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小结与评价
第二章 图形与坐标
（湘教版）八年级
下
学习目标
1.理解与应用平面直角坐标系:深入理解平面直角坐标系的构建方法、各部分的名称（如原点、坐标轴、象限）及其基本性质。同时，掌握如何在实际情境中建立和应用平面直角坐标系。
2.点与坐标的对应关系:明确平面上的点与有序实数对之间的一一对应关系，能够熟练地根据点的位置写出其坐标，以及根据坐标确定点的位置。
3.坐标变换与图形位置:学习如何通过坐标变换（如平移）来描述图形在平面上的位置变化，并能用坐标表达简单图形的位置及其变化。
学习目标
4.数形结合思想:培养学生运用数形结合的思想方法，通过代数手段解决几何问题，或利用几何直观理解代数问题，从而深刻体会平面直角坐标系作为代数与几何桥梁的重要性。
5.解决实际问题:培养学生将所学知识应用于解决实际问题的能力，如通过建立平面直角坐标系来描述物体的相对位置、计算距离等。
知识图谱
思考回顾
1)建立平面直角坐标系的方法：首先，在平面上选择两个互相垂直且有公共原点的数轴，通常称它们为x轴和y轴.x轴和y轴将平面分成四个部分，称为象限。原点O的坐标为(0,0).
1.如何建立平面直角坐标系？建立平面直角坐标系后，如何确定给 定点的坐标？如何根据坐标描出点的位置？平面上的点与有序实数对有什么关系？
2)确定给定点的坐标：对于平面上的任意一点P，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足在x轴上的坐标即为点P的横坐标，垂足在y轴上的坐标即为点P的纵坐标，从而得到点P的坐标为(x,y).
思考回顾
3)根据坐标描出点的位置：在x轴上找到横坐标对应的点，再在y轴上找到纵坐标对应的点，然后连接这两点，与x轴和y轴围成的交点即为所求的点.
4)平面上的点与有序实数对的关系：平面上的每一个点都唯一地对应一个有序实数对（即坐标），反之，每一个有序实数对也唯一地对应平面上的一个点.
思考回顾
在平面直角坐标系中，四个象限中的点坐标特征为：
第一象限(+,+)，第二象限( ,+)，第三象限( , )，第四象限(+, )。
坐标轴上的点，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0。
2.在平面直角坐标系中，四个象限中的点与坐标轴上的点的坐标分别有什么特征？
思考回顾
假设有两个物体A和B，A在B的北偏东30 °方向上，距离B为5米。
这样，我们就用方位角30°和距离5米来刻画了A和B的相对位置.
3.举例说明如何用方位角和距离刻画平面上两个物体的相对位置.
思考回顾
画一个正方形，并假设其一个顶点在原点，且边与坐标轴平行。则正方形的四个顶点坐标可以是A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)
4.画一个正方形，建立适当的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标.
x
y
A
B
C
D
思考回顾
在平面直角坐标系中，点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标是(a, b)；关于y轴的对称点的坐标是( a,b).
5.在平面直角坐标系中，点 P（a，b）关于 x 轴的对称点的坐标是什么？关于y轴的对称点的坐标是什么？
思考回顾
在平面直角坐标系中，点P(a,b)向右平移k个单位长度后，点P的像点Q的坐标是(a+k,b)；
再向上平移k个单位长度后，点Q的像的坐标是(a+k,b+k).
如果向左或向下平移，则相应地在横坐标或纵坐标上减去平移的单位数.
6.在平面直角坐标系中，点 P（a，b）向右（或向左）平移 k 个单位长度，点P的像点Q的坐标是什么？再向上（或向下）平移k个单位长度，点 Q的像的坐标是什么？
注意事项
1.同一个点，在不同的平面直角坐标系中，其坐标不相同，所以我 们说一个点的坐标，都是对某一个确定的坐标系来说的.
2. 平面直角坐标系是沟通代数与几何的桥梁，建立平面直角坐标系后，平面上的点与有序实数对一一对应.
3. 数形结合能帮助我们更好地理解变换的坐标表示和变换下图形的位置变化
典例精讲
1.将点 向下平移6个单位长度得到点 ，则 的算术平方根是（　　）
A．2 B．4 C．±2 D．±4
【答案】A
【解析】解：由题意得x＝1-y，1+y 6＝x，
解得x＝ 2，y＝3，
∴ = ，4的算术平方根为2，
故答案为：A.
【题型一】点的对称与平移
【强调】做题时要看清题目，看好点的坐标、平移的方向和距离，记住平移的规律，最后还要确保计算的准确
典例精讲
2. 在平面直角坐标系中，将点P(1,-1)向右平移2个单位后，得到的点P1关于x轴的对称点坐标是（　　）
A．(1,1) B．(3,1) C．(3,-1) D．(1,-1)
【题型一】点的对称与平移
【答案】B
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移
【解析】解：∵将点P（1，-1）向右平移2个单位，
∴平移后的坐标为（3，-1），
∴ 得到的点P1关于x轴的对称点坐标为（3，1）.
典例精讲
3.如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是（　　）
A．距离学校1200米处 B．南偏西65°方向上的1200米处
C．北偏东65°方向上的1200米处D．南偏西25°方向上的1200米处
【答案】C
【解析】解：根据题意可得：180°-115°=65°，由图可得：学校在小明家的北偏东65°方向上的1200米处.
【题型二】利用点的坐标表示地理位置或实际问题的参数。
典例精讲
4.如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD先向下平移，再向右平移得到四边形A'B'C'D'．若点A，B，A'的坐标分别为（﹣3，5），（﹣4，3），（3，3），则点B'的坐标为（　　）
A．（1，2）B．（2，1）
C．（1，4）D．（4，1）
【题型三】坐标与图形变化﹣平移
【强调】图形的平移要注意的平移几何意义（哪些要素不会改变）、坐标的变化，还要学会用坐标的变化画出平移后的图形
典例精讲
【答案】B
【解析】解：由 A(﹣3，5），A'（3，3） 可得平移规律为：向右平移6个单位，向下平移2个单位，
∵ B（﹣4，3） ，
∴B'（-4+6，3-2）即B' （2，1） .
典例精讲
5.如图，在直角坐标系中有三点A(﹣2，3)、B(2，1)、C(3，3)．
⑴在平面直角坐标系中画出△ABC；
⑵求△ABC的面积；
⑶P是x轴上的动点，求PA+PB的最小值
【题型四】利用坐标计算距离、面积等
典例精讲
【答案】解：⑴如图，△ABC即为所求
（2）由图可知：AC=3-(-2)=5，
点B到AC的距离为2
∴
典例精讲
⑶如图，取点A关于x轴的对称点A'，连接A'B，交x轴于点P，连接AP，
此时PA+PB最小，最小值即为A'B的长，
∵A'P=＝，
∴PA+PB的最小值为．
【注意 】两点间距离公式A(x1 ,y1 )和B(x2 ,y2 )
D=
典例精讲
6.如图，在平面直角坐标系中，A(﹣1,﹣2)，B(﹣2,﹣4)，C(﹣4，﹣1)．
（1）把△ABC向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）点P在坐标轴上，且△A1B1P的面积是2，求点P的坐标．
【拓展提升】
典例精讲
【答案】（1）如图所示：
△A1B1C1，点A1（0，0），
B1（﹣1，﹣2），C1（﹣3，1）；
（2）△A1B1C1的面积为：
3×3﹣ ×1×3﹣ ×2×3﹣ ×1×2= ；
典例精讲
（3）若P点在x轴上，设点P的坐标为：（m，0），
∵△A1B1P的面积是： A1P×2= |m﹣0|×2=2，
∴解得：m=±2，
∴P的坐标为：（2，0），（﹣2，0），
若点P在y轴上，设点P的坐标为：（0，n），
∴ A1P×1= |n﹣0|=2，
解得：n=±4，
∴P的坐标为：（0，4）或（0，﹣4），
综上所述：P点坐标为：（2，0）或（﹣2，0）或（0，4）或（0，﹣4）．
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