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广东东莞市2025-2026学年第二学期教学质量自查高二数学试卷
一、单选题
1．函数在处的导数是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．2封不同的书信有3个不同的邮筒可投，不同投法的种数有（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
3．已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，设有圆和定点，当从开始在平面内绕匀速旋转时（角速度不变且旋转角度不超过90°），直线l扫过的圆内的面积是时间的函数，这个函数的图像只可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表：
广告费用（万元） 2 3 4 5
销售额（万元） 39 49 54
根据上表可得经验回归方程，则的值为（ ）
A．26 B．27 C．28 D．28.5
6．若二项式（）的展开式中存在常数项，则的最小值为：（ ）
A．14 B．10 C．7 D．5
7．袋中有5个白球，3个黑球，从中依次取球，当取出两个相同颜色的球时停止取球，记为取出球的总数．若每次取球后不放回，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列关系式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，则下列结论正确的有（ ）

A． B．
C． D．
11．生物医学研究中，常通过随机对照试验评估一种新药对某种疾病的预防效果．为评估一种新药对某种疾病的预防效果，研究人员对某种动物群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
发病 未发病 合计
用药 5 45 50
未用药 25 25 50
合计 30 70 100
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物．记事件发生与不发生的概率之比为；记在事件发生的条件下，事件发生与不发生的概率之比为．根据以上定义及表中数据，下列说法正确的有（ ）
A．的估计值为
B．的含义为用药可能降低发病风险
C．
D．
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为________（请用数字作答）．
13．随机选择一个有两个孩子的家庭，如果已知这个家庭有孩子的生日在星期一，则该家庭两个孩子的生日都在星期一的概率为________．
14．设函数，，若存在，，使得，则的最大值为________．
四、解答题
15．人工智能大模型已成为新一代数字技术核心，某企业自主研发了人工智能大模型，为了比较其与传统人工智能模型的文本生成效果，随机抽取，两种模型各50次文本生成效果，已知每次文本生成效果分为有效生成与无效生成两种情况，其部分统计数据如下表．
有效生成 无效生成 合计
模型 10
模型 20
合计 30
(1)完成列联表，并以样本估计总体，频率估计概率，估计利用大模型随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否推断文本生成效果与模型类型有关？
附：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．已知函数．
(1)当时，求的图象在处的切线方程；
(2)当时，求在区间上的最大值．
17．一个口袋中有个红球，个白球，这个小球除颜色外均相同．每次同时摸个球，若摸到的个球中至少有个红球，则该次摸球中奖．
(1)若有放回地连续摸次，求中奖次数的分布列及数学期望；
(2)若不放回地连续摸次，求第次中奖的概率．
18．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数在处取得极值，且，求实数的取值范围；
(3)当时，证明：．
19．某选手参加知识闯关比赛，比赛按轮次进行．每一轮比赛系统随机分配一道基础题或拓展题，分配到基础题的概率为，分配到拓展题的概率为．已知该选手答对基础题的概率为，答对拓展题的概率为，且各轮次答题结果相互独立．
(1)若规定比赛轮次为10轮，记该选手答对轮次总数为，求为何值时概率最大；
(2)若规定连续两轮答题均答错，比赛立即终止．记为该选手在第个轮次比赛后，比赛还未结束的概率．
①求，；
②若对系统分配题目进行设置，在完成第个轮次比赛后，当时，系统停止分配题目，求该选手最多能进行多少个轮次的比赛．
参考答案
1．A
【详解】函数，有，所以函数在处的导数值为．
2．A
【详解】2封书信不同，3个邮筒也不同，每封书信有3种投法，
由分步乘法计数原理得：．
3．C
【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误；
根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误；
由图可知，，所以C正确；
由图可知，，所以D错误．
4．D
【详解】由于是匀速旋转，阴影部分面积在开始和最后时段增加慢，中间时段增加快.
选项A的图像表示的增速是常数，与实际不符，故A选项不符合题意；
选项B的图像表示最后时段增加快，与实际不符，故B选项不符合题意；
选项C的图像表示开始和最后时段增加快，中间时段增加慢，故选项C不符合题意；
选项D的图像表示开始和最后时段增加慢，中间时段增加快，符合实际，应选D.
5．A
【详解】根据表格数据可知：，，
因为回归方程必过样本中心点，
故可得，解得.
6．C
【详解】二项式（）的展开式通项公式为：
，
若上式中存在常数项，则有解，那么的最小值为7.
7．C
【详解】表示第一次取得白球，第二次取得黑球，或是第一次取得黑球，第二次取得白球，
所以
8．B
【详解】在单位圆中，如图所示，，
那么，
因为,
所以，,即
所以，
所以，
所以，
设函数，
则在上恒成立，
因此在上单调递减，
因为，所以，
则，即，排除AC，
由，得，
即,
两边除以，又，得
，
所以，即，故B正确.
9．BCD
【详解】对于A，，，显然，A错误；
对于B，根据组合数性质，得，B正确；
对于C，，
，
所以，C正确；
对于D，，
，
所以，故D正确．
10．AD
【详解】小球从顶端下落，最终落入编号1到6的格子，说明小球在下落过程中共需要碰撞5次小木钉，
每次碰撞后等概率选择向左或者向右，概率均为.
设5次碰撞中向右的总次数为，则，且格子编号.
，选项A正确；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确.
11．ABC
【详解】由题意可得：总样本100只，发病共30只，因此，则，
用药共50只，用药后发病5只，因此，则，
因此，A正确，
所以，说明在使用药物条件下发病率与不发病率之比小于总体发病与不发病概率之比，
所以用药可能降低发病风险，B正确，
根据条件概率公式可得，
由，则，
由，则，C正确，
由表格数据，D错误.
12．1
【详解】利用多项式乘法展开,
设展开式通项为，那么
令，得 ，所以中含的项为；
令，得 ，所以中含的项为，
所以，在的展开式中，含的项为，系数为1.
13．
【详解】由题意可知：每个孩子生日在星期一的概率为，不在星期一的概率为，
设该家庭有孩子的生日在星期一为事件A，该家庭两个孩子的生日都在星期一为事件B，
则，，
所以.
14．0
【详解】由题意，即，所以，
由，所以在上单调递增，则，可得，
所以，
令，函数定义域为，则，
令，有在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
由，则时，；时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即的最大值为0.
15．(1)
有效生成 无效生成 合计
模型A 40 10 50
模型B 30 20 50
合计 70 30 100
(2)能推断文本生成效果与模型类型有关
【详解】（1）由已知得列联表：
有效生成 无效生成 合计
模型A 40 10 50
模型B 30 20 50
合计 70 30 100
由表格知，模型A共生成50次，其中有效生成40次，
所以随机生成1次文本，文本生成效果为有效生成的频率为，
根据频率估计概率，利用模型A随机生成1次文本，该文本生成效果为有效生成的概率为.
（2）零假设：文本生成效果与模型类型无关，
计算得，
依据小概率值的独立性检验，有充分的证据推断不成立，
即能推断文本生成效果与模型类型有关．
16．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
求导得，
所以，，
所以切线方程为，
所以函数的图象在处的切线方程为.
（2）由题知，，
求导得，
令，则，
因为，所以，，
所以当时，恒成立，
所以在上单调递增，
即在上单调递增，
计算得，，
①当，即时，
恒成立，
所以在上单调递增，
②当，即时，
因为，，
所以，存在唯一使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
．
综上所述，函数在区间的最大值为．
17．(1)
X 0 1 2 3
P
(2)
【详解】（1）设“有放回地每次同时摸个球中奖”为事件，
则事件包含摸到的两个球均为红球，或摸到的两个球为一红一白两类情形，
由古典概型得，
的所有可能的取值为，
则，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
；
（2）设“不放回地第次摸个球中奖”为事件，
一次摸个球总基本事件数，不中奖的事件数，
，，
事件分两类互斥子事件：为第一次摸的球为红，为第一次摸的球为红白，
，，
，，，
，
所以不放回地连续摸次，第次中奖的概率为．
18．(1)当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
(2)
(3)证明：令，
由（2）知在上单调递减，则在上单调递减，
因为，
所以，即，
因为，所以，
又因为，
所以．
【详解】（1）由题得，，
①当时，恒成立，所以在上单调递减；
②当时，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）函数在处取得极值，
由（1）知，且，解得，
由，得,即，
令，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
即．
（3）略．
19．(1)
(2)①，；②6
【详解】（1）设事件“分配到基础题”，则“分配到拓展题”，事件“在一个轮次中答题正确”，
由题意得，，，，
所以，
由题意得，可得，
所以，
当时，解得；
当时，解得；
所以，
所以当时概率最大.
（2）①设事件“该选手在第n个轮次中答题正确”，则，
当时，比赛显然不会终止，则，
当时，第1、2轮次比赛至少答对一次，则，
当时，包含“第3轮答题正确，第2个轮次后比赛未结束”和“第3轮答题错误，第2轮答题正确，第1个轮次后比赛未结束”两类，
则，
②设事件“第n个轮次后比赛未结束”，
当时，第n个轮次后比赛未结束有两种情况：
（i）第n轮答题正确，且第个轮次后比赛未结束；
（ii）第n轮答题错误，且第轮答题正确，且第个轮次后比赛未结束．
所以，则，
所以，，且，，
当时，，
所以，，
因为，，
所以为单调递减数列，则，
所以该选手最多能进行6个轮次的比赛.

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