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山东省济南市市中区2025-2026学年七年级下学期6月期末
数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.剪纸是中国民间传统艺术，观察下列四幅“马年”主题的剪纸作品，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.芯片制造工艺精度极高，某芯片元件的宽度约为，数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.若的三边分别是，，，则下列条件不能判断是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
4.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.下列事件中，属于不可能事件的是( )
A. 小明买彩票中奖
B. 任意抛掷一枚硬币，正面朝下
C. 平面内任意三角形的两边之和大于第三边
D. 在一个只装有黄球和白球的盒子里摸球，摸到了红球
6.若的计算结果中不含的一次项，则的值为( )
A. B. C. D.
7.等腰三角形的两边长分别是和，则这个等腰三角形的周长为( )
A. 或 B. 或 C. D.
8.如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，，以，，为边向外作正方形正方形，正方形，正方形的面积为，正方形的面积为点在直线上，连结，，则的面积为( )
A. B. C. D.
10.如图，点是线段上的定点，点，是线段上的动点．已知点，同时分别从点，出发相向匀速运动，当点到达点后，继续保持原速向点运动．而点到达点后立即掉头，并保持原速也向点运动，经过一段时间后，，两点同时到达点．设，两点的运动时间为，两点之间的距离为，与之间的关系如图所示，有如下结论：线段的长度为；点的速度为运动时间时，，两点同时到达点；在运动过程中，，两点相距时，运动时间为或或，以上结论正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.一个正方体的棱长为，则它的体积是 ．
12.数学课上，老师与学生们做“用频率估计概率”的试验：不透明袋子中有个黑球，个黄球，个白球和个红球，这些球除颜色外无其他差别从袋子中随机取出一个球，某一颜色的球出现的频率如图所示，
则该种球的颜色最有可能是 ．
13.如图，在中，，平分，若，，则 ．
14.实验人员为了解某型号汽车耗油量，在公路上做了试验，并将试验数据记录下来，制成如下的表格．
汽车行驶时间小时
油箱剩余油量
当剩余油量为时，汽车将自动提示加油，则行驶 小时汽车将会自动提示加油．
15.在中，，，平分，点，分别是线段，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：
；
．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中，．
18.本小题分
如图，求证：．
19.本小题分
如图，在正方形网格中，是格点三角形．
若每一个小正方形的边长为，则的面积 ；
画出，使得和关于直线对称；
请在直线上找一点，使的值最小．
20.本小题分
如图，某公园内有一个不规则池塘即图中阴影部分，，两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得，间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米．
判断的形状并证明；
计算点，之间的距离．
21.本小题分
如图和图均是可以自由转动的转盘，图的转盘被平均分成等份，分别标有，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字；图的转盘被涂上红色与
绿色，绿色部分的扇形圆心角是小明转动图的转盘，小亮转动图的转盘．
如图，转到数字是 事件；填“随机”、“必然”或“不可能”
求小明转出的数字小于的概率；
小颖认为，小明转出来的数字小于的概率与小亮转出的颜色是红色的概率相同，她的看法对吗？为什么？
22.本小题分
某校数学小组为解决饭堂汤碗从厨房到就餐区的转运问题，进行调研，得到了以下信息：
信息 如图所示，单个汤碗平放高度为为节省空间，一般将汤碗如图叠放，每增加一个汤碗，总高度增加．
信息 安全起见，使用推车运送汤碗时，一次最多运叠．
请根据以上信息，解决下列问题：
如图，当个汤碗叠放，总高度为 ；
当叠放个汤碗时，总高度，则与的关系式是 ；
若要使用一辆推车运送汤碗，每叠汤碗总高度为，一次最多运送多少汤碗？
23.本小题分
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．通过构造几何图形，可以直观地解释整式乘法的法则及公式．
【探索】观察图，图，请写出，，之间的等量关系： ；
【应用】根据的结论，若，，求的值；
【拓展】如图，是线段上的一点，以，为边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，，求的面积．
24.本小题分
如图，在中，，，，动点从点出发，沿着的三条边逆时针走一圈，回到点后停止，速度为，设运动时间为秒．
边长 ：点的运动路程长为 用含的代数式表示：
若是以为腰的等腰三角形，求的值；
另有一动点，从点开始，沿着的路线运动，且速度为若，两点同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．请直接写出当为何值时，直线把的周长分成相等的两部分．
25.本小题分
问题解决
是等边三角形，点是直线上一点不与，重合，点在射线上不与，重合，且，连接，探究与的数量关系．
【特例探究】从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图，当点在边的中点时，请你直接写出线段与的数量关系 ；
【数学思考】如图，当点是边上任意一点时不是中点，同学们讨论发现结论依然成立．小颖的思路是通过作，然后证明和全等，进而得到结论．请你依据小颖的思路写出完整的证明过程；类比延伸：
【拓展应用】如图，是等边三角形，点在边上，点在的延长线上，，与的平分线所在的直线相交于点，请写出，，的数量关系并证明．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】黄球
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题】
解：
；
【小题】
解：
．

17.【答案】解：
．
其中，
原式．

18.【答案】证明：，
，
，
在和中，
，
．

19.【答案】【小题】
【小题】
【小题】

20.【答案】【小题】
解：为直角三角形，证明如下：
米，米，米，
在中，，即，
为直角三角形，；
【小题】
解：在中，，由勾股定理，得，
，
米，
米，
答：池塘两端、间的距离为米．

21.【答案】【小题】
随机
【小题】
解：共有种等可能的情况，其中转出的数字小于的情况有种，
则小明转出的数字小于；
【小题】
解：她的看法对，原因为：
图绿色部分的扇形圆心角是，
则图红色部分的扇形圆心角是，
则小亮转出的颜色是红色，
小明转出的数字小于，
两者概率相同，她的看法对．

22.【答案】【小题】
【小题】
【小题】
解：每叠汤碗总高度为，
当时，
解得：，
一次最多运叠，，
饭堂推车一次最多能搬运汤碗的数量是个．

23.【答案】【小题】
【小题】
解：根据结论得，，
，，
，
；
【小题】
解：设，
以为边向上分别作等腰和等腰，
，
，，
，
，
．

24.【答案】【小题】
【小题】
解：若点在上，则，，
，
解得；
若点在上，则，，
当时，，
解得；
当时，作于，
则，
，
，
，
解得．
综上所述，当或或时，是以为腰的等腰三角形；
【小题】
解：的周长为，．
当时，点在上，点在上，
则，，，
，
解得，
如图所示，此时点刚好运动到点；
当时，点在上，点在上，
由得，此时，不符合题意；
当时，点、都在上，，，不符合题意；
当时，点在上，点在上，
则，，
，
，
解得，
如图所示，此时点刚好回到点．
综上所述，当为或时，直线把的周长分成相等的两部分．

25.【答案】【小题】
【小题】
证明：如图，过点作，交于点，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又，
．
在和中，
，，，
，
；
【小题】
结论：
证明：过作交于，
是等边三角形，
同理可得是等边三角形，
，
，
，
在中，，，，
，
平分，
，
，
，
在与中，
，
，
．

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