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训练28：线段垂直平分线的尺规作图（基础专项）
建议用时：15分钟 实际用时：______
基础题（共8题）【基】
作线段AB的垂直平分线时，分别以点A和点B为圆心，以______的长为半径作弧。
在作线段AB的垂直平分线时，两弧的交点有______个。
如图，已知线段AB，请用尺规作线段AB的垂直平分线。
如图，已知直线l和l上的一点P，如何用尺规作l的垂线，使它经过点P？
任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，三条垂直平分线交于______点。
画一个△ABC，请用尺规作出它的重心。重心的作图依据是______。
如图，已知线段AB，用尺规作出AB的垂直平分线，并说明作法的道理。
在作垂直平分线时，为什么要“以大于1/2AB的长为半径”？
提升题（共4题）【提】
如图，一张纸上有A、B、C、D四个点，请用尺规找出一点M，使得MA=MB，MC=MD。
如图，已知线段AB，请用尺规把线段AB分成四等份。
如图，已知直线l和l外一点P，请用尺规作直线l的垂线，使它经过点P。
如图，已知线段a，请用尺规作一条线段，使它等于2a。
拓展题（共2题）【拓】
如图，已知线段a和b（a>b），请用尺规作一条线段，使它等于a-b。
任意画一个三角形，用尺规作三角形三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？鲁教版（五四制）七年级上册 数学计算专项训练 参考答案及详细解析
训练1：三角形内角和基础计算
一、基础题
∠C=180°-50°-60°=70°。
∠B=180°-80°-30°=70°。
∠A=180°-45°-75°=60°。
∠C=180°-35°-55°=90°。
∠C=180°-90°-40°=50°。
设∠B=x，则∠A=2x。由三角形内角和：2x+x+90=180，3x=90，x=30。∠A=60°，∠B=30°。
设∠A=∠B=x，则x+x+80=180，2x=100，x=50。∠A=50°。
设各内角为x，则3x=180，x=60°。各内角均为60°。
★易错：三角形内角和为180°，不要与四边形内角和360°混淆。
二、提升题
∠A+3∠A+5∠A=180°，9∠A=180°，∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°。
∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°。
∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=2∠C，则3∠C=180°，∠C=60°。
∠A+∠B+∠C=180°，70°+∠C+∠C=180°，2∠C=110°，∠C=55°。
三、拓展题
设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，3x+4x+5x=180，12x=180，x=15。∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°。
设∠B=x，则∠A=x+20，∠C=x-10。x+20+x+x-10=180，3x+10=180，3x=170，x≈56.7°，∠A≈76.7°，∠C≈46.7°。
★易错：设未知数时要找准等量关系。
训练2：三角形内角和综合
一、基础题
∠C=180°-60°-45°=75°。
∠ABC=180°-50°-72°=58°，∠ABD=1/2×58°=29°。
★易错：角平分线平分角，不要忘记除以2。
∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠AOB=∠COD（对顶角相等），所以∠A+∠B=∠C+∠D。∠C+∠D=35°+40°=75°。
∠1+∠2+∠P=180°，2∠1+∠P=180°，∠P=180°-2∠1。
∠1+∠2+∠P=180°，2∠1+∠P=180°，∠P=180°-2∠1=180°-80°=100°。
∠ACD=90°-∠A=90°-45°=45°。
∠C=180°-30°-70°=80°，∠ACD=40°，∠ADC=180°-30°-40°=110°。
★易错：∠ADC在△ADC中，不要与∠BDC混淆。
∠B=∠C=(180°-40°)÷2=70°，∠BAD=90°-∠B=20°。
二、提升题
∠A+∠B=∠C+∠D（对顶角+内角和），35°+50°=∠C+∠D。又∠A=∠C=35°，所以∠D=50°。
∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∠A=∠B，∠C=∠D，∠AOB=∠COD，所以∠A+∠A=∠C+∠C，∠A=∠C。同位角相等，AB∥CD。
∠A:∠B:∠C=3:1:1，设∠A=3x，∠B=x，∠C=x，5x=180，x=36，∠A=108°，∠B=∠C=36°。AD、AE将∠BAC三等分，∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°。∠ADE=180°-36°-36°=108°。
★易错：三等分后每个角为36°，∠ADE是△ADE的内角。
∠BAC=80°，∠BAD=40°，∠ADB=180°-40°-50°=90°。
三、拓展题
∠BOC=90°+1/2∠A=90°+30°=120°。
∠BPC=90°+1/2∠A=90°+30°=120°。
★易错：角平分线交点的角度公式：∠BPC=90°+1/2∠A。
训练3：三角形按角分类
一、基础题
第三个角=180°-30°-60°=90°，直角三角形。
第三个角=180°-40°-70°=70°，锐角三角形（三个角均小于90°）。
第三个角=180°-50°-20°=110°，钝角三角形。
锐角三角形。解析：每个角=60°。
直角三角形。解析：设∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°。
钝角三角形。解析：两个内角都小于40°，则第三个角大于100°。
∠B=90°-35°=55°。
不可以。解析：如果有两个直角，第三个角为0°，不能构成三角形。
二、提升题
设较小锐角为x，较大锐角为2x，x+2x=90°，3x=90°，x=30°，另一个为60°。
设每个锐角为x，x+x=90°，2x=90°，x=45°。
∠C=180°-36°-54°=90°，直角三角形。
∠C=180°-120°-30°=30°，钝角三角形（有一个角为120°）。
三、拓展题
设三个角为x，2x，3x，x+2x+3x=180，6x=180，x=30°，三个角为30°，60°，90°，直角三角形。
★易错：比例要设未知数，不要直接用比例数相加。
∠A=2∠B=3∠C，设∠A=6x，∠B=3x，∠C=2x，6x+3x+2x=180，11x=180，x≈16.36°，∠A≈98.18°，钝角三角形。
训练4：直角三角形两锐角互余
一、基础题
∠B=90°-45°=45°。
∠B=90°-60°=30°。
∠B=90°-25°=65°。
∠B=90°-72°=18°。
设∠B=x，∠A=2x，x+2x=90°，3x=90°，x=30°，∠A=60°，∠B=30°。
设∠B=x，∠A=x+20，x+x+20=90，2x=70，x=35°，∠A=55°，∠B=35°。
∠1+∠A=90°，∠A=90°-35°=55°。
∠2+∠B=90°，∠B=90°-55°=35°。
★易错：在Rt△中，两个锐角互余，不要忘记90°的角是直角。
二、提升题
∠ADB=90°，∠1+∠2=90°。又∠1=∠B，所以∠BAC=∠1+∠2=∠B+∠2=90°，△ABC是直角三角形。
∠1=∠A，∠2+∠A=90°。解析：∠1+∠ACD=90°，∠A+∠ACD=90°，所以∠1=∠A；∠2+∠A=90°。
是直角三角形。解析：设两个角互余为∠A+∠B=90°，则∠C=180°-90°=90°。
设∠B=x，∠A=3x，x+3x=90，4x=90，x=22.5°，∠A=67.5°，∠B=22.5°。
三、拓展题
∠B=90°-α。
∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B+∠C，则2∠A=180°，∠A=90°，直角三角形。
训练5：三角形按边分类与三边关系
一、基础题
第三边为5cm或8cm。解析：等腰三角形两边相等，第三边可能是5cm或8cm，均满足三角形三边关系。
★易错：要验证两种情况是否都满足三边关系。
第三边x满足0（1）能（3+4>5）；（2）不能（7+8=15）；（3）能（12+13>20）；（4）不能（5+5<11）。
★易错：判断是否能摆成三角形，只要验证两短边之和大于第三边即可。
第三边x满足22+5 8>7不满足），2不可以（2<2+5 2<7但2+3>5 2+3=5不满足）。解析：3+5>x，3+x>5，5+x>3，得25. 4-2第三边为9cm。解析：若4cm为腰，4+4=8<9，不能构成三角形，所以腰为9cm，第三边为9cm。
★易错：等腰三角形注意分类讨论腰和底。
腰长=(20-8)÷2=6cm。
底边长=18-7×2=4cm。
二、提升题
第三边x为奇数，9-3AB>3cm。解析：AB+AB>6，2AB>6，AB>3。
11. 4-2x+(x+1)>x+2，2x+1>x+2，x>1。又x+(x+2)>x+1，x+(x+1)>x+2均成立。x为正整数，x最小为2。
三、拓展题
若8cm为腰，底边=30-16=14cm，8+8>14，成立；若8cm为底边，腰=(30-8)÷2=11cm，8+11>11，成立。两种情况都成立。
★易错：等腰三角形要分类讨论腰和底边，并验证三边关系。
由三边关系：4-3训练6：三角形的中线
一、基础题
CE=5cm，BC=10cm。解析：中线平分BC，BE=CE=1/2BC。
BD=CD=6cm。
BD=4cm，CD=4cm。
CE=3.5cm，BC=7cm。
重心。
S△ACD=12cm 。解析：中线将三角形面积平分。
BD=CD，△ABD周长=AB+BD+AD=7+BD+AD=15，BD+AD=8。AC+CD+AD=5+BD+AD=5+8=13，AD=8-BD。
★易错：利用周长关系建立方程。
BD=4cm。解析：BC=26-8-10=8，BD=1/2BC=4。
二、提升题
DE=3cm。解析：D是BC中点，BC=12，BD=DC=6，E是BD中点，DE=1/2BD=3。
S△AOB=8cm 。解析：两条中线交于重心，重心将中线分为2:1，△AOB是△ABC面积的1/3 重心将三角形分成6个等面积小三角形，△AOB占2个小三角形，面积为24×2/6=8cm 。
★易错：重心将三角形分成六个面积相等的小三角形。
∠BAD=40°。解析：AB=AC，AD是中线也是高和角平分线，∠BAD=1/2∠A=1/2(180°-2×50°)=40°。
D、E分别是BC、AC中点，DE∥AB，DE=1/2AB=3cm。
三、拓展题
△DEF的周长=1/2△ABC的周长=15cm。解析：D、E、F分别是各边中点，DE∥AC且DE=1/2AC，EF∥AB且EF=1/2AB，FD∥BC且FD=1/2BC。
重心将中线分成2:1（较长段:较短段=2:1）。
训练7：三角形的角平分线
一、基础题
∠BAD=∠DAC=30°。
∠BAC=2×35°=70°。
∠ABC=180°-50°-72°=58°，∠ABD=29°。
∠C=75°，∠ADB=180°-30°-45°=105°。解析：∠BAD=30°，∠ADB=180°-30°-45°=105°。
∠ACB=180°-62°-74°=44°，∠BCD=22°，DE∥BC，∠EDC=∠BCD=22°。
★易错：平行线得到内错角相等。
∠ACB=60°，∠ACD=30°。
∠C=70°，∠CAD=35°，∠ADB=180°-70°-35°=75°。
∠ACB=60°，∠ACD=30°。
二、提升题
∠C=72°，∠ABC=72°，∠ABD=36°，∠BDC=180°-36°-72°=72°。
★易错：∠BDC在△BDC中，∠DBC=36°，∠C=72°。
∠BPC=90°+1/2∠A=90°+1/2×(180°-80°-60°)=90°+20°=110°。
∠BAD=30°，∠BAC=60°。∠B=2∠C，∠B+∠C=120°，2∠C+∠C=120°，∠C=40°。
∠ACB=70°，∠ACD=35°，DE∥BC，∠CDE=∠BCD=35°。
三、拓展题
∠BPC=90°+1/2α。
∠P=1/2α。
★易错：外角平分线交点的角度公式为∠P=90°-1/2∠A，或∠P=1/2∠A（取决于具体图形）。
训练8：三角形的高
一、基础题
AF、BE、CD都是三角形的高。
AC。解析：AB边上的高是从C向AB作垂线，即AC。
内。解析：锐角三角形三条高都在三角形内部。
直角边。解析：两条直角边上的高分别与另外两条直角边重合。
两条。解析：钝角三角形有两条高在三角形的外部。
垂心。
AB=5（勾股定理），CD=AC×BC÷AB=3×4÷5=12/5=2.4。
★易错：用面积法求高，S=1/2AC×BC=1/2AB×CD。
BD=3，AD=√(5 -3 )=4。
二、提升题
（1）AF是△ABC、△ABD、△ABF、△ADF、△ADC、△AFC的高；
（2）S△ABD=S△ACD。理由：BD=DC，等高AF，S△ABD=1/2BD·AF，S△ACD=1/2DC·AF。
∠A=30°，AB=8，BC=4。CD=AC×BC÷AB，AC=√(8 -4 )=4√3，CD=4√3×4÷8=2√3。
★易错：含30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半。
BD=5，AD=√(13 -5 )=12。
AB=√(5 +12 )=13，CD=5×12÷13=60/13。
三、拓展题
连接AD，S△ABC=S△ABD+S△ACD=1/2AB·DE+1/2AC·DF=1/2AC(DE+DF)，又S△ABC=1/2AC·BG，所以DE+DF=BG。
S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD，所以AC·BC=AB·CD。需结合勾股定理进一步证明。
训练9：三角形三条重要线段的综合
一、基础题
内心、重心、垂心。
AD是中线，BD=DC，又∠BAD=∠DAC，AD是角平分线。在△ABC中，等腰三角形三线合一，所以△ABC是等腰三角形，AB=AC。
AD是高、角平分线，也是中线（三线合一）。
（1）正确；（2）正确；（3）正确。
∠BAC=180°-70°-40°=70°，∠BAE=35°，∠BAD=90°-∠B=20°，∠DAE=35°-20°=15°。
★易错：先求角平分线和高与边的夹角，再求差值。
∠BAC=60°，∠BAE=30°，∠BAD=90°-70°=20°，∠DAE=30°-20°=10°。
∠BAD=90°-∠B=25°。
∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB，CD=DE=3（角平分线上的点到角两边距离相等）。
二、提升题
BD=3，AB=√(4 +3 )=5。
AC=√(6 +8 )=10，BD=1/2AC=5（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）。
∠DAE=1/2(∠B-∠C)。解析：∠DAE=∠EAC-∠DAC=1/2∠A-∠C 具体推导：设∠C=x，∠B=2x，∠A=180°-3x，∠DAE=90°-∠B-1/2∠A 最终可得∠DAE=1/2(∠B-∠C)=1/2x。
连接AD，DE⊥AB，DF⊥AC。S△ABD=1/2AB·DE，S△ACD=1/2AC·DF。D是中点，S△ABD=S△ACD，AB=AC，所以DE=DF。
三、拓展题
∠C=80°，∠ACD=40°，∠ADC=180°-60°-40°=80°，DE∥BC，∠ADE=∠B=40°。
★易错：平行线得到同位角相等。
AB=AC，∠BAC=120°，∠B=∠C=30°，∠BAD=60°。
训练10：三角形内角和综合提升
一、基础题
∠B+∠C=140°，∠B=∠C=70°。
∠A=2∠B，∠C=60°，∠A+∠B=120°，2∠B+∠B=120°，∠B=40°，∠A=80°。
∠A=∠B+∠C，2∠A=180°，∠A=90°。
设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，6x=180，x=30°，∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°。
设∠B=x，∠C=x-10，80+x+x-10=180，2x=110，x=55°，∠B=55°，∠C=45°。
∠A+∠B=120°，∠B+∠C=150°，∠A+∠B+∠C=180°，∠A=30°，∠B=90°，∠C=60°。
设∠C=x，∠B=2x，50+2x+x=180，3x=130，x≈43.3°，∠B≈86.7°，∠C≈43.3°。
∠C=40°。
二、提升题
∠A:∠B:∠C=3:1:1，∠A=108°，∠B=∠C=36°。AD、AE三等分∠A，∠BAD=∠DAE=∠EAC=36°。∠ADE=180°-∠DAE-∠AED=180°-36°- ∠AED=180°-∠EAC-∠C=180°-36°-36°=108°，∠ADE=36°。
根据具体图形，∠ACB=∠A-∠B的差值。
∠BPC=90°+1/2∠A=90°+30°=120°。
∠C=80°，∠ACD=40°，∠ADC=180°-30°-40°=110°。
三、拓展题
∠BPC=90°+1/2α。
外角平分线交点，∠BPC=90°-1/2∠A=90°-40°=50°。
★易错：外角平分线与内角平分线交点公式不同。
训练11：三角形内角和与平行线综合
一、基础题
∠AEC=∠A+∠C=50°+40°=90°。
∠C+∠D=∠A+∠B=30°+45°=75°。
∠AEC=∠A+∠C=55°+65°=120°。
∠B=∠A=40°，∠C=∠D=60°。
∠AEC=∠A+∠C=70°+50°=120°。
∠D=∠B=60°。解析：∠A+∠B=∠C+∠D，∠A=∠C，所以∠D=∠B。
∠3=∠1+∠2=35°+45°=80°。
∠B=∠A=60°，∠D=∠C=30°。
二、提升题
AB∥CD。理由：∠A+∠B=∠C+∠D，∠A=∠B，∠C=∠D，∠A=∠C，同位角相等。
∠AEC=50°+30°=80°。
设∠B=x，∠A=2x，∠D=3x，∠C=x，2x+x+3x+x=360，7x=360，x≈51.4°，∠A≈102.8°，∠B≈51.4°，∠C≈51.4°，∠D≈154.3°。
∠BED=40°+60°=100°。
三、拓展题
∠APC=30°+45°=75°。
∠BPD=25°+35°=60°。
训练12：三角形三边关系综合
一、基础题
底边长=24-7×2=10cm。
腰长=(30-8)÷2=11cm。
3. 7-54. 8-3选B。解析：2+3>4。
6. 4-3若腰为6cm，底为10cm，周长为22cm；若腰为10cm，底为6cm，周长为26cm。
设三边为a、b、7，a+b=8，a≤7，b≤7，a、b为正整数。可能为1、7、7；2、6、7；3、5、7；4、4、7。
二、提升题
由三边关系：a-1>2且a-1<6，即a>3且a<7，310. 2x+y=18，y=18-2x。由三边关系：2x>y，2x>18-2x，4x>18，x>4.5。又y>0，x<9。所以4.5在△ABD中，ABAD。
AB>4。解析：AB+AB>8，2AB>8，AB>4。
三、拓展题
在△ABD中，AB>AD=4，所以AB>4。又AB+AB>BC，BC=2BD，BD=√(AB -AD )，需进一步求解。
延长AD到E使DE=AD，连接BE。△ADC≌△EDB（SAS），BE=AC=3。在△ABE中，AE=8，AB=5，BE=3，AB+BE=8=AE，不能构成三角形？题目数据有误或需用中线长公式：AD =(2AB +2AC -BC )/4，16=(50+18-BC )/4，64=68-BC ，BC =4，BC=2。
训练13：全等图形的识别与性质
一、基础题
全等图形。
全等三角形。
对应顶点：A与D，B与E，C与F；对应边：AB与DE，BC与EF，AC与DF；对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。
相等，相等。
△AEC中，∠E=∠B=30°，∠ACE=∠ACB=85°，∠CAE=180°-30°-85°=65°。
★易错：全等三角形对应角相等，注意对应关系。
BD=AC=5，AD=BC=4。
∠F=∠C=180°-50°-70°=60°。
∠C=180°-80°-80°=20°。
二、提升题
DC=AB=7，BD=AC=5。
∠C=60°，∠A+∠B=120°，∠A=2∠B，3∠B=120°，∠B=40°，∠A=80°。△DEF各内角为80°，40°，60°。
DE=AB=6，∠DEC=∠ABC=90°。
∠C′=180°-50°-60°=70°。
三、拓展题
△ABC≌△ADE，∠EAD=∠BAC=40°。
△DEF的周长=△ABC的周长=30。
训练14：全等三角形的对应边与对应角
一、基础题
∠F=∠C=180°-40°-60°=80°。
∠C′=∠C=25°，B′C′=BC=6cm。
DE=AB=5cm，∠D=∠A=60°。
∠C=∠D=90°，△ABC≌△BAD，AD=BC=6。
BC=EF=8cm，∠F=∠C=60°。
EF=BC=12，∠D=∠A=80°。
∠D=∠A=40°。
∠ADE=∠ABC=80°。
二、提升题
△DEF的周长=6+8+10=24。
设∠B=x，∠A=3x，∠C=4x，8x=180，x=22.5°，∠A=67.5°，∠B=22.5°，∠C=90°。△A′B′C′各内角相同。
CD=AB=4，CE=BC=3。
∠DAE=∠BAC=45°。
三、拓展题
∠C=∠F=40°。
DE=AB=12，EF=BC=36-12-15=9，DF=AC=15。
训练15：边边边（SSS）判定
一、基础题
全等。理由：AB=AC，AD=AD，BD=CD（D是中点），SSS。
★易错：中线得到BD=CD，不是AD=BD。
全等。理由：三边对应相等（SSS）。
全等。理由：AB=AC，BD=CD，AD=AD，SSS。
全等。理由：BD=FC，BD+DC=FC+DC，BC=FD。AB=EF，AC=ED，BC=FD，SSS。
∠BAC=∠DAC。理由：△ABD≌△ACD（SSS），对应角相等。
∠A=∠C。理由：△ABD≌△CDB（SSS），对应角相等。
点A在BD的垂直平分线上。理由：AB=AD，A到BD两端距离相等。
∠BAD=∠CAE。理由：△ABD≌△ACE（SSS），对应角相等。
二、提升题
全等。理由：AB=AC，BD=CD，AD=AD，SSS。
全等。理由：BE=CF，BE+EC=CF+EC，BC=EF。AB=DE，AC=DF，BC=EF，SSS。
AC垂直平分BD。理由：AB=AD，A在BD垂直平分线上；BC=CD，C在BD垂直平分线上；AC是BD的垂直平分线。
按尺规作图步骤：作线段BC=a，分别以B、C为圆心以c、b为半径画弧交于A，连接AB、AC。
三、拓展题
∠D=∠A=40°。
∠B=60°。解析：AB=AC，∠B=∠C，∠B+∠C=120°，∠B=60°。
训练16：SSS判定的应用与尺规作图
一、基础题
合理。理由：AB=AD，BC=DC，AC=AC，△ABC≌△ADC（SSS），∠BAC=∠DAC。
按尺规作图步骤完成。
AE是∠BAC的平分线。理由：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。
∠B=∠E。理由：BE=CF，BC=EF，AB=DE，AC=DF，SSS，对应角相等。
∠A+∠D=180°。理由：△ABD≌△CDB（SSS），∠A=∠C，∠ADB=∠CBD，AD∥BC，∠A+∠D=180°。
∠BAD=∠CAD。理由：△ABD≌△ACD（SSS）。
全等。理由：AF=DC，AF+FC=DC+FC，AC=DF。AB=DE，BC=EF，AC=DF，SSS。
三个。
二、提升题
证明：△ABD≌△ACE（SSS AB=AC，AD=AE，BD=CE 题目给BD=CE，直接SSS），∠B=∠C。
∠A=∠D。理由：△ABC≌△DEF（SSS）。
AC垂直平分BD。理由：AB=AD，BC=CD，A和C都在BD的垂直平分线上，AC是BD的垂直平分线。
保证D、E两点到O的距离相等，且CD=CE，使得△OCD≌△OCE（SSS），∠COD=∠COE。
三、拓展题
证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。又AE=AE，AB=AC，∠BAE=∠CAE，△ABE≌△ACE（SAS），BE=CE。
证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。又AE=AE，AB=AC，∠BAE=∠CAE，△ABE≌△ACE（SAS），∠BED=∠CED。
训练17：角边角（ASA）判定
一、基础题
全等。理由：O是AB中点，AO=BO，∠A=∠B，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），ASA。
全等。理由：∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E，ASA。
全等。理由：斜边和一个锐角相等，则另一个锐角也相等，加上斜边相等，可证全等（AAS或ASA）。
全等。理由：AB∥CD，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。
全等。理由：∠A=∠D，AB=DF，∠B=∠F，ASA。
全等。理由：∠A=∠D，OA=OD，∠AOC=∠DOB（对顶角相等），ASA。
全等。理由：AB∥CD，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。
EF=BC=4。
二、提升题
AC=BD。理由：△AOC≌△BOD（ASA），对应边相等。
AC=DF。理由：△ABC≌△DEF（ASA），对应边相等。
全等。理由：AE=CE，∠A=∠C，∠AEB=∠CED（对顶角相等），ASA。
按尺规作图步骤完成（先作∠A=∠α，截AB=a，再作∠B=2∠α，交于C）。
三、拓展题
全等。理由：∠BAD=∠CAE，∠B=∠C，AB=AC，ASA。
∠B=∠D=35° 需要更多条件。
训练18：角角边（AAS）判定
一、基础题
全等。理由：D是BE中点，BD=DE，∠C=∠F，∠B=∠E，AAS。
全等。理由：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，AAS。
AC=DF。理由：△ABC≌△DEF（AAS），对应边相等。
全等。理由：∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AAS。
∠C=∠F。理由：三角形内角和，∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E。
AB∥CD。理由：∠A=∠B，∠C=∠D，∠A+∠B=∠C+∠D，2∠A=2∠C，∠A=∠C，同位角相等。
AE=CE。理由：△ABE≌△CDE（AAS），对应边相等。
全等。理由：∠A=∠D=30°，∠B=∠E=70°，BC=EF，AAS。
二、提升题
全等。理由：∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，AAS。
∠E=90°。理由：AB∥CD，∠BAC+∠ACD=180°，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，∠EAC+∠ACE=90°，∠E=90°。
BC=EF。理由：△ABC≌△DEF（AAS），对应边相等。
△ABC≌△DEF（AAS），△ABD≌△FED 具体根据图形判断。
三、拓展题
∠C=∠F。理由：三角形内角和。
证明：∠ABC=∠ACB，∠ABD=1/2∠ABC，∠ACE=1/2∠ACB，∠ABD=∠ACE。又∠A=∠A，AB=AC，△ABD≌△ACE（ASA），BD=CE。
训练19：边角边（SAS）判定
一、基础题
全等。理由：OA=OB，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），OD=OC，SAS。
全等。理由：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，SAS。
全等。理由：AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，SAS。
全等。理由：OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，SAS。
∠B=∠E。理由：△ABC≌△DEF（SAS），对应角相等。
BD=CD。理由：△ABD≌△ACD（SAS），对应边相等。
AC=BD。理由：△AOC≌△BOD（SAS），对应边相等。
BC=DE。理由：△ABC≌△ADE（SAS），对应边相等。
二、提升题
∠B=∠D。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。
∠B=∠D。理由：∠BAC=∠DAE，∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∠BAD=∠CAE。AB=AD，AC=AE，△ABD≌△ACE（SAS），∠B=∠D。
AC=BD。理由：△AOC≌△BOD（SAS）。
BD=CE。理由：△ABD≌△ACE（SAS）。
三、拓展题
证明：∠BAC=60°，∠DAE=60°，∠BAC=∠DAE，∠BAD=∠CAE。AB=AC，AD=AE，△ABD≌△ACE（SAS），BD=CE。
∠D=∠B=70°。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。
训练20：SAS判定的应用
一、基础题
△ACE≌△ADE（SAS），△ACB≌△ADB（SAS）。
∠B=∠D。理由：AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，△ABC≌△ADE（SAS）。
BC=DE。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。
全等。理由：AC=AD，∠CAB=∠DAB，AB=AB，SAS。
全等，BC=EF。理由：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF，SAS。
AD是角平分线也是中线和高（三线合一）。
全等。理由：OA=OB，∠AOC=∠BOD，OC=OD，SAS。
∠B=∠D。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。
二、提升题
全等。理由：∠BAE=∠DAC，∠BAC=∠DAE（公共角加减），AB=AD，AC=AE，SAS。
BD=CE。理由：△ABD≌△ACE（SAS）。
∠C=∠E。理由：△ABC≌△ADE（SAS）。
测量未被污染的两条边和它们的夹角，用SAS画全等三角形。
三、拓展题
∠D=∠B=65°。理由：△ABD≌△ACE（SAS）。
证明：AB=AC，AB=DE，AC=DE。∠BAC=∠BDE，∠ABC=∠DBE（公共角），△ABC≌△DEB（ASA或AAS）。
训练21：全等三角形判定综合
一、基础题
BC=DC或∠BAC=∠DAC或∠BCA=∠DCA。
OB=OC或∠B=∠C或AB=DC。
AC=BD，∠C=∠D。理由：△ABC≌△BAD（ASA）。
∠A=∠D或∠B=∠E或BC=EF。
OA=OC或AB=CD或∠A=∠C。
BD=CE或∠BAD=∠CAE或AD=AE。
AB=DE或AC=DF或BC=EF。
全等。理由：AB=AC，∠B=∠C，∠A=∠A，ASA。
二、提升题
（1）全等。理由：OA=OB，∠AOD=∠BOC（对顶角相等），OD=OC，SAS。
（2）全等。理由：△AOD≌△BOC，AD=BC。又OA=OB，OC=OD，AC=BD，△ADC≌△BCD（SSS）。
全等。理由：AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，SAS。
∠B=∠C。理由：△ABD≌△ACE（SSS AB=AC，BD=CE，AD=AE 需先证AD=AE）。或△BCD≌△CBE（SSS ）。
证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠BAD=∠CAD。又AE=AE，AB=AC，∠BAE=∠CAE，△ABE≌△ACE（SAS），BE=CE。
三、拓展题
证明：△ABD≌△ACE（SSS），∠BAD=∠CAE。
证明：△BDE≌△CDF（SAS） BD=DC，BE=CF，∠B=∠C，SAS，DE=DF。
训练22：利用全等三角形测距离（SAS）
一、基础题
在△ABC和△DEC中，AC=DC，∠ACB=∠DCE（对顶角相等），BC=EC，△ABC≌△DEC（SAS），AB=DE。
BN=CN，AN=AN，∠ANB=∠ANC=90°，△ABN≌△ACN（SAS），AB=AC。
MN是△ABC的中位线，MN∥AB，MN=1/2AB，AB=40m。
钢条中点O，AO=BO，CO=DO，∠AOC=∠BOD（对顶角相等），△AOC≌△BOD（SAS），AC=BD。
∠ABC=∠CDE=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD（对顶角相等），△ABC≌△EDC（ASA），AB=DE。
∠ABC=∠BCD=90°，BC=AB，∠ACB=∠DCB 需具体分析。
△AOC≌△BOD（SAS），BD=AC=5cm。
构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等。
二、提升题
AB=DE=30m。
AB=DE=40步。
△ABC≌△EDC（ASA），AB=DE。
利用全等三角形：两次观察中，视线方向相同，角度相等，步测距离相等，构成全等三角形。
三、拓展题
AB=DE=25m。
方法1：在池塘外选点C，使AC=DC，BC=EC，用SAS构造全等三角形。方法2：选点C使AB∥DE，用ASA。
训练23：利用全等三角形测距离（综合）
一、基础题
方案：在池塘外选一点C，使AC=DC，BC=EC，连接DE并测量。理由：△ABC≌△DEC（SAS）。
全等。理由：OA=OC，∠AOD=∠COB（对顶角相等），OD=OB，SAS。
全等。理由：AB∥CD，∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。
AC=BD。理由：△AOD≌△BOC（SAS），AD=BC。又AB=BA，∠DAB=∠CBA 需要更多条件。
全等。理由：∠A=∠C，∠B=∠D，AB=CD，ASA。
AB=CD。理由：△AOB≌△COD（SAS）。
BC=DC。理由：△ABC≌△ADC（SAS）。
∠B=∠E。理由：△ABC≌△DEF（SAS）。
二、提升题
AB=DE=16m。
方案：在池塘外选点C，连接AC并延长到D使CD=AC，连接BC并延长到E使CE=BC，连接DE测量。
∠BAD=∠CAD。理由：AB=AC，BD=CD，AD=AD，△ABD≌△ACD（SSS）。
证明：△ABD≌△ACD（SSS），∠ADB=∠ADC，又∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=∠ADC=90°，AD⊥BC。
三、拓展题
证明：△ABD≌△CDB（SSS），∠A=∠C。
证明：△ABC≌△DEF（SAS），BC=EF，BC-CE=EF-CE，BE=CF。
训练24：轴对称图形与对称轴
一、基础题
轴对称图形。
A′。
A′B′，B′。
可以看成轴对称图形：木、中、人。不能：草、水、国。
A。
6. 1。
无数。
8. 2（线段有两条对称轴：垂直平分线和线段本身所在直线）。
二、提升题
∠CFB′=40°。解析：折叠前后对应角相等，∠EFB=∠EFB′=70°，∠CFB′=180°-70°-70°=40°。
按对称轴画出对应点，连接成图形。
C。解析：圆有无数条对称轴。
AA′被直线l垂直平分。
三、拓展题
AB′=AB=4cm，B′C=BC=6cm，AC=√(4 +6 )=2√13cm，周长=4+6+2√13=10+2√13cm。
垂直平分。
训练25：轴对称的性质
一、基础题
垂直平分。
相等，相等。
DE=AB=5cm，EF=BC=6cm，DF=AC=7cm。
∠F=∠C=60°。
5. 4cm。解析：对称轴垂直平分AA′。
AB=DE，∠C=∠F。
垂直平分。
∠ADE=∠ABC=70°。
二、提升题
B′C′=BC=18-5-7=6。
∠A+∠B+∠C=180°，2∠B+∠B+4∠B=180°，7∠B=180°，∠B≈25.7°，∠A≈51.4°，∠C≈102.9°。
A′B′=AB=6cm。
全等。理由：对应角相等，对应边相等，且是轴对称图形。
三、拓展题
△A′B′C′的周长=5+7+8=20。
∠D=50°，∠E=60°，∠F=70°。
训练26：轴对称性质的应用
一、基础题
∠CFB′=40°。解析：∠EFB=∠EFB′=70°，∠CFB′=180°-70°-70°=40°。
两个“14”关于折痕成轴对称。
∠F=∠C=75°。
4. 5cm。
5. 21。
垂直平分。
是轴对称图形，有1条或2条或4条对称轴，取决于剪法。
8. 70°。
二、提升题
∠DEF=30°。解析：∠EFC=60°，∠EFD=∠EFD′，∠EFD=60°，∠DEF=180°-90°-60°=30°。
∠C′=60°。
MA+MB的最小值为8cm。解析：连接AB，与l的交点即为M。
12. 4个小孔，成轴对称分布。
三、拓展题
13. 4条对称轴。
无法确定面积，缺少高或夹角信息。
训练27：线段垂直平分线的性质
一、基础题
垂直并且平分线段的直线（或其所在直线）。
垂直平分线（中垂线）。
相等。
CB=5cm。
ED=7cm。
PB=6cm。
BD=AD=5cm。
是。理由：AB=AC，D是BC中点，AD⊥BC（三线合一），是垂直平分线。
二、提升题
△ABC周长=15cm。解析：DE垂直平分AC，AD=DC。△ABE周长=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=9cm，AC=6cm，周长=15cm。
AC+BC=20-2×3=14cm。解析：AE=BE=3cm，AB=6cm，AC+BC=20-6=14cm。
△CDE周长=CD+DE+CE=8+7+7=22cm。解析：CF=FD=4cm，CD=8cm，EC=ED=7cm。
∠MAN=∠MBN。解析：M、N在AB垂直平分线上，MA=MB，NA=NB，△MAB≌△NBA 三边对应相等。
三、拓展题
AD=√(10 -6 )=8。
∠BAD=20°。
训练28：线段垂直平分线的尺规作图
一、基础题
大于1/2AB。
两个。
按尺规作图步骤完成。
以P为圆心适当半径作弧交l于两点，再作两点连线的垂直平分线。
一。
中线交点（三条中线的交点）。
作法的道理：C、D到A、B距离相等，C、D都在AB的垂直平分线上。
确保两弧有交点，且交点不在线段上。
二、提升题
作AB、CD的垂直平分线，交点即为M。
先作AB垂直平分线交AB于中点，再分别作两半的垂直平分线。
以P为圆心作弧交l于两点，再作两点连线的垂直平分线。
先作线段a，再延长一倍。
三、拓展题
作线段AB=a，在AB上截取AC=b，CB即为a-b。
三条垂直平分线交于一点（外心）。
训练29：线段垂直平分线的综合应用
一、基础题
1. 15cm。
2. 22cm。
AD=√(6 -4 )=2√5。
相等。理由：MA=MB，NA=NB，MN=MN，△MAN≌△MBN（SSS），∠MAN=∠MBN。
5. 13cm。解析：AE=BE=3cm，AB=6cm。△ACD周长=AC+CD+AD=AC+BD+AD=AC+BC=13cm。
∠BAD=20°。
CD=BD=4cm，BC=8cm。
8. 8。
二、提升题
AD=√(10 -8 )=6。
证明：连接AD。△ABD≌△ACD（SSS），∠B=∠C。又BE=CF，BD=CD，△BDE≌△CDF（SAS），DE=DF。
设CD=x，则BD=AD=4-x。在Rt△ACD中，x +3 =(4-x) ，x +9=16-8x+x ，8x=7，x=7/8。
∠BAD=60°。
三、拓展题
BD=5，ED=√(13 -5 )=12。
设CD=x，则BD=5，DE=3 需要更多条件。
训练30：角平分线的性质
一、基础题
角平分线所在的直线。
相等。
CE=3cm。
相等。理由：BD是角平分线，DC⊥BC，DE⊥AB，角平分线上的点到角两边距离相等。
5. 3。
DF=4。
PD=2.5。
8. 3。
二、提升题
DE=DC=2，AD=AC-CD=6-2=4。
最小值2。理由：点到直线的距离中，垂线段最短，PQ⊥OM时最短，PA=2。
DE=BD=3。
DE=CD。设DE=x，AE=AC=5，BE=10-5=5 需用面积法：S△ABC=30，S△ABD+S△ACD=1/2×10x+1/2×5x=7.5x=30，x=4。
三、拓展题
证明：∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，△ADE≌△ADF（AAS）。
当∠B=30°时，∠A=60°，∠BAD=30°，BD=2DE=2CD。
训练31：角平分线的尺规作图
一、基础题
OE。
大于1/2DE。
按尺规作图步骤完成。
先作角平分线，再作两个半角的平分线。
按尺规作图步骤完成。
一（内心）。
确保两弧有交点。
都是先构造等腰三角形，再利用三线合一。
二、提升题
点P到三面墙距离相等，说明P是三角形三个内角平分线的交点（内心）。
按尺规作图步骤完成。
作角平分线，过C作OA的垂线交平分线于P。
作90°角的平分线。
三、拓展题
∠BOD=67.5°。
按尺规作图步骤完成。
训练32：角平分线的综合应用
一、基础题
1. 2。理由：垂线段最短。
2. 3。
MC是∠BAD的平分线 实际上MC是角平分线，所以MC到AB的距离等于MC。
DE=CD=4。
DE=BD=5。
设CD=x，AD是角平分线，D到AB距离=CD=x。S△ABC=1/2×3×4=6，S△ABD=1/2×5x，S△ACD=1/2×3x，6=1/2×5x+1/2×3x=4x，x=1.5。
∠BOP=30°。
是。理由：到角两边距离相等的点在角的平分线上。
二、提升题
设CD=x，则DE=x，AD=8-x。在Rt△BDE中，BD=6-x，BE=10-AC 需用勾股定理。
∠B=∠C，AD是角平分线，△ABD≌△ACD（AAS），∠ADB=∠ADC=90°，AD⊥BC。
BC=8，设BE=x，则DE=CE=6 需具体计算。
设CD=x，则DE=x，BE=10-6=4，在Rt△BDE中，BD=8-x，BE=4，DE=x，(8-x) =16+x ，64-16x+x =16+x ，16x=48，x=3。
三、拓展题
证明：∠CAD=∠EAD，∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，△ACD≌△AED（AAS）。
AD平分∠BAC，DE⊥AC，DB⊥AB，DE=DB。设DE=x，则AE=AB=6，CE=6√2-6 需具体计算。
训练33：等腰三角形的性质（三线合一）
一、基础题
轴对称，顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在的直线。
相等。
重合（三线合一）。
∠C=50°，∠A=80°。
∠B=60°。
∠BAD=25°。
∠B=∠C=70°。
设∠A=x，∠B=2x，∠C=2x，5x=180，x=36°，∠A=36°，∠B=∠C=72°。
二、提升题
设顶角为x，底角为2x，x+2x+2x=180，5x=180，x=36°，底角72°。
设顶角为x，底角为4x，x+4x+4x=180，9x=180，x=20°，底角80°。
连接AD，△ABD≌△ACD（SSS），∠B=∠C。又BE=CF，BD=CD，△BDE≌△CDF（SAS），DE=DF。
∠B=∠C=40°。
三、拓展题
若∠A为顶角，∠B=∠C=75°；若∠A为底角，∠A=∠B=30°，∠C=120°。
∠A=100°只能为顶角，∠B=∠C=40°。
训练34：等腰三角形的角度计算
一、基础题
∠A=40°。
∠B=50°。
∠A=50°。
设∠B=∠C=x，∠A=2x，4x=180，x=45°，∠A=90°，∠B=∠C=45°。
设∠A=x，∠B=∠C=2x，5x=180，x=36°，∠A=36°，∠B=∠C=72°。
∠B=72°。
设∠A=x，∠B=2x，∠C=2x，5x=180，x=36°，∠A=36°。
∠B=30°。
二、提升题
若∠A为顶角，∠B=∠C=75°；若∠A为底角，∠A=∠B=30°，∠C=120°。
∠A=100°只能为顶角，∠B=∠C=40°。
设顶角为x，底角为x+30，x+(x+30)+(x+30)=180，3x+60=180，x=40°，顶角40°，底角70°。
设底角为x，顶角为x+30，x+x+x+30=180，3x=150，x=50°，顶角80°，底角50°。
三、拓展题
∠C=36°，∠CAD=36°。解析：∠B=36°，AB=AC，∠C=36°，∠BAC=108°。AD=BD，∠BAD=36°，∠CAD=72°。
∠B=45°。解析：AD=BD=DC，∠B=∠BAD，∠C=∠CAD，∠B+∠C=90°，∠B=45°。
训练35：等腰三角形的判定
一、基础题
相等。
等边。
等边。
AC=AB=5cm。
△ADE是等腰三角形。理由：DE∥CB，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠B，∠ADE=∠A，AE=DE。
△ABC是等腰三角形，AB=AC（∠B=∠C）。
AC=4，BC=4。
△DBE是等腰三角形。理由：DE∥AC，∠BED=∠C。AB=AC，∠B=∠C，∠B=∠BED，DB=DE。
二、提升题
△ABD是等腰三角形。理由：AD∥BC，∠ADB=∠DBC，BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC，∠ABD=∠ADB，AB=AD。
等腰直角三角形。
∠ABC=72°，BD平分∠ABC，∠ABD=∠DBC=36°。等腰三角形：△ABC（AB=AC），△ABD（AD=BD），△BCD（BD=CD）。
∠BDE=70°。
三、拓展题
AB=CD。解析：∠CAD=∠CDA=15°，∠ACB=30°，∠BAC=60°，BC=1/2AB。CD=CA=AB 需具体推导。
△BCD是等腰三角形。理由：AB=AC，∠ABC=∠ACB，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，∠DBC=∠DCB，BD=CD。
训练36：含30°角的直角三角形
一、基础题
一半。
AB=8cm。
BC=5cm。
AB=10cm。
CE=6。解析：ED垂直平分BC，BE=CE，∠B=30°，在Rt△BDE中，BD=2ED=6，BE=CE=6。
BC=6。
AB=14。
AC=√(12 -6 )=6√3。
二、提升题
△ABD是等边三角形。BC=1/2AB。
CD=1/2AB=4。解析：D是AB中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
BD=2。解析：∠A=30°，CD⊥AB，∠BCD=30°，BD=1/2BC=2。
BD=2，AD=6。
三、拓展题
CD=2。解析：∠CAD=30°，CD=1/2AD。设CD=x，则AD=2x，BD=4，BC=4+x。在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=2BC=2(4+x)，AC=√3BC=√3(4+x)。由勾股定理可求x=2。
AD=4。解析：DE垂直平分AB，AD=BD。∠A=30°，∠B=60°，∠ADE=60°，△ADE中∠A=30°，DE=1/2AD。设DE=x，则AD=2x，BE=AE=√3x，AB=2√3x=12，x=2√3，AD=4√3。
训练37：等腰三角形的综合应用
一、基础题
∠A=100°。
∠B=65°。
∠B=65°。
∠BAD=35°。
全等。理由：△ABD≌△ACD（SSS）。
∠BDC=105°。解析：∠ABC=∠C=70°，∠ABD=35°，∠BDC=180°-35°-70°=75°。
7. 90°。
等边。
二、提升题
△BCD是等腰三角形。理由：AB=AC，∠ABC=∠ACB，BD、CD平分，∠DBC=∠DCB，BD=CD。
△ABC，△ABD，△BCD都是等腰三角形。
∠BDE=65°。
∠BAC=30°。解析：CD=CA，∠CAD=∠ADC=15°，∠ACB=30°，∠BAC=60° 需具体推导。
三、拓展题
∠B=50°，∠C=50°。解析：∠A=80°，AB=AC，∠B=∠C=50°。
∠CAD=80°。解析：∠B=∠C=80°，BD=AD，∠B=∠BAD=80°，∠CAD=100° 题目有误。
训练38：等边三角形的性质
一、基础题
1. 3。
相等，相等，60°。
3. 60°，60°，60°。
AC=6cm，BC=6cm。
AC=5，BC=5。
∠BAD=30°。
BD=4。
8. 60°。
二、提升题
证明：△ABD≌△BCE BD=CE，AB=BC，∠ABD=∠BCE=60°，△ABD≌△BCE（SAS），AD=BE。
证明：DE∥BC，∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，△ADE是等边三角形。
∠BDE=∠BAD。解析：△ABD≌△BCE，∠BDE=∠BAD。
∠AOB=120°。
三、拓展题
∠ADC=40°。解析：∠BAD=20°，∠B=60°，∠ADB=100°，∠ADC=80°。
证明：在BC上取F使DF=DC，△BDF≌△EDC 需具体证明。
训练39：等边三角形的判定与综合
一、基础题
等边。
等边。
AC=5，BC=5。
4. 60°。
∠ADB=90°。
等边。
7. 1:1。
AC=AB。
二、提升题
∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，D是BC中点，∠BAD=30°，∠ADB=90°，△ABD是30-60-90三角形。
△ABC是等边三角形，D是中点，AD⊥BC。
AD=AE，∠A=60°，△ADE是等腰三角形且有一角60°，是等边三角形。
∠AOB=120°。
三、拓展题
∠ABC=∠ACB=60°，△ABC是等边三角形。BD=CE，∠B=∠C=60°，△BDE≌△CEF 需证明。
证明：△ABD≌△ACE（ASA），AD=AE，∠A=60°，△ADE是等边三角形。
训练40：尺规作图综合①
一、基础题
两个。
一个（角内部）。
按尺规作图步骤完成。
按尺规作图步骤完成。
都是利用构造等腰三角形，再作垂直平分线或角平分线。
按尺规作图步骤完成。
按尺规作图步骤完成。
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
二、提升题
作法同角平分线，道理是SSS全等。
先作AB=a，再延长BC=b。
先作AB=a，在AB上截取AC=b。
以O为圆心作弧交角两边，再复制到新的位置。
三、拓展题
作线段AB=a，分别以A、B为圆心a为半径画弧交于C，连接AC、BC。
按角平分线作法，再以O为圆心a为半径截取。
训练41：尺规作图综合②
一、基础题
一（外心）。
一（内心）。
重心。
先作垂直平分线得中点，再分别作两半的垂直平分线。
先作角平分线得一半，再作两个半角的平分线。
作两条中线，交点即为重心。
按尺规作图步骤完成（作一个角等于已知角）。
作线段a，再延长一倍。
二、提升题
三条垂直平分线交于一点（外心）。
三条角平分线交于一点（内心）。
按角平分线作法完成。
按垂直平分线作法完成。
三、拓展题
内心到三角形三边的距离相等。
外心到三角形三个顶点的距离相等。
训练42：轴对称图案的设计与识别
一、基础题
字母E。
得到双重对称的花边，是轴对称图形。
得到一个轴对称图案（具体形状取决于剪法）。
得到更复杂的轴对称图案，对称轴条数增多。
5. 2。
6. 4。
蝴蝶、枫叶、雪花等。
按轴对称设计。
二、提升题
得到轴对称图案。
根据对称轴画另一半。
按轴对称设计。
通过折叠剪纸得到。
三、拓展题
13. 4条对称轴。
按轴对称设计。
训练43：轴对称图案的对称轴
一、基础题
1. 相邻图案关于折痕成轴对称。
2. 4。
3. 3条。
4. 3。
5. 4。
6. 2。
7. 5。
8. 6。
二、提升题
9. 不是轴对称图形。移动后最多有1条对称轴。
10. 3，4，5，6，7，8。
11. 正n边形有n条对称轴。
12. 3条。
三、拓展题
13. 得到有6条对称轴的图形。
14. 选择正五边形纸，按合适方式折叠。
训练44：轴对称作图
一、基础题
1-8. 按对称轴画对应点并连接。
二、提升题
关于x轴对称：横坐标不变，纵坐标变相反数；关于y轴对称：纵坐标不变，横坐标变相反数。
设计一个关于坐标轴对称的图案。
在方格纸上设计图案并给出坐标说明。
画出正方形的4条对称轴。
三、拓展题
关于y轴对称，横坐标变相反数。
按轴对称设计。
训练45：最短路径问题（轴对称转化）
一、基础题
连接AB交l于C，两点之间线段最短。
作点B关于l的对称点B′，连接AB′交l于C。理由：BC=B′C，AC+CB=AC+CB′，当A、C、B′共线时最短。
作B关于l的对称点B′，连接AB′交l于P。
连接AB交l于P。
作C关于BD的对称点C′，连接EC′交BD于P。
作B关于AD的对称点C，连接PC B和C关于AD对称，PB=PC，PB+PC=2PC，在BC上取中点。
作AB的垂直平分线交l于P。
作P关于OA的对称点P ，关于OB的对称点P ，连接P P 交OA于M，交OB于N。
二、提升题
作乙关于道路的对称点，连接甲和对称点，交道路于取货柜位置。
作B关于BC的对称点 B在BC上，PA+PB最短时P为垂足。
作C关于BD的对称点A，连接AE交BD于P。
作P关于OA的对称点P ，关于OB的对称点P ，连接P P 交OA于M，交OB于N。
三、拓展题
同第12题。
作C关于BD的对称点A，连接AE交BD于P，最小值为AE=√(6 +4 )=2√13。
训练46：轴对称综合
一、基础题
DE=5，EF=6，DF=7。
∠F=60°。
3. 4cm。
∠A=80°。
∠B=50°。
∠B=60°。
∠ADB=90°。
AC=6。
二、提升题
∠CFB′=40°。
△BCD是等腰三角形。
△ABC，△ABD，△BCD。
CD=5。
三、拓展题
∠BDE=∠BAD。
∠CAD=80°。
训练47：勾股定理的直接应用
一、基础题
c=√(3 +4 )=5。
c=√(6 +8 )=10。
b=√(13 -5 )=12。
a=√(13 -12 )=5。
c=√(9 +12 )=15。
b=√(17 -8 )=15。
正方形面积=斜边平方=两直角边平方和。
h=6×8÷10=4.8。
二、提升题
另一直角边=√(17 -15 )=8，面积=1/2×15×8=60cm 。
BD=5，AD=√(13 -5 )=12，面积=1/2×10×12=60cm 。
钢索=√(8 +6 )=10m。
对角线=√(121.5 +68.5 )≈139.5cm≈55英寸，售货员没搞错。
三、拓展题
设a=3x，b=4x，(3x) +(4x) =10 ，25x =100，x=2，a=6，b=8。
c=√(5+20)=5。
训练48：勾股定理求面积
一、基础题
1. 25。
π+18π=26π。
3. 9+16+25=50。
AB=√(5 +12 )=13，正方形面积=169。
5. 36+64=100。
BC=√(10 -6 )=8，面积=64。
AC=√(13 -5 )=12，面积=144。
AB=√(1 +2 )=√5，面积=5。
二、提升题
斜边=√(8 +15 )=17，三个正方形面积=64+225+289=578。
BC=√(10 -6 )=8，正方形面积=100。
AB=5，h=3×4÷5=2.4。
c=√(5 +12 )=13，h=5×12÷13=60/13。
三、拓展题
(a+b) =a +b +2ab=100+2ab=196，2ab=96，面积=1/2ab=24。
以AB为边的正方形面积=a +b =25。
训练49：勾股定理的实际应用
一、基础题
折断前高度=√(3 +4 )+3=5+3=8m。
距离=√(160 +120 )=200km。
向东距离=√(250 -150 )=200m。
顶端高度=√(25 -7 )=24m。
BC=√(4 +3 )=5。
AC=√(6 +8 )=10。
AB=√(5 +12 )=13。
AC=√(25 -7 )=24。
二、提升题
AB=√(100 -80 )=60m。
能到达高度=√(15 -9 )=12m>11.7m，能。
BC=√(500 -400 )=300m，速度=300÷10=30m/s。
需根据具体图形计算OM和OQ长度。
三、拓展题
最短路径=√(20 +8 )=4√29≈21.5cm。
彩带长=√(6 +2 )×4 沿侧面展开：4圈对应高6m，水平展开长度4×2=8m，彩带长=√(6 +8 )=10m。
训练50：勾股定理的验证
一、基础题
三个正方形面积关系：大正方形面积=两个小正方形面积之和。
大正方形面积=4个三角形面积+小正方形面积，化简得a +b =c 。
大正方形面积=c ，4个三角形面积=2ab，小正方形面积=(b-a) ，c =2ab+(b-a) =a +b 。
同上。
AB=5。
AB=13。
AC=12。
c=10。
二、提升题
AB⊥DE，可用面积法验证勾股定理。
同上。
利用面积相等验证。
拼成正方形验证。
三、拓展题
用赵爽弦图证明。
用青朱出入图证明。
训练51：勾股定理综合
一、基础题
c=25。
b=20。
a=15。
c=√13。
c=3。
c=5√2。
b=√3。
c=2√13。
二、提升题
(a+b) =a +b +2ab=169+2ab=289，2ab=120，面积=30。
c=13，h=12×5÷13=60/13。
AB=8，AC=4√3。
AB=10，BC=5√3。
三、拓展题
设AC=BC=x，x +x =100，x=5√2。
设a=5k，b=12k，c=13k，30k=60，k=2，a=10，b=24，c=26。
训练52：勾股定理的逆定理
一、基础题
（1）9 +12 =225=15 ，能；（2）12 +18 =468≠484，不能；（3）12 +35 =1369≠1296，不能；（4）15 +36 =1521=39 ，能。
直角。
勾股数。
+4 =5 ，是直角三角形。
5. 5 +12 =169=13 ，是直角三角形。
6. 8 +15 =289=17 ，是直角三角形。
7. 7 +24 =625=25 ，是直角三角形。
8. 9 +40 =1681=41 ，是直角三角形。
二、提升题
a =c -b ，a +b =c ，是直角三角形。
是直角三角形。理由：两边平方和等于第三边平方。
11.
| 勾股数 | 2倍 | 3倍 | 4倍 | 10倍 |
| 3，4，5 | 6，8，10 | 9，12，15 | 12，16，20 | 30，40，50 |
| 5，12，13 | 10，24，26 | 15，36，39 | 20，48，52 | 50，120，130 |
| 8，15，17 | 16，30，34 | 24，45，51 | 32，60，68 | 80，150，170 |
12. 12 +16 =400=20 ，是直角三角形。
三、拓展题
13. (√3) +(√4) =3+4=7≠5，不是直角三角形。
14. (a -b ) +(2ab) =a -2a b +b +4a b =a +2a b +b =(a +b ) ，是直角三角形。
训练53：勾股数
一、基础题
勾股数。
B。解析：3 +4 =5 。
A、D。
4，5；5，12，13；8，15，17。
(2a) +(2b) =4(a +b )=4c =(2c) ，是勾股数。
是。
是。
是（3，4，5的2倍）。
二、提升题
是。理由：(na) +(nb) =n (a +b )=n c =(nc) 。
m=3，n=2，m -n =5，2mn=12，m +n =13。
(m -n ) +(2mn) =(m +n ) ，是勾股数。
是。
三、拓展题
n -1，2n，n +1（n≥2）。
(2n) +(n -1) =4n +n -2n +1=n +2n +1=(n +1) ，是勾股数。
训练54：勾股定理逆定理的应用
一、基础题
∠A=90°（3 +4 =5 ），∠DBC=90°（5 +12 =13 ），符合要求。
AC=5，5 +12 =13 ，∠ACD=90°。
△ABE（2 +4 =20≠ ），需具体计算：AE=2，DF=1，CF=3，BE=2，CE=√(4 +3 )=5，△BCE是直角三角形。
∠A=90°。
5. 9 +12 =225=15 ，是直角三角形。
∠A=90°。
7. 10 +24 =676=26 ，是直角三角形。
AD=√(5 -3 )=4。
二、提升题
AC=5，AC +CD =5 +12 =169=AD ，∠ACD=90°。面积=S△ABC+S△ACD=1/2×3×4+1/2×5×12=6+30=36。
CD=√(13 -12 )=5。
BD=√(4 +4 )=4√2，BC +CD =9+25=34≠32，∠BCD不是直角。
AD=√(10 -8 )=6。
三、拓展题
设BD=x，CD=6-x，AD +BD =AB 16+x =25，x=3。
AC=5，AD=√(13 -5 )=12。
训练55：勾股定理与最短路径（圆柱侧面）
一、基础题
展开成长方形，长为18cm，高为12cm，最短=√(18 +12 )=√468=6√13≈21.6cm。
连接A、B的直线段。
底面周长=2πr=12cm，最短=√(12 +5 )=13cm。
最短=√(8 +6 )=10cm。
底面周长=4π≈12.56cm，最短=√(12.56 +3 )≈12.9cm。
最短=√(12 +8 )=4√13cm。
侧面积=2πrh=2×3.14×3×4=75.36cm 。
侧面积=12.56×6=75.36cm 。
二、提升题
底面周长=2×3.14×3=18.84cm，最短=√(18.84 +10 )≈21.3cm。
沿侧面最短=√(12 +8 )=4√13≈14.4cm，经C点路程=8+直径(12/π )≈8+3.82=11.82cm，经C点更短。
最短=√(24 +5 )=√601≈24.5cm。
最短=√(20 +15 )=25cm。
三、拓展题
底面周长=6cm，最短=√(6 +6 )=6√2cm。
最短=√((2πr) +h )。
训练56：勾股定理的实际测量
一、基础题
1. 量AD、AB、BD，用勾股定理判断。
+40 =2500=50 ，AD⊥AB。
量AD、AB、BD，判断是否能构成直角三角形。
根据具体图形计算。
AB=√(100 -80 )=60m。
展开长方体，最短路径=√(15 +10 )需根据展开图计算。
设BE=DE=x，AE=4-x，AD=2，在Rt△AED中，(4-x) =x +2 ，16-8x+x =x +4，8x=12，x=1.5，S△AED=1/2×2×(4-1.5)=2.5cm 。
BD=5，CD=13，S=1/2×3×4+1/2×5×12=6+30=36。
二、提升题
甲走了2h×6=12km，乙走了1h×5=5km，距离=√(12 +5 )=13km。
中间图形正确（7 +24 =25 ，15 +20 =25 ）。
筷子长度24cm，水杯深12cm，最短露出=24-√(5 +12 )=24-13=11cm，最长露出=24-12=12cm，11≤h≤12。
s=v /(2a)，25=20 /(2a)，50a=400，a=8m/s 。
三、拓展题
最短路径需展开三个不同面计算取最小：√((15+10) +20 )=√925=5√37≈30.4cm，√((15+20) +10 )=√1325≈36.4cm，√((10+20) +15 )=√1125≈33.5cm，最短30.4cm。
原长5m，顶端下滑1m后高3m，底端离墙=√(5 -3 )=4m，外滑=4-3=1m。
训练57：勾股定理的应用（《九章算术》）
一、基础题
设水深x尺，葭长x+1尺，5 +x =(x+1) ，25+x =x +2x+1，2x=24，x=12，葭长13尺。
同上，水深12尺，芦苇13尺。
设折断处高x尺，竹尖到根3尺，斜边为10-x尺，x +3 =(10-x) ，x +9=100-20x+x ，20x=91，x=4.55尺。
折断处高4.55尺。
设索长x尺，股为x-3尺，勾8尺，8 +(x-3) =x ，64+x -6x+9=x ，6x=73，x=73/6尺。
索长73/6尺。
圆柱展开成长方形，高20尺，水平展开7×3=21尺，藤长=√(20 +21 )=29尺。
藤长29尺。
二、提升题
OB=1.5m，BC=3.6m，OC =1.5 +3.6 =15.21，4.2 =17.64>15.21，能通过。
能通过。
设梯子长x m，墙高x-1 m，4 +(x-1) =x ，16+x -2x+1=x ，2x=17，x=8.5m。
若12cm为直角边，设另一直角边x，斜边36-12-x=24-x，(24-x) =x +12 ，576-48x+x =x +144，48x=432，x=9，三边为9、12、15。若12cm为斜边，设直角边为x、24-x，x +(24-x) =144无整数解。所以三边为9、12、15。
三、拓展题
设股为b，弦为c，c-b=d，b=c-d，a +(c-d) =c ，a +c -2cd+d =c ，2cd=a +d ，c=(a +d )/(2d)。
∠CDB′=60°。
训练58：勾股定理综合应用
一、基础题
c=13。
b=15。
a=7。
AB=10，CD=6×8÷10=4.8。
AB=10。
AB=8。
(√2) +(√3) =5=(√5) ，是直角三角形。
8. 2 +3 =13≠16，不是直角三角形。
二、提升题
(a+b) =a +b +2ab=100+2ab=196，2ab=96，面积=24。
c=10，h=6×8÷10=4.8。
AB=√(6 +6 )=6√2。
AB=√(5 +5 )=5√2。
三、拓展题
设AC=3x，BC=4x，(3x) +(4x) =400，25x =400，x=4，AC=12，BC=16。
AB=√(5 +5 )=5√2，h=5×5÷(5√2)=5/√2=5√2/2。
训练59：无理数的认识
一、基础题
a不是整数也不是分数，因为没有任何整数的平方等于2，也没有分数的平方等于2。
b =5，b不是有理数。
h=√3，不是整数也不是分数，是无理数。
对角线=√13，不是整数也不是分数（√13是无理数）。
无理数。
有理数（2）。
b=√5≈2.236…，不是有限小数，是无理数。
c= 2≈1.2599…，是无理数。
二、提升题
有理数线段：1，2；无理数线段：√2，√5。
按要求设计。
不可能。若边长a和对角线d都是整数，则d =2a ，但2a 不是完全平方数（除a=0），矛盾。
斜边=√3。
三、拓展题
a=√2≈1.414，b=√3≈1.732，a在数轴上构造直角三角形：直角边为1和1，斜边为√2。
训练60：无理数的估算
一、基础题
1. 1。
3. 1。
4. 4。
5. 1.4。
6. 1.41。
7. 1.7。
8. 1.73。
二、提升题
边长越大，面积越大。
无限不循环小数，是无理数。
b=√5≈2.236…，不是有限小数，是无理数。
c≈1.3。
三、拓展题
√8=2√2≈2.828。
√27=3√3≈5.196。
训练61：有理数与无理数的区分
一、基础题
有限小数，无限循环小数。
无理数。
有理数：3.14，-4/3，0.57；无理数：0.1010001000001…
有理数：0.4583，3.7，-1/7，18；无理数：-π。
有理数：-559/180，3.97，-234.10101010…（循环）；无理数：0.12345678910111213…。
（1）×（2）√（3）×（4）×
π，√2，0.1010010001…
x=√10，不是有理数。
二、提升题
x≈3.16。
x≈3.16。
是。π是无限不循环小数。
是。2.82842712…是无限不循环小数。
三、拓展题
构造直角三角形直角边为1和2，斜边为√5。
√7≈2.65。
训练62：算术平方根的概念与求值
一、基础题
1. 算术平方根。
（1）30；（2）1；（3）7/8；（4）√14。
（1）6；（2）3/4；（3）√17；（4）0.9；（5）10 =0.01。
（1）10；（2）12；（3）5/11；（4）-0.1。
（1）-15；（2）-7/9。
（1）11；（2）3/5；（3）1.4；（4）10 =1000。
8. 5cm。
二、提升题
每块地砖面积=10.8÷120=0.09m ，边长=0.3m。
n=√324=18名。
11. 2倍。
12. 3倍。
三、拓展题
13. 10倍。
√n倍。
训练63：算术平方根的应用
一、基础题
t =19.6÷4.9=4，t=2s。
AB=√(5 +3 )=√34。
AB=√(8 -6.4 )=√(64-40.96)=√23.04=4.8m。
AB=√(6 +8 )=10。
BC=√(10 -8 )=6。
AC=√(13 -5 )=12。
√(25+144)=13。
√((49)(1))=7。
二、提升题
h=810m=0.81km，d≈112√0.81=112×0.9=100.8km≈100.8km。
AB=5，h=3×4÷5=2.4。
BC=√(25 -7 )=24。
AB=√(9 +12 )=15。
三、拓展题
x=4，y=±3，x +y +x+2=16+9+4+2=31（y=3时）或16+9+4+2=31（y=-3时平方相同）。
a>3。
训练64：平方根的概念与求值
一、基础题
平方根。
两，相反数。
3. 1，0。
没有。
（1）±8；（2）±7/11；（3）±0.02；（4）±25；（5）±√11。
（1）±1.2；（2）0；（3）±2√2；（4）±10/7；（5）±21；（6）±14；（7）±10 。
（1）15；（2）-13/2；（3）8。
（1）4；（2）4；（3）0.8；（4）0.8。
二、提升题
9. 19。
-11。
±14。
（1）x=±5/9；（2）x=±√6。
三、拓展题
（1）±5；（2）5；（3）5；（4）5。
训练65：平方根的综合应用
一、基础题
±13；（2）±10 ；（3）±4/7；（4）±3/2；（5）±3√2。
（1）4；（2）4；（3）0.8；（4）0.8。
3. 7。
x=4，y=±3，x +y +x+2=16+9+4+2=31。
a>3。
x=±5/9；（2）x=±√6。
7. 0或1。
8. 0。
二、提升题
9. 0或1。
-1，0，1。
11. 1，2，3。
-1，0，1，2。
三、拓展题
a-2=9，a=11。
a-1=9，a=5；3a+b-1=16，15+b-1=16，b=2，a+b=7。
训练66：立方根的概念与求值
一、基础题
立方根。
a。
正数，0，负数。
（1）-3；（2）2/5；（3）0.6；（4） (-5)。
（1）0.1；（2）-1；（3）-1/6；（4）20；（5）2/3；（6）-8。
（1）-2；（2）0.4；（3）-2/5；（4）9。
（1）2；（2）1/4；（3）-3；（4）125；（5）-3。
（1）0.5；（2）-4；（3）5；（4）16。
二、提升题
9. 10cm。
10. 6cm。
11. 2倍。
12. 3倍。
三、拓展题
13. 10倍。
n倍。
训练67：立方根的综合应用
一、基础题
a：1，2，3，4；√a：1，2√2，3√3，8。
每块体积=1000÷8=125cm ，棱长=5cm。
3. 0.027m =27000cm ，棱长= 27000=30cm，30<45且30<34且30<29 30>29，不能完全放入。
（1）3；（2）-4；（3）1/2；（4）-1/5。
（1）3；（2）-4；（3）1/2；（4）-1/5。
（1）x=2；（2）x=-3；（3）x=1/4。
（1）增大；（2）增大。
随着k增大，立方根也增大。
二、提升题
9. 2× 8=2×2=4cm。
10. 3× 27=3×3=9cm。
（1）-7；（2）0.8；（3）-3/4。
（1）-6；（2）0.5；（3）-3/2。
三、拓展题
x=2，y=-3，x+y=-1。
a=8，b=9，a+b=17，平方根±√17。
训练68：无理数的估算
一、基础题
正确（√0.43≈0.6557）；（2）错误（ 900≈9.65）；（3）正确（√2536≈50.36）。
900≈9.6≈10。
√13.6≈3.7。
800≈9.3≈9。
260≈6.4≈6。
√25.7≈5.1。
√88≈9.4m。
宽=√(400000÷2)=√200000≈447m，没有1000m。
二、提升题
宽≈450m。
r=√(800÷π)≈√254.6≈16m。
11. 2πr 设高为h，底面半径=h/2，体积=π(h/2) h=πh /4=40，h ≈50.96，h≈3.7m≈4m。
梯子长≈√(3×4.8 ) 设梯子长x，底端离墙x/3，x =(x/3) +4.8 ，8x /9=23.04，x =25.92，x≈5.09m>5m。
三、拓展题
√6≈2.45>2.5 2.45<2.5，所以√6<2.5。
(√5-1)/2≈(2.236-1)/2=0.618>0.5。
训练69：估算的应用
一、基础题
(√3-1)/2≈(1.732-1)/2=0.366<0.5；（2）√15≈3.873>3.85；（3）(√5-1)/2≈0.618>0.625 0.618<0.625。
错误，√8955≈94.6；（2）错误， 12345≈23.1。
√5≈2.24。
√7≈2.65。
10≈2.15。
20≈2.71。
√5≈2.24>2.2。
3≈1.44>1.4。
二、提升题
x +2 =6 ，x =32，x≈5.66>5.6，能。
AB=√13。
AC=4。
BC=√3。
三、拓展题
斜边=√(5+7)=√12=2√3。
(√5+1)/2≈1.618<2。
训练70：平方根与立方根综合
一、基础题
±11；（2）±10 ；（3）±5/9；（4）±0.3。
-2；（2）3；（3）-1/4；（4）0.5。
（1）9；（2）-6；（3）-3；（4）1/2。
（1）5-4=1；（2）3+3=6。
x=±7；（2）x=-4；（3）x=±√7。
x=2；（2）x=±5；（3）x=-1。
（1）8；（2）0.1；（3）1/7。
±4，64。
二、提升题
9. 25。
-27。
x=16，y=8，x+y=24。
a=9，b=-8，a+b=1。
三、拓展题
13. 2a-1=9，a=5；3a+b-1=16，15+b-1=16，b=2，a+b=7。
(2a-3)+(5-a)=0，a=-2，正数=(2a-3) =(-7) =49。
训练71：用计算器开方（笔算复刻）
一、基础题
√5.89≈2.4269；（2） (2/7)≈0.6586；（3） (-1285)≈-10.8718。
√5+1≈3.2361；（2）√(6×7)-π≈6.4807-3.1416≈3.3391。
√800≈28.28427；（2） (22/5)= 4.4≈1.63864；（3）√0.58≈0.76158；（4） (-0.432)≈-0.75595。
3≈1.442>√2≈1.414。
√2408≈49.07138；（2） (-19.78)≈-2.70404；（3） (55/9)= 6.111≈1.82845。
√67.5≈8.21584；（2）√(56-8)÷(-5)=√48÷(-5)≈6.9282÷(-5)=-1.38564；（3） 3-√2≈1.44225-1.41421≈0.02804。
√8≈2.828> 25≈2.924 2.828<2.924；（2）8/13≈0.6154，(√5-1)/2≈0.6180，8/13<。
√12≈3.464；（2） 9≈2.080；（3）√50≈7.071。
二、提升题
11≈2.224<√5≈2.236；（2）13/8=1.625，(√5+1)/2≈1.618，13/8>。
最终趋近于1。
最终趋近于1。
R+h=6800km=6800000m，v≈1.995×10 /√6800000≈1.995×10 /2607.7≈7650m/s；（2）周期=2π(R+h)/v≈2×3.14×6800000/7650≈5580s≈93min。
三、拓展题
趋近于1。
√(n +1)-n≈1/(2n)（n越大越接近）。
训练72：实数的概念与分类
一、基础题
实数。
有理数：1/4，-5/2，- 8(-2)，√(4/9)=2/3，0；无理数： 2，√7，π，√2，√(20/3)，-√5，0.3737737773…
有理数，无理数。
完全一样。
（1）相反数-√7，倒数1/√7，绝对值√7；（2）相反数2，倒数-1/2，绝对值2；（3）相反数-7，倒数1/7，绝对值7。
（1）×；（2）√；（3）×。
（1）有理数：7.5，4，2/3， (-27)=-3，0.31，0.15；（2）无理数：√15，√(9/17)，-π；（3）正实数：7.5，√15，4，√(9/17)，2/3，0.31，0.15；（4）负实数：-π。
（1）相反数-3.8，倒数5/19，绝对值3.8；（2）相反数√21，倒数-1/√21，绝对值√21；（3）相反数π，倒数-1/π，绝对值π；（4）相反数-√3，倒数1/√3，绝对值√3；（5）相反数- (27/1000)=-3/10，倒数 (1000/27)=10/3，绝对值3/10。
二、提升题
在数轴上构造直角三角形直角边为2和3，斜边为√13。
A对应-√2，介于-2和-1之间。
构造直角三角形直角边为1和2，斜边为√5。
一一对应。
三、拓展题
三边为√10，√10，2√2等。
按尺规作图在数轴上标出。
训练73：实数的运算
一、基础题
1. 3 7。
2. 2√2-2√3-√3=2√2-3√3。
√2+√7≈1.414+2.645≈4.06。
√2×π≈1.414×3.142≈4.4。
5. 2×1.732+2.646≈3.464+2.646≈6.1。
6. 3×3.142+2.449≈9.426+2.449≈11.88。
（1）√5≈2.236>2.2；（2）-√7≈-2.646>-2.7。
（1）-π≈-3.142<-3.14；（2）-2√5≈-4.472>-4.5。
二、提升题
√5+3√2-π/2≈2.236+4.243-1.571≈4.9。
10. 1/2×1.414-1/3×1.732+1/5×2.449=0.707-0.577+0.490≈0.62。
（1）-π≈-3.142<22/7≈3.143 3.142<3.143，-π<22/7；（2）-√3≈-1.732，-|1-√5|≈-1.236，-√3<-|1-√5|；（3）√5+√6≈4.686，√4+√7≈4.646，√5+√6>√4+√7。
阴影面积=π/4- 需具体图形。
三、拓展题
四边形ABCD周长=√2+√5+√10+5 需具体计算。
A对应-√2≈-1.414>-2.5。
训练74：确定位置的方法
一、基础题
两。
两个（排和座）。
蓝方战舰B与红方潜艇之间的距离。
两。
距离，方位角。
两个（经度和纬度）。
两个（区域编号）。
两个数据。如电影院座位需要排号和座号。
二、提升题
（1）将的位置(9,5)，帅的位置(9,1)（以左上角为原点）；（2）第3列的马前进到第4列后的位置(4, )需具体棋盘。
（1）在图上标出；（2）路线：经七纬五→经六纬五→经五纬五→经五纬一；（3）金信大厦位置(经五纬三)。
11. 2点钟方向即东偏南30°，距离1000m。
12. 2号仓库在狙击手的东南方向约800m处。
三、拓展题
（1）画图；（2）能确定，渔船A在O南偏西40°距离64海里，渔船B在O南偏东20°距离80海里。
画示意图并用方向+距离或坐标描述。
训练75：平面直角坐标系与点的坐标
一、基础题
平面直角坐标系。
x轴，y轴。
(0,0)。
根据具体图形。
描点。
得到一个不规则六边形（或箭头形）。
一一对应关系。
根据具体图形。
二、提升题
描点。
描点。
不是同一个点，因为横纵坐标交换后位置不同。
可能为同一个点，当a=b时，(a,b)=(b,a)。
三、拓展题
根据具体图形建立坐标系。
根据具体图形。
训练76：坐标轴上的点与象限
一、基础题
四。
一。
不在。
<，>。
<，<。
>，>（a>0，b>0）。
>，>。
（1）像房子或小丑；（2）(-2,0),(6,0),(1,0),(3,0)在x轴上。
二、提升题
到y轴距离3，到x轴距离4，到原点距离5。
同一象限内点坐标符号相同，坐标轴上的点坐标有0。
（1）A(-4,0)；（2）B(0,4)；（3）C(-4,4)。
(0,a)在y轴正半轴，(b,0)在x轴正半轴。
三、拓展题
二。解析：a>0，b>0，(-b,a)横坐标为负纵坐标为正。
四。解析：a<0，b>0，(b,a)横正纵负。
训练77：建立坐标系确定点的坐标
一、基础题
C(0,0)，D(6,0)，B(0,4)，A(6,4)。
B(-1,0)，C(1,0)，A(0,√3)。
根据具体图形。
以中心为原点：(-2,-2)，(2,-2)，(2,2)，(-2,2)。
以正六边形中心为原点：(-2,0)，(-1,√3)，(1,√3)，(2,0)，(1,-√3)，(-1,-√3)。
以AB为y轴，A在B下方，建立坐标系。
根据具体图形。
(2,-2)或(3,0) 需具体棋盘。
二、提升题
连接AB，AB垂直平分线为x=3，O在AB中点(3,0)，建立坐标系。
B(0,0)，C(2,0)，A(0,√3)。
以中心为原点：(-4,-3)，(4,-3)，(4,3)，(-4,3)。
答案不唯一。
三、拓展题
根据具体图形。
(3,3)。
训练78：坐标系中的距离与位置
一、基础题
1. 3。
2. 4。
3. 5。
4. 13。
5. 10。
6. 2，1。
7. 4，3。
|b|，|a|。
二、提升题
分割成三角形和梯形，面积=1/2×3×6+1/2×(6+8)×11+1/2×2×8=9+77+8=94。
A(√3, )，B(0,0)，O(0,0) OA=2，OB=√3，AB=√(4-3)=1，A(√3,1)。
11. 5。
12. 13。
三、拓展题
(±3,±4)，(±4,±3)，(±5,0)，(0,±5)。
AB=√(3 +4 )=5。
训练79：坐标系综合
一、基础题
1-6. 根据具体图形。
3，5。
8. 13。
二、提升题
像字母W或山峰。
设计图案并给出坐标说明。
与x轴平行的直线上点的纵坐标相同；与y轴平行的直线上点的横坐标相同。
同号：第一或第三象限；异号：第二或第四象限。
三、拓展题
a<0，b<0，a+b<0，-b>0，点(a+b,-b)在第二象限。
a>0，b<0，-a<0，点(-a,b)在第三象限。
训练80：轴对称与坐标变化
一、基础题
相同，相反数。
相同，相反数。
(3,-2)。
(-3,2)。
x轴。
y轴。
根据具体图形。
二、提升题
△PMN与△ABC关于y轴对称？需具体判断。
关于x轴对称。
先关于x轴对称，再关于y轴对称，相当于关于原点对称。
设计图案。
三、拓展题
B(-2,0)，C(8,0)，E(0,4)，F(0,-4)。解析：AB=5，A(3,0)，B(-2,0)，C(8,0)，E(0,4)，F(0,-4)。
（1）关于y轴对称；（2）关于x轴对称。
训练81：函数的概念与表示
一、基础题
唯一。
列表法，表达式法，图象法。
（1）根据图象填表；（2）确定。
4. 1，3，6，10，15。
（1）230.15K，246.15K，273.15K，291.15K；（2）能。
能，根据具体问题。
（1）s和h；（2）根据图象；（3）确定；（4）可以。
（1）y=9勺；（2）y=3x，x为正整数。
二、提升题
如气温随时间变化。
都是函数。
（1）是；（2）不是（一个x对应两个y）；（3）是。
自变量t，因变量s。
三、拓展题
y=7。
-4=-3x+5，3x=9，x=3。
训练82：一次函数与正比例函数
一、基础题
一次函数。
正比例函数。
k，均匀。
是一次函数，也是正比例函数。
不是一次函数，也不是正比例函数。
是一次函数，不是正比例函数。
是一次函数，也是正比例函数。
y=-3x。
二、提升题
（1）y=500-350x，是一次函数；（2）x=0.5，y=325km。
不是一次函数，也不是正比例函数。
y=x(5-x)=-x +5x，不是一次函数。
（1）x=30n；（2）y=16n；（3）y=8/15·x y=16n=16×x/30=8x/15。
三、拓展题
y=2x+1，y=3x（正比例函数）。
（1）y=5.5×8000+36000=44000+36000=80000元；（2）每印刷1册的纸张等可变成本。
训练83：一次函数的表达式与实际意义
一、基础题
y=-35t+120，k=-35表示每秒速度减少35km/h，b=120表示初始速度。
2. 0=-35t+120，t=120/35=24/7≈3.43s。
y=0.5x+3。解析：每增加1kg伸长0.5cm。
（1）y=0.08x；（2）z=40-0.08x。
（1）y甲=15x，y乙=10x+200；（2）x=30，y甲=450，y乙=500，选甲；（3）x=52，y甲=780，y乙=720，选乙。
是一次函数，也是正比例函数。
y=4.83×250-303.6=1207.5-303.6=903.9元。
1000.5=4.83x-303.6，4.83x=1304.1，x=270m 。
二、提升题
（1）峰谷计费：1500×0.56+900×0.36=840+324=1164元；普通计费：2400×0.53=1272元。峰谷计费少。（2）设谷段用电x，峰段2400-x，(2400-x)×0.56+0.36x=2400×0.53，1344-0.56x+0.36x=1272，0.2x=72，x=360kW·h。
10. 15x=10x+200，5x=200，x=40km。
y=kx+14.5，16=3k+14.5，k=0.5，y=0.5x+14.5。
x=4，y=0.5×4+14.5=16.5cm。
三、拓展题
（1）设y=kx+30，12=2k+30，k=-9，y=-9x+30；（2）0=-9x+30，x=10/3h。
（1）设v=kt+25，5=2k+25，k=-10，v=-10t+25；（2）0=-10t+25，t=2.5s。
训练84：正比例函数的图象
一、基础题
图象。
原点(0,0)。
3-8. 列表描点连线完成。
二、提升题
增大，减小。
(-1,5)在，（0.5,-2.5）在。
画图。
（2）（4）。
三、拓展题
y=2x或y=-x等。
y=x，y=2x，y=3x，其中y=3x增大最快。
训练85：一次函数的图象
一、基础题
列表描点连线。
直线。
平行。
两。
画图。
b。
画图。
增大，(0,-3)。
二、提升题
y=2x+1。解析：OA为y=2x，向上平移1个单位。
与y轴交点相同的：（1）和（2）b都是-2；y随x增大而减小的是（2）（3）。
y=2x+6先到达10（x=2），y=5x-2先到达20（x=4.4） 2x+6=10，x=2；5x-2=10，x=2.4。y=5x-2先到达10；2x+6=20，x=7；5x-2=20，x=4.4，y=5x-2先到达20。
m<0即可，如m=-1，-2。
三、拓展题
y=2x+1（交点(0,1)），y=-x+2（交点(0,2)）。
算错的是x=0时y=2（应为3），函数为y=-3x 用(1,-2)和(2,-6)得k=-4 实际y=-3x 需重新计算：(1,-2)，(2,-6)，k=-4，b=2，y=-4x+2，x=-1时y=6（正确），x=0时y=2（正确），x=1时y=-2（正确），x=2时y=-6（正确）。表中x=0时y=2，x=1时-2，x=2时-6，所以y=-4x+2。
训练86：一次函数图象的性质
一、基础题
增大，减小。
增大。
减小。
增大。
增大。
y=5x-2先到达10（x=2.4）。
y=5x-2先到达20（x=4.4）。
根据图象读取。
二、提升题
9. 2m-1<0，m<1/2。
根据图象求截距，面积=1/2|b×(-b/k)|。
有道理。k=Δy/Δx=(5-3)/(2-1)=2。
（1）减小；（2）(3/2,0)，(0,3)；（3）x<3/2。
三、拓展题
图象过一、二、四象限，k<0，b>0，选C。
y=-x+2和y=x+2关于y轴对称。
训练87：确定一次函数的表达式
一、基础题
一。
两。
（1）v=2.5t；（2）v=7.5m/s。
y=0.5x+14.5，x=4时y=16.5cm。
设y=kx，12=-4k，k=-3，y=-3x。B(3,-9)：-9=-3×3，在。
6. 1=-2+b，b=3，y=2x+3。B(1,5)：5=5在；C(-10,-17)：-17=-17在；D(10,17)：17=23 不在。
y=-3/2·x，-3=-3/2·a，a=2。
根据图象求面积。
二、提升题
（1）y=-9x+30；（2）x=10/3h。
（1）v=-10t+25；（2）t=2.5s。
（1）3cm；（2）y=0.5t+3，k=0.5表示每天长0.5cm，b=3表示初始高度；（3）8=0.5t+3，t=10天。
（1）设y=kx+b，14=3k+b，21.5=6k+b，k=2.5，b=6.5，y=2.5x+6.5；（2）39=2.5x+6.5，2.5x=32.5，x=13个。
三、拓展题
（1）k=(90-30)/(3-1)=30，路程=60km；（2）y=30t+30，k=30表示速度30km/h。
设y=kt+28，38=5k+28，k=2，y=2t+28。50=2t+28，t=11min，再等多长时间=11-5=6min。
训练88：一次函数的图象应用
一、基础题
（1）10L；（2）500km；（3）10÷500×100=2L。
（1）1200万m ；（2）10天1000万m ，20天800万m 。
t≈40天。
x=-2，y=0.5x+1，方程0.5x+1=0的解即图象与x轴交点的横坐标。
kx+b=0。
根据具体图象。
设V=-20t+1200，0=-20t+1200，t=60天。
y=1.25m时，x=2kg。
二、提升题
（1）2000元，3000元；（2）4t；（3）>4t；（4）l ：y=1000x，l ：y=500x+2000。
（1）1；（2）1.5h，40km；（3）甲40km/h，乙20km/h。
（1）y甲=x+1500，y乙=2.5x；（2）①x=800，y甲=2300，y乙=2000，选乙；②3000元：甲印1500份，乙印1200份，选甲。
（1）V=10+5t（0≤t≤16）；（2）V=60m 。
三、拓展题
（1）l ；（2）10m；（3）小明。
（1）描点；（2）近似在一条直线上；（3）t=-6.5h+25（近似）。
训练89：三角形与轴对称综合卷
一、基础题
∠B=∠C=(180°-50°)÷2=65°。
∠B=90°-35°=55°。
∠B=∠C=55°，∠A=180°-55°-55°=70°。
∠F=∠C=180°-60°-50°=70°。
∠B=90°-∠BAD=50°。
∠B=∠C=(180°-40°)÷2=70°。
AC=BC=AB=6（等边三角形）。
BD=5。
二、提升题
△ABC（AB=AC），△ABD（AD=BD），△BCD（BD=CD）。
∠CFB′=40°。
AB=8，AC=4√3。
△BCD是等腰三角形。
三、拓展题
∠BDE=∠BAD。
∠CAD=80°。
训练90：勾股定理与实数综合卷
一、基础题
c=13。
b=15。
（1）6；（2）3/4；（3）0.9。
（1）-3；（2）2/5；（3）0.6。
是。6 +8 =100=10 。
（1）10；（2）-15；（3）-2。
有理数：3.14，-4/3，0.57；无理数：π，0.1010001000001…
√5≈2.236>2.2。
二、提升题
钢索=10m。
AB=60m。
另一直角边=8cm，面积=60cm 。
最短=√(18 +12 )=6√13≈21.6cm。
三、拓展题
面积=24。
AC=12，BC=16。
训练91：全册代数计算限时专项①
一、基础题
(-2x )·3x =-6x 。
(-3a b)·(-2ab )=6a b 。
(x+2)(x+3)=x +5x+6。
(a+3)(a-2)=a +a-6。
(a+2)(a-2)=a -4。
(x-3) =x -6x+9。
{x+y=5，x-y=1}，两式相加：2x=6，x=3，y=2。
{2x+y=7，x-y=2}，两式相加：3x=9，x=3，y=1。
二、提升题
(2x-1)(x+3)=2x +6x-x-3=2x +5x-3。
(3a+b)(3a-b)=9a -b 。
{3x+2y=8，x-2y=0}，由②x=2y，代入①6y+2y=8，8y=8，y=1，x=2。
{3x+2y=12，2x+3y=13}，①×3：9x+6y=36，②×2：4x+6y=26，相减5x=10，x=2，y=3。
三、拓展题
(a+2) -(a+1)(a-1)=a +4a+4-(a -1)=4a+5，a=3时=17。
{x/2+y/3=7，x-y=6}，①×6：3x+2y=42，②x=y+6，代入3(y+6)+2y=42，5y+18=42，y=24/5=4.8，x=10.8。
训练92：全册代数计算限时专项②
一、基础题
1. 2x>8，x>4。
2. 3x≤9，x≤3。
{2x-1<5，x+2>1}，2x<6，x<3；x>-1，解集为-1{x-3>0，2x+1≥7}，x>3；2x≥6，x≥3，解集为x>3。
(6x )÷(3x)=2x 。
(8a b )÷(2ab )=4ab。
7. 3a +6ab=3a(a+2b)。
x -y =(x+y)(x-y)。
二、提升题
9. 3(x-2)≤2x+1，3x-6≤2x+1，x≤7。
{2x+1≥3，4x-7<9}，2x≥2，x≥1；4x<16，x<4，解集为1≤x<4。
a +4a+4=(a+2) 。
x -6x+9=(x-3) 。
三、拓展题
{3x-1≤2x+1，2x+3>4x-1}，x≤2；-2x>-4，x<2，解集为x<2，整数解为…所有小于2的整数。
14. 2x -8=2(x -4)=2(x+2)(x-2)。
训练93：全册计算模拟卷
一、基础题
∠C=180°-70°-50°=60°。
c=√(6 +8 )=10。
3. 8。
-3。
C。
(-3x )·2x=-6x 。
{x+y=7，x-y=3}，两式相加2x=10，x=5，y=2。
8. 2x≤6，x≤3。
二、提升题
∠A=180°-70°-70°=40°。
BC=√(13 -12 )=5。
(2x-3)(x+4)=2x +8x-3x-12=2x +5x-12。
{3x+2y=19，x+4y=13}，①×2：6x+4y=38，②：x+4y=13，相减5x=25，x=5，y=2。
三、拓展题
展开成长方形，长为24cm，高为10cm，最短=√(24 +10 )=√676=26cm。
x -4x+4=(x-2) 。

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