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高三一轮复习必刷题---数列03（数列求和）
题型1倒序相加求和
1．已知函数，则（ ）
A．2026 B．2025 C．1013 D．
2．已知，数列满足：，则为（ ）
A．2025 B．2026 C．4050 D．4052
3．已知函数，且，则实数的值为__________；若，且，则的取值范围为__________
4．设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为______.
5．已知函数且，利用课本中推导等差数列前项和公式的方法，可求得（ ）
A．1012.5 B．1013 C．2025 D．2026
6．已知函数，（ ）
A． B． C． D．
7．若，数列满足，则的值是（ ）
A．2024 B．4048 C．3036 D．2025
8．若，则（ ）
A． B． C． D．
9．设，，求的值．
10．已知，则____．
11．已知数列中，，则（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
题型2错位相减求和
12．已知数列满足，．
(1)证明是等比数列，并求的通项公式；
(2)设数列满足，求的前项和．
13．已知等差数列的前项和为，且，，等比数列的前项和为，且（）．
(1)求数列，的通项公式．
(2)若，求数列的前项和．
14．已知数列满足，且．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列的前项和．
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
16．在数列中，，．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求数列的前项和．
17．已知正项等比数列的前n项和为，且，.
(1)求数列的通项；
(2)设，求数列的前n项和.
18．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，令，求数列的前项和．
19．已知数列中，，且（）．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的前项和．
20．已知数列的各项均不为0，前项和为，且．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．已知数列满足，．
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
22．已知数列是以为首项，为公比的等比数列，且．
(1)证明：是等差数列；
(2)求数列的前项和．
题型3裂项相减求和
23．已知等差数列的前项和为，．
(1)求数列的通项以及前项和；
(2)数列中，前项和为，求满足的的最大值．
24．已知数列的前项和为，且（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
25．已知数列为等差数列，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
26．已知数列的前项和为，且满足．
(1)求的通项公式：
(2)设，求数列的前项和．
27．已知等差数列的前项和为，且．
(1)求数列的前项和为；
(2)记，数列的前项和为，求，并证明．
28．已知数列为递增的等差数列，且，，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
29．在数列中，，，且数列是公差为2的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．
30．已知数列中，，满足．
(1)证明数列是等比数列；
(2)设，为数列的前项和，求．
31．已知等差数列的公差 ，且 ，，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记的前 项和为，求证：．
32．记为数列的前项和，记
(1)求的通项公式；
(2)设，证明：
33．已知正项数列的前n项和为，满足（）．
(1)求和；
(2)若，求证：（）．
题型4分组求和
34．在数列中，，，．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)求的前n项和．
35．已知数列的前n项和为，若.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
36．设等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
37．设等差数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
38．已知等比数列的公比为q（且），等差数列的公差为d，满足条件：，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
39．已知数列的前n项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和．
40．已知数列满足，且，．
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
41．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
题型5奇偶项求和
42．已知数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
43．已知数列的前项和为，且 ，数列满足.
(1)求和的通项公式；
(2)若满足，求的前项和.
44．已知正项等比数列满足（）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设满足，求的前n项和为．
45．已知数列满足：，，设．
(1)求，，的值；
(2)判断数列的单调性并说明理由；
(3)求数列的前项和．
46．已知正项数列的前项和为，且满足，数列为等比数列，且，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)数列满足（），求的前项和．
47．已知等比数列的前项和为，数列是公差为1的等差数列，若，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设为的前项和，求．
题型6绝对值数列求和
48．已知数列的前项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
49．已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足.
(1)求证：数列为等差数列，并求出；
(2)设，求数列的前项和.
50．已知数列的首项，前项和为，且数列是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
51．已知是等差数列，是等比数列，且，，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前项和．
52．在数列 中， ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
53．已知数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式及；
(2)求数列的前n项和.
54．数列的前项和为，；
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求.
55．已知等差数列，满足，.
(1)求的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，求.
56．记为等差数列的前n项和，已知.
(1)求的通项公式an与前n项和公式；
(2)求数列的前n项和.
《高三一轮复习必刷题---数列03（数列求和）》参考答案
题号 1 2 5 6 7 8 11 42
答案 D B C A B D A D
1．D
【详解】因为，
所以
，
即：，
令，
则，
所以，
所以.
2．B
【详解】由函数，得
，
令，
则，
两式相加得，
所以，解得.
3． 1
【详解】由题可知，
∴，
令，
又，
∴，
∴，∴；
∵，∴，
且，
∵，且由，及，可知，
∴令函数，
则，且易知为单调递减函数，
∴，即，
易知，∴的取值范围为．
故答案为：1；.
4．13
【详解】由，因，
则
.
故答案为：13.
5．C
【详解】由，所以，
令，
，
所以，
所以，即，
故选：C.
6．A
【详解】由，可得，
所以，
令，
，
所以，
即，
故选：A
7．B
【详解】，
，
则.
因为
令，得
；
；
；
…………
又.
故
故选：B
8．D
【详解】由函数，得，
令，
则，
两式相加得，
，解得.
故选：D
9．
【详解】 因为，
所以
．
故
，
所以．
10．
【详解】因为，所以，
故
故答案为：
11．A
【详解】，
所以，
两式相加可得：，
所以，
故选：A
12．(1)证明：由得，又因为，
所以，所以是首项为2，公比为2的等比数列；
所以，解得．
(2)
【详解】（1）略.
（2），
又，
则，
两式相减得，
化简得．
13．(1)（），（）．
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为．
则有，解得，
所以，即（），
在等比数列中， ①
当时， ②
由①-②得：，
所以，即等比数列的公比，
在①中令得：，即，
所以，
所以（）．
（2），
则，
所以③
④
④-③得：
，
所以．
14．(1)证明：由，
两边同时除以，得，即，
又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）得，故，
故，
，
两式相减，得
，
因此．
15．(1)
(2)．
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由题意可得，结合，解得，
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知：，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
16．(1)由，则
可得，又因为，所以，
所以是首项为1，公差为3的等差数列．
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）知，，所以．
，①
，②
①②得，
，
所以．
17．(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列的公比为q，
方法一：
①当时，，显然不合题意；
②时，，得：，
则，又，则；
由题：，
方法二：
，又，，
由题：，
（2），
故：
，
两式相减得：
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
即，
解得，，
所以．
因此数列的通项公式为.
（2）
，
．
所以
，
即
所以
19．(1)由，得，则，
又，则，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）可知：，则，
所以①，
则②，
则①②得：，
所以．
20．(1)
(2)
所以，
即，
所以数列是等比数列，其首项为，公比，
所以；
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
所以，
所以，
两式相减，得
，
所以.
21．(1)因为，
两边同时取倒数得：，
即，
所以，所以数列为等差数列；
(2)
【详解】（1）略
（2）因为，由（1）可知，数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以，
．
所以①，
②，
①－②得：
，
故．
22．(1)证明：因为是以为首项，为公比的等比数列，
所以，整理得，
又，所以是首项为，公差为的等差数列．
(2)．
【详解】（1）略
（2）由（1）知，所以，
所以，
则，
两式相减，可得
，
即．
23．(1)，
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，所以，所以，解得，
所以，；
（2）由（1）知，所以，
所以，
由，得，解得，
所以满足的的最大值为．
24．(1)
(2)
【详解】（1）因为，当时，，
当时，，
检验，当时，，也满足．所以．
（2）因为，，
，
．
25．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，所以.
（2）由（1）得：，
所以.
26．(1) ()
(2) ()
【详解】（1）由 ，当时，得；
当 时，整理得 ，
故 为首项是 、公比是的等比数列，通项 () .
（2），
则() .
27．(1)
(2)由（1）知，，
则，
，
又得证．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由已知，解得：，
所以，，
当时，，；
当时，，
．
综上：．
（2）略
28．(1)
(2)
【详解】（1）设公差为，由题意，即，
解得，故.
（2）已知，则，
所以.
29．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由数列是公差为2的等差数列，且，，
则，
所以
，
又满足上式，所以．
（2）由（1）得，，
当时，，
当时，．
综上，．
30．(1)由，得，
即，
又，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
(2)
【详解】（1）略；
（2）由（1）可知，所以，
所以，
则，
所以．
31．(1)
(2)证明：因为， ：
所以.
所以
因为为正整数，，所以，
因此：.
【详解】（1）设等差数列首项为，公差，由，成等比数列，
可得：，由，解得：，
所以的通项公式为.
（2）略
32．(1)
(2)由，代入通项得，变形得，
对和式裂项相消得.
因为是正整数，，所以，因此，
即，得证.
【详解】（1）当时，；
当时，，代入得
，
验证时，，符合上式.
因此的通项公式为.
（2）略.
33．(1)，；
(2)由（1）可知，则

于是有：
．
【详解】（1）（），①，
（），②，
由②-①得（），
即．
又，所以，．
又，解得或0（舍），
故，．
（2）略
34．(1)由题意得，即，因此数列是以为首项，为公比的等比数列．
.
(2)
【详解】（1）即，所以.
（2）由上知，
则
.
35．(1)
(2)
【详解】（1）由得，当时，.
两式作差得，即（，）.
当时，，故.
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，.
（2）由得，所以.
其中，，
故数列的前n项和.
36．(1)
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为．
由题意可得，解得，，
则．
（2）由（1）可知，则，
故
37．(1)；
(2)
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
则得，解得，
；
（2） ，
的前n项和
．
38．(1)，
(2)
【详解】（1）由于等比数列的通项公式：且，所以，
故，因为且，所以，所以，
因为数列是等差数列，公差为，
所以，故，所以，
所以，
因此等比数列通项公式为，等差数列的通项公式为.
（2）因为，根据题意得：，
由（1）得，.
故.
39．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，得，
当时，由得，，
两式相减得：，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且.
（2）由（1）知，
所以，
所以，
即.
40．(1)证明：因为，，
所以，
又，故，
则，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.
(2)
【详解】（1）略
（2）由（1）知，的前项和
.
41．(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以.
又，所以，解得或（舍去），
所以.
因此的通项公式为.
（2）由（1）知 .
所以
，
所以.
42．D
【详解】当时，，①
当时，，②
将①代入②得，
所以，
又，则，即，
所以，
所以，
所以．
43．(1)，；
(2)
【详解】（1）已知数列的前项和，
当时，，解得，
当时，，即，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，
所以；
（2）由（1）可得，
所以数列奇数项是以为首项，为公差的等差数列，
偶数项是以为首项，为公比的等比数列，
数列的前项，包含个奇数项，和个偶数项，
所以.
44．(1)
(2)
【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则，
由已知，故，
两式相除得，结合，
解得，
又，故 ，代入可得，
所以，又，得，所以；
（2）由（1）得，
为偶数时，，
为奇数时，，
综上，．
45．(1)，，
(2)数列为单调递增数列，理由见解析
(3)
【详解】（1）因为，，
所以，，
，，
.
又，
所以，，.
（2）因为，
且.
所以是以32为首项，4为公比的等比数列.
因为，公比，
所以数列为单调递增数列.
（3）由（2）可知，，所以，
所以.
由，
所.
所以.
46．(1)，
(2)
【详解】（1）因为①，时，②．
由①-②得，
所以，则，
因为，所以，
因为，．则为首项1，公差1的等差数列，
所以，
因为，，则公比，，
所以．
（2）当为偶数时，
，
当为奇数时，是偶数，
则，
把偶数公式中替换成：
则，
所以
47．(1)；
(2)
【详解】（1）等比数列的公比设为，前项和为，
数列是公差为的等差数列，设
即有，即，
由，，，得，
又，所以，
即为，即，代入解得，
可得；．
（2）即为
．
48．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以当时，，
当时，，
显然满足式，所以；
（2）由（1）可得时，时，
所以当时，所以，
当时，所以
，
所以.
49．(1)证明见解析，；
(2)
【详解】（1）因，则，
即，
又因数列为正项数列，则，则，
又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以，则，
（2）由（1）可得，，
又满足上式，所以，
则，，
所以当时，，当时，，
记数列的前项和为，则，
从而当时，；
当时，，
所以.
50．(1)；
(2).
【详解】（1）因，则为首项为23，公差为的等差数列，
则.
又，则，
时，,
又满足，则；
（2）由（1），当时，令，可得；
.
则当时，；
当时，.
综上：.
51．(1)，；
(2)
【详解】（1）设公差为，公比为，，
故，，
，故，联立，解得或（舍去），
故，；
（2）令，设数列的前项和为，
则，
由，解得，
当时，，
则，
当时，，则
，
综上：.
52．(1)
(2)
【详解】（1）由数列 中， ，且 ，
所以 (符合首项)，
所以 ；
（2）其中 ，
设 ， 的前 项和为 ，其中 ，
故 ，
当 时， ，故 ；
当 时， ，
故
综上所述，
53．(1)，
(2)（）
【详解】（1）因为，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
所以，
.
（2）由（1）知，公差，故数列是递增数列.
令，解得.
所以当时，；当时，；当时，.
当时，，
当时，
，
因为，
所以 .
综上所述，数列的前n项和为：
（）.
54．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
当时，则；
当时，则，
可得；
综上所述：.
（2）因为，
当时，；
当时，令，解得；令，解得；
综上所述：当时，；当时，.
当时，则；
当时，则
；
综上所述：.
55．(1)
(2)130
【详解】（1）设的公差为，
（2）由（1）可知，令，则，
当时，，当时，，
.
56．(1)，
(2)
【详解】（1）设的公差为，则，
解得，所以的通项公式为，
；
（2）由（1）得，令，解得，
当时，数列的前项均为正数，
则；
当时，数列的前7项为正数，从第8项至第项为负数，
则，
，
综上，.
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