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广东惠州市2025-2026学年高二下学期期末数学试题
一、单选题
1．已知向量，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知复数满足：，则（ ）
A． B． C． D．
4．记为等差数列的前项和，已知，，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．某中学高二年级学生有1200人，某次数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩高于100分的人数约为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
6．函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．设抛物线：，不经过焦点的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，且与的面积之比是，则为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．已知三棱锥的所有顶点都在半径为的球面上，且它的三组对棱分别相等，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点中心对称
C．若，则为奇函数
D．若，则
10．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，其渐近线方程为，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点（点在第一象限），则下列说法正确的是（ ）
A．离心率
B．若的斜率为1时，
C．为定值
D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时，
11．设直线与函数的图象有三个不同的交点，其坐标分别为，，，且，则（ ）
A．的图象的对称中心为
B．
C．
D．
三、填空题
12．的展开式中的系数为____________．（用数字作答）．
13．如图为函数的图象，为最高点，，为最低点．若，则________．
14．电影《给阿嬷的情书》中那封途中浸水损毁的手写信，令无数观众动容．影片热映后掀起怀旧风潮，某网络平台文创商店持续向影迷推送复古书信礼盒．已知某影迷第一次收到推送时，下单购买的概率为，从第二次推送开始，若上一次未购买，则本次购买的概率为；若上一次已购买，则本次复购的概率为，则第二次不购买的概率为________，记第次推送时该影迷不购买礼盒的概率为，则为________．
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)若，，求；
(2)若，，求的面积．
16．在人工智能赋能新媒体产业的大环境下，短视频行业迅速扩容．为调研某市短视频创作者单日内容创作耗时情况，从全市随机抽取了500名短视频创作者开展调查，得到这500名创作者的日平均创作时长（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求图中的值，并估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数；
(2)为进一步了解这500名创作者文案策划与素材拍摄的时间分配情况，从日平均创作时长在，，三组内的创作者中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均创作时长在内的创作者人数为，求的分布列和数学期望．
17．如图，在三棱锥中，，底面．

(1)求证：；
(2)若，且点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正切值的取值范围．
18．已知点在椭圆：上，，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设过点的两直线和分别与椭圆相交于，和，两点，且，点，分别是弦，的中点，若直线和直线均不与轴重合，求证：直线过定点．
19．已知函数．
(1)若，求函数在处的切线方程；
(2)若时，恒成立，求实数的最大值；
(3)设数列满足，为数列的前项积，求证：．
参考答案
1．C
【详解】由题设向量，，且，
则.
2．D
【详解】由可得，解得；
则集合
故．
3．B
【详解】，
.
4．A
【详解】设等差数列的公差为，则，
解得，故.
5．B
【详解】由正态分布的对称性知，且，
所以，
所以本次考试数学成绩高于100分的人数约为人.
6．D
【详解】令，即，因为恒成立，所以或，
即函数的图象与轴有两个交点，分别为和，
A选项：图象在时恒小于0，无正零点，排除；A错误
C选项：图象在处有一个零点，与题意不符，排除；C错误
对于B、D选项，当时，且，所以，B、D均符合。
考虑时，，故D选项符合题意。
故选：D.
7．C
【详解】由题知点在抛物线上，故，即.
所以抛物线的方程为，焦点为，准线方程为，
如图，，，
所以，
又由点知，故，
所以.
8．A
【详解】将其补形为长方体，设其长宽高分别为，
因为其外接球半径为，所以，则，
故，得，当且仅当时等号成立，
则，
故三棱锥体积的最大值为
9．AB
【详解】A，，正确；
B，令，取可得，正确；
C，，，错误；
D，，所以，错误.
10．ABC
【详解】对于A选项，因为双曲线：的渐近线方程为，
即，所以，此时双曲线的方程为，则，，
所以，所以，所以，故A正确；
对于B选项，因为，所以，
又过的直线的斜率为1，所以直线的方程为，
因为直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，
与双曲线联立，化简得，
设，，则，，
所以，故B正确；
对于C选项，根据双曲线定义，，，
所以，，
所以，故C正确；
对于D选项，设，，线段的中点，则，，所以，，，
又，在双曲线上，所以，，
所以，，
所以，故D错误.
综上所述，选项ABC正确.
11．ACD
【详解】因为，
所以的图象的对称中心为，故A正确；
因为是方程的三个根，所以，
即，
则，
则，
得，故B错误；
当或时，则在，上单调递增；
当时，在上单调递减；
则，即，则，故C正确；
因为，，所以，
因为，
则，
则，故D正确.
12．40
【详解】展开式的通项，令，得.
所以的系数为.
故答案为：40
13．
【详解】设函数最小正周期为，由图象可知，为相邻最低点，故，
最高点与最低点的横坐标差为，纵坐标差为，
，
已知，则，解得，
故．
14．
【详解】 设事件为“第一次推送时购买”，为“第一次推送时不购买”，为“第二次推送时不购买”.
由题意得，故；条件概率，.
根据全概率公式：
求的通项： 当时，第次不购买包含两种互斥情形：
① 第次购买，第次不购买，对应概率为；
② 第次不购买，第次不购买，对应概率为.
因此递推关系为： ,
构造等比数列，令，展开对比递推式得，解得,
因此是公比为的等比数列，首项，故,
等比数列通项为，整理得：
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题知，，则，
即，因为，
所以，所以，，
由正弦定理得，，即，
所以，又，
所以.
（2）由（1）知，，，，
又，，
所以，即，
由正弦定理得，，又，
即，所以，
又，所以，
所以，
所以的面积为.
16．(1)，第百分位数为；
(2)
的分布列为
0 1 2 3
．
【详解】（1）由概率和为1得：，
解得：；
前5组的频率之和为，
前6组的频率之和为，所以第75百分位数位于第6组内．
设第75百分位数为x，则， 解得．
所以估计这500名创作者日平均创作时长的第75百分位数为11.5．
（2）这500名创作者中日平均创作时长在，，三组内的人数分别为：
人，人，人，
由分层抽样性质知，从日平均创作时长在中抽取5人，从日平均创作时长在中抽取4人，从日平均创作时长在中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
所以.
17．(1)底面，且底面，
故，
又，
故，
平面，且，
则平面，
又平面，
故．
(2)
【详解】（1）略
（2）以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

则，
点在上，设，
故，则，
故，
设平面的法向量为，则
，令，则，
设直线与平面所成角为，则
，
，
令，
，故，
故，当时取最小值，
当时取最大值．
18．(1)
(2)证明：设过点的直线，，，
联立方程组得，得，
， ，
，则，
，所以，
同理可得，即，
当时，，
直线的方程为，
整理可得，
所以直线恒过定点，
当时，直线的方程为，也过点，
所以直线恒过定点.
【详解】（1）点在椭圆：上，所以，
椭圆的离心率为，，，，
得，，，，
椭圆的标准方程为.
（2）略
19．(1)
(2)
(3)证明：，则，
为数列的前项积，所以，
当时，在上恒成立，
即，
令，则，
所以，
，
所以，
所以得证.
【详解】（1），定义域为，
，
，，
函数在处的切线方程为，即.
（2），，
令，，
当时，，在区间上单调递减，
，
当时， ，即，
所以在区间上单调递增，
则，符合；
当时， 存在，使得，
当时，，即，
所以在区间上单调递减，
则，不符.
所以实数的最大值为.
（3）略.

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