资源简介

山东济南市2025-2026学年高一下学期7月期末学情检测数学试题
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.样本数据4，4，5，5，6，7，7，7，8，8的60%分位数为（）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
3.已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. D. 6
4.已知5 个互不相等的整数，平均数为2026，极差为4，则这5 个数的方差为（）
A. 2 B. 2.5 C. 4 D. 5
5.在中，，，，以边所在的直线为旋转轴，另外两边旋转一周形成的曲面围成一个旋转体，则该旋转体的体积为（）
A. B. C. D.
6.为测量河对岸某信号塔的高度，选取与塔底B在同一水平面上的两个观测点C和D，现测得米，在C点测得塔顶A的仰角为，在D点测得塔顶A的仰角为，且，则信号塔的高度为（ ）
A. 50米 B. 100米 C. 米 D. 200米
7.在正方体中，E，F分别是，的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知向量在单位向量上的投影向量为，且，，则，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在抛掷硬币试验中，下列说法正确的是
A. 抛掷10 次，事件“正面朝上”发生的次数可能是10
B. 抛掷2 次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”互斥
C. 抛掷2 次，事件“一次正面朝上，一次反面朝上”发生的概率为
D. 抛掷2 次，事件“第一次正面朝上”与“第二次正面朝上”相互独立
10.已知是三条不同的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，与都相交，则
11.已知圆的内接四边形，，，与交于点，则下列说法正确的是（）
A.
B. 若，则
C. 若，则的最大值为3
D. 若，则四边形的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1 或3”，“向上的点数是1 或5”，则 .
13.已知，，且，则向量与的夹角为 ．
14.在三棱锥中，平面平面，，，则三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2026济南马拉松拟于10月18日举行，组委会为此进行志愿者的选拔面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成六组：，画出如图所示的频率分布直方图.
（1）求的值，并估计这100 名候选者面试成绩的中位数；
（2）若根据各组频率的比例采用分层抽样的方法，从成绩在，内的志愿者中共抽取6 人，再从这6 人中采用简单随机抽样的方法选出2 人作为队长，请用适当的符号表示抽样的可能结果，列出其样本空间，并求选出的两位队长来自同一组的概率.
16.(本小题15分)
已知复数，，且是纯虚数．
(1)求a；
(2)求；
(3)求的值．
17.(本小题15分)
在中，内角所对的边分别为，.
（1）求；
（2）若的角平分线交于点，且.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求的值.
18.(本小题17分)
如图，已知矩形，，，E是的中点，将沿折起，使得点D到达点P的位置，并连接，．

(1)若的中点为F，证明：平面；
(2)若四棱锥的体积为．
（ⅰ）证明：平面；
（ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值．
19.(本小题17分)
2026年中央电视台春节联欢晚会上，人形机器人化身孙悟空，身披战袍威风十足．根据指令（，），机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度（按逆时针方向旋转时为正，按顺时针方向旋转时为负），再朝其面向的方向沿直线行走距离r．
(1)已知机器人甲位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向，机器人甲执行1次指令，移动到点．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）机器人甲按照指令继续移动，机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令移动，两机器人恰好移动到同一点T，求的值；
(2)已知机器人丙位于平面直角坐标系的坐标原点O，且面向x轴正方向．
（ⅰ）若机器人丙连续执行3次（1）中的指令，移动到点M，求点M的坐标；
（ⅱ）若机器人丙依次执行99次指令，第i次执行指令，其中，移动到点N，求点N到原点O的距离．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ACD
10.【答案】BC
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：(1) 由频率分布直方图所有矩形面积之和为1，组距为10，
可得，解得.
计算累计频率：[40,50)频率为，
[50,60)频率为，累计频率为0.25，
[60,70)频率为，累计频率为0.4<0.5
，[70,80)频率为，
故中位数位于区间内,设中位数为，
则，解得;
(2) [80,90)的频率为，[90,100]的频率为，
两组频率之比为，按分层抽样抽取6人，
则中抽取5人，记为，中抽取1人，记为,
从6人中抽取2人的样本空间
，共15个等可能的样本点,
选出的两位队长来自同一组即两人均来自，共包含个样本点，
故所求概率.
16.【答案】解：（1）由条件可得，若是纯虚数，
则满足，解得．
（2）由（1）知，所以，
得到的共轭复数为．
（3）由（1）知，根据模的计算公式得，即．
又因为，根据模的计算公式得，即．
所以．

17.【答案】解：(1) 设，，，，由余弦定理得，代入得，又∵，故;
(2) 先化简，代入余弦定理表达式得，又∵，∴，结合得，因此，，.
(ⅰ)为的角平分线，故，由面积关系，，，代入，，，得，联立得，解得;
(ⅱ) 由角平分线定理得，故，又，因此，代入，，，得.
18.【答案】解：(1)取PA中点L，连接EL，LF，由题意可知，，且，
又因为，且，则，且，则四边形ECFL是平行四边形，
则，又因为平面PAE，平面PAE，所以平面PAE．
(2)（ⅰ）取AE中点H，连接PH，
由题意可知，中，，，所以．
设四棱锥的高为h，则．
因为，，
所以求得，即，所以平面ABCE，
因为平面ABCE，所以．
由题意可知，中，，，
所以，所以，又因为，且两直线在平面内，所以平面PAE．
（ⅱ）记直线PA与平面PBC所成的角为，点A到平面PBC的距离为d，则．
因为，，所以．
取BC中点G，连接HC，HG，HB，
由题意可知为直角三角形，且，，，所以，
又因为平面ABCE，所以，
因为，所以，同理，
因为，可得，
因为，所以，
所以，即直线PA与平面PBC所成的角的正弦值为．


19.【答案】解：（1）（ⅰ），，解得，,
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知：甲初始位置位于点，，
若机器人甲按照指令继续移动，则，
若机器人乙位于坐标原点，且面向x轴正方向，按照指令移动，则，
在中，由余弦定理知：，所以．
由正弦定理知：，解得：，．
（2）（ⅰ）指令即，第一次执行指令，移动到点；
第二次执行指令，移动到点；
第三次执行指令，移动到点；
即M点坐标为；
（ii）第i次执行指令，即在第次的基础上横坐标增加，纵坐标增加，
则N点横坐标为
则N点纵坐标为
即，
所以点N到原点O的距离为

第1页，共1页

展开更多......

收起↑