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