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昭通一中教研联盟2026年春季学期高二年级期末考试
6设a>0且a≠1，b>0且6≠1，若1g31g31,则a+46的最小值是
C.8
数学（A卷)
A.23
B.43
D.16
1
/11
命题单位：昭通市第一中学高一数学备课组
7.已知0A.3B.yC.zD.x本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(2x+1)为奇函数，f(x)+f(x+2)=2f(1),则
页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，
A.f(x)为奇函数且对称中心为(1,0)
考试用时120分钟.
B)为奇函数且对称中心为行，可
第I卷（选择题，共58分）
C.(x)为偶函数且对称中心为(1,0)
注意事项：
D:)为偶函数且对称中心为刘行，0
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答
题卡上填写清楚。
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
9.以下四个命题中，是真命题的有
A.若命题p:3x∈R,x2+x+1<0,则p的否定为：HxeR,x2+x+1≥0
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项
B.若a中，只有一项是符合题目要求的)
C若a>b>0且c>0,则+6
a+c a
1.已知集合A={xx≤1}，B={xx2-3x+2>0,则AnB=
D.“>0”是“2A.(-0,2)
B.(-0,1)
C.(0,1]
D.(0,2)
10.已知数列a.}满足，a1=2,lna+1=lnan+1,，则下列结论正确的是
2.函数f(x)=e在[0，ln2]的最小值与最大值的和为
A.数列na.}是等差数列
A.e
B.1
c.1
D.3
B.数列{an}是等比数列
e
C.as=2es
3.已知实数-1，a1,a2,a3,-9成等比数列，则a1a2a3=
A.-9
B.±9
C.-27
D.±27
D.含n,=2
2
4若函数x)=(4-)
(a>0且a≠1)为偶函数，则a=
ll.已知函数f代x)=ax2-lnx(a∈R),则下列结论正确的是
a
A.当a=1时，f(x)的增区间为(1，+∞)
A.9
B.3
D.2
B.当a=2时，曲线y=f(x)在(1，f(1)处的切线方程为y=3x-1
1
5.已知函数.f(x)=lnx-ax在区间[1,2]上单调递减，则实数a的取值范围为
C若函数fx)在(1，+∞)存在单调递减区间，则a的取值范围为-，2)
1
C.a≥3
1
A.a≥1
B.a>1
D.a>3
D.当a=2时，函数()=fx)-2x+有且仅有两个零点
高二数学A卷ZT·第1页（共4页）
高二数学A卷ZT·第2页（共4页）昭通一中教研联盟 2026 年春季学期高二年级期末考试
数学（A 卷）参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题所给的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C D A B B C
解析：
1．由题意得 ， ，所以 ，故选 B．
2．由题知函数 在[0，ln2]单调递增，所以，函数 在 处取得最小值 1，最大
值为 2，最大值与最小值和为 3，故选 D．
3．由题意得， ， ，又奇数项的符号相同，所以 ，则
，故 ，故选 C．
4．函数 且 为偶函数，且该函数的定义域为 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，可得 ，又因为 且 ，解
得 ，故选 D．
5．因为 ，所以 ，因为 在区间 上单调递减，所以
，即 ，则 在 上恒成立，因为 在 上单调递减，所以
，故 ，故选 A．
6．由换底公式可得 ，原式化为 ，所以
，因为 ，由基本不等式得 ，
当且仅当 ，即 时，取等号成立，所以 的最小值是 ，故选 B．
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 1页（共 12页）
7．由 ，不妨设 ，则 ，
，所以 ，故选 B．
8．因为 为奇函数，所以 ，所以 的图象关于点 对
称，则 的图象关于点 对称；因为函数 的定义域为 ，易知 的
定 义 域 为 ， 因 为 为 奇 函 数 ， 所 以 ， 则
，所以 ，根据 的图象关于点 对称，
得 ，所以 ，故 为偶函数，故选 C．
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
是符合题目要求的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 AC ABD BCD
解析：
9． 对于 A，若命题 ，则 的否定为： ，故 A 正
确；对于 B，若 ，则 ，即 ，
故 B 错误；对 C：因为 且 ，所以
，故 C 正确；对于 D，因为 是 的真子集，所以
“ ”是“ ”的必要不充分条件，故 D 错，故选 AC．
10．因为 ，所以 ，所以 是以首项为 ，公差为 1
的等差数列，所以 ，代入验证 也符合．A 选项，
， 则 是 等 差 数 列 ， 所 以 A 选 项 正 确 ； B 选 项 ， 因 为
，所以 ，则 是等比数列，所以 B 选项正确；C 选
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 2页（共 12页）
项 ， ， 则 ， 所 以 C 选 项 错 ； D 选 项 ，
，所以 D 选项对，故选 ABD．
11．当 时， ，则 >0， ，所以 f(x)在(1，+ )单调递增，
但增区间为 ，A 错；B．当 时， ，则 ，所
以 ，所以切线方程为 ，即 ，B 对；C．由题意得
，若函数 存在单调递减区间，则 在 上有解，
所以 在 上有解，因为函数 在 上单调递减，所
以 ，故 ，C 对；D．由题意得 ，则
，令 ，则
，令 可得， （舍）或 ，当 时，
，则 在 上单调递减，当 时， ，则
在 上单调递增，又 ， ， ，所以存在
，使得 ，即 ，所以当 时， ，则 在
上单调递减，当 时， ，则 在 上单调递增，因为
时 ， ， ， 所 以 存 在 ， 使 得 ， 又
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 3页（共 12页）
， 所 以 存 在 ， 使 得 ， 所 以 函 数
有且仅有两个零点，故选 BCD．
第Ⅱ卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
答案
解析：
12．设幂函数 ，因为 的图象过点 ，所以 ，解得 ，所
以 ，得 ．
13． 依 题 意 ， 折 成 无 盖 盒 子 的 底 面 是 边 长 为 的 正 方 形 ， 高 为 ， 则
，可得 ，令 ，
解得 ，令 ，解得 ，可知 在 单调递增，在 单
调递减，所以函数 在 处取得最大值．
14．函数 为连续函数，在 单调递增，在 单调递减，若 ，
则满足条件 ，故答案为： ．
四、解答题（共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
（1）解：由题意可得 ， …………………………………（1 分）
， ……………………………………………………（2 分）
， ……………………………………………………（3 分）
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 4页（共 12页）
， ……………………………………………………（4 分）
所以 ． ……………………………（7 分）
（ 2） 证 明 ： 由 取 到 个 白 球 ， 则 可 得 取 到 个 黑 球 ， 所 以 得 分
，
………………………………………………………………………（10 分）
所以 ． ……………………………………………（13 分）
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）在 中，因为 ， ，
所以 ． …………………………………（3 分）
在 中，由正弦定理得： ，
…………………………………………………（4 分）
所以 ． ………………………………（5 分）
又 ，所以 ， …………………………………………（6 分）
所以 ． …………………………（7 分）
（2）在 ， 中，由余弦定理得，
，
………………………………………………（8 分）
，
…………………………………（9 分）
所以 ，即 ．
…………………………………………………（10 分）
又 ，
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 5页（共 12页）
即 ，
整理得 ， …………………………………………（12 分）
所以 ， …………………………………（13 分）
整理得 ，
………………………………（14 分）
所以 ． ………………………………………………………（15 分）
17．（本小题满分 15 分）
法一：（坐标法）
解：首先，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD1 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角
坐标系．
由题意，长方体 中， ， ，各点坐标为：
D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，4，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，2)，A1(4，0，2)，
B1(4，4，2)，C1(0，4，2)，
点 P 为 BC 中点，故 P(2，4，0)；点 Q 为 C1D1 中点，故 Q(0，2，2)．
………………………………………（2 分）
（1） ， ，
，
故 ，即 ．
………………………………………………………………（4 分）
（2）平面 PCC1 中，点 P(2，4，0)、C(0，4，0)、C1(0，4，2)，
⊥面 ，其法向量为 ， ……………………………………（6 分）
直线 的方向向量为 ，其模长： ，
设直线 AC1 与平面 PCC1 所成角为θ，
. ………………………………………………………（8 分）
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 6页（共 12页）
（3）点 M 在长方形 ADD1A1 内，故 M 的坐标满足 y=0，
设 （其中 ， ），
， ………………………………………………………………（9 分）
首先求平面 APC1 的法向量：
， ，设法向量 ：
，
，
令 ， ； ………………………………………………………（12 分）
因 QM∥平面 APC1，故 ，即 ：
化简得： ， …………………………………………………………（13 分）
结合 M 的范围 ，得轨迹线段的两个端点：
当 z=0 时，x=3，即 M1(3，0，0)；
当 z=2 时，x=1，即 M2(1，0，2)．
轨迹为线段 M1M2，其长度：∣M1M2∣= ． ……………………（15 分）
法二：
（1）证明：连接 AC，BD，
∵ 是长方体，∴ ⊥面 ABCD，
∴ ⊥BD． ……………………………………………………………（1 分）
又∵ABCD 是正方形，∴AC⊥BD， ………………………………（2 分）
；
∴BD⊥面 ，又∵ 面 ， …………………………………………（3 分）
∴ ⊥BD． ………………………………………………………………（4 分）
（2）解：∵ ⊥面 ， ………………………………………………（6 分）
∴ 即为直线 与平面 所成角，
……………………………………………（7 分）
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 7页（共 12页）
在直角三角形 中，AB=4， ，
∴sin = ． ………………………………………………………（8 分）
（3）解：在长方体 中，取 的中点 ，连接 ，
由点 为 的中点，得 ，
则四边形 是平行四边形，
，又 ，
则四边形 是平行四边形，
于是 ，取 中点 ，在 上取点 ，
使得 ，连接 ，
而 ，则四边形 为平行四边形， ，
而 平面 ， 平面 ，于是 平面 ，
……………………………………（10 分）
由 为 的中点，得 ，而 平面 ， 平面 ，
则 平面 ． ………………………………………………………（12 分）
又 平面 ，因此平面 平面 ，
………………………………（13 分）
由直线 平面 ，点 平面 ，
则点 在平面 与平面 的交线上，从而点 的轨迹是线段 ，
………………………………………………………………………（14 分）
而 ，所以点 的轨迹长度为 ．
……………………………………………………………………（15 分）
18．（本小题满分 17 分）
解：（1） = ， …………………………………………（1 分）
， ………………………………………………………（2 分）
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 8页（共 12页）
令 ，则 ，所以 的单调递增区间为 ；
………………………（4 分）
令 ，则 ，所以函数 的单调递减区间为 ．
………………………………（6 分）
（2）
， ……………………………………………………（7 分）
则 ， …………………………（8 分）
令 ，则 ．
…………………………………………………（9 分）
①当 时， ， ， 在 单调递增，
又 ，且当 趋近于 时， 趋近于 ，
故存在 ，使得 ，
且当 时， ， ，故此时 单调递增；
当 时， ， ，故此时 单调递减；
则 为 的极大值点， 没有极小值点，不满足题意；
………………………………（11 分）
②当 时， ，
令 ，解得 ，此时 单调递增；
令 ，解得 ，此时 单调递减；
故 在 时取得最大值，最大值为 ；
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 9页（共 12页）
若 ，即 ，也即 时， 在 恒成立；
则 在 恒成立，故 在 单调递减，没有极值点，不满
足题意； …………………………………………………………………………（14 分）
若 ，即 ，也即 时， ，
又当 趋近于 时， 趋近于 ；当 趋近于 时， 趋近于 ，
故存在 ，使得 ，且存在 ，使得 ，
故当 ， ，此时 ， 单调递减；
当 ， ，此时 ， 单调递增；
当 ， ，此时 ， 单调递减；
故当 时， 取得极小值，当 时， 取得极大值，满足题意；
综上所述，若 有极大值和极小值，则 ．
……………………………………………………（17 分）
19．（本小题满分 17 分）
解：（1）在抛物线中， ，则 ， …………………………………（1 分）
所以 C 的方程为 ． …………………………………………（3 分）
（2）设 ，
当 时，直线 的方程为 ，即 ．
联立 ，消去 可得 ， ……………………………（4 分）
根据韦达定理， ， ， ……………………………………（5 分）
则 ，
……………………………………………………………………………………（6 分）
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 10页（共 12页）
点 到直线 的距离 ，
………………………………（7 分）
所以 的面积 ．
………………………………………（8 分）
（3）存在实数 =2 使等式成立． …………………………………………（9 分）
设 ，因为点 在直线 上，
所以 ，解得 ， ，
点 是直线与 轴的交点，令 ，得 ，所以 ，
…………………………………………（10 分）
则 ，
，
，
………………………………………（12 分）
要验证 ，即验证： ，
化简得： ．
…………………………………………………………（13 分）
联立 ，消去 可得 ， …………………………（14 分）
因为 ，且 ， ……………………………………（15 分）
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 11页（共 12页）
所以 ，
所以 和 同号，即 ．
因为
， ………………………………………………………（16 分）
， ．
…………………………………………………………………（17 分）
高二数学 A 卷 ZT 参考答案·第 12页（共 12页）

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