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2025-2026学年下学期八年级综合素质评价数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下四种不同的传统纹样中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若分式的值为，则的值为( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，点，分别是，的中点，若的周长是，则的周长( )
A. B. C. D.
4.下列式子中，因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在中，，点在边上，连接，过点作于点，若，，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.如图，一次函数为常数，且的图象经过点，则关于的不等式的解集是( )
A. B. C. D.
7.若关于的分式方程有增根，则的值是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，过点作，点在边上，连接并延长交于点，连接，以、为邻边作，若的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.因式分解： ．
10.请写一个解集为的不等式为： 只写一个
11.一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是 ．
12.如图，在平行四边形中，延长到点，连接，使若，则的度数为
13.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的倍少，一年滞尘所需的国槐树叶的片数与一年滞尘所需的银杏树叶的片数相同若设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则根据题意可得方程是 ．
14.如图，在中，，，，点是边上的动点，以为边，向下作如图所示等边，连接，则长的最小值为 ．
三、解答题：本题共12小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
因式分解：．
16.本小题分
解不等式组：
17.本小题分
解方程：．
18.本小题分
如图，某中学有、、三栋教学楼，教学楼、在校内的主干道上，教学楼在校内支路的末端．为了方便教学和管理，现计划在道路上修建一栋办公楼，使办公楼到、两栋教学楼的距离相等，请用尺规作图法在图中作出办公楼的位置保留作图痕迹，不写作法．
19.本小题分
如图，在中，，，点在边上，连接，过点作，连接，且，求证：．
20.本小题分
先化简，再求值：，其中．
21.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为点、、．
若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，画出；点、的对应点分别为点、
将绕原点顺时针旋转得到，画出点、、的对应点分别为点、、
22.本小题分
如图，在中，已知，在边上，连接，过点作，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
若，，求的长．
23.本小题分
某校为了准备跳绳比赛，计划在某文体书店购买、两种跳绳，已知种跳绳每条元，种跳绳每条元，且种跳绳比种跳绳多购买条．现该文体书店对、两种跳绳开展促销活动，活动方案如下顾客只能选择其中一种方案：
方案一：购买一条种跳绳，赠送一条种跳绳；
方案二：购买种和种跳绳都打八折．
设该校选择方案一购买跳绳所花费用为元，选择方案二购买跳绳所花费用为元，购买种跳绳的条数为条．
请分别求出、与之间的函数关系式；
当在什么范围时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用．
24.本小题分
如图，在中，平分，过点作的垂线，垂足为点，，交于点，．
求证：是等腰三角形；
求证：．
25.本小题分
骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为元个和元个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵元．某日，甲头盔的销售额为元，乙头盔的销售额为元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的倍．
求甲、乙两种头盔的销售单价；
若商店准备用不超过元的资金再购进这两种头盔共个，最多能购进甲种头盔多少个？
26.本小题分
按要求解答下列问题：
【问题探究】如图，将绕点旋转得到，点在边上，连接求证：平分；
【问题解决】如图，城市休闲广场中心摆放了一块平行四边形景观钢板，设计师将这块平行四边形钢板以顶点为旋转中心，旋转一定角度得到新的平行四边形钢板，用作配套装饰雕塑，旋转后顶点恰好落在原钢板的边上，连接，连接交于点，现场勘测测得，的边米，米，求装饰区域的面积．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】度
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：

16.【答案】解：
由得，，
由得，，
不等式组的解集为．

17.【答案】解：方程两边同乘以，得
，
解方程得：．
检验：当时，．
原分式方程的解是．
18.【答案】下图即为所求作：

19.【答案】证明：，
，
，
，
，
在和中，
，
．

20.【答案】解：
，
当时，原式．

21.【答案】【小题】
下图即为所求作：
，
【小题】
下图，即为所求作：

22.【答案】【小题】
证明：，
，
又，
四边形是平行四边形；
【小题】
解：，，，
，
四边形是平行四边形，
．

23.【答案】【小题】
解：由题意可知，购买种跳绳条，则购买种跳绳条，为正整数，
方案一：购买一条赠送一条，
共赠送条跳绳，需要付费的跳绳数量为条．
总费用，即为正整数．
方案二：两种跳绳都打八折，总费用为原价总和的．
，即为正整数．
【小题】
解：根据题意得，，即，
解得．
当且为正整数时，选择方案一所花费用小于选择方案二所花费用．

24.【答案】【小题】证明：如图：
，平分，，
，
，
，，
，
，
是等腰三角形．
【小题】
证明：由知，，
，
，，，
≌，
，
．

25.【答案】【小题】
解：设甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元
解之得：
经检验，是原方程的解．
，
答：甲种头盔的销售单价为元，则乙种头盔的销售单价为元．
【小题】
解：设购进甲种头盔个，则购进乙种头盔个，根据题意，得
解得：，
最多能购进甲种头盔个．

26.【答案】【小题】
证明：在中，，
，
由旋转知，
，
，
平分；
【小题】
解：如图，过点作，交于点，连接，作于点，
由知，
，
由旋转有，
是等边三角形，
，，
，
，
由旋转得，
四边形是平行四边形，
，
，
在与中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得，
平方米．
答：装饰区域的面积为平方米．

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