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北京市昌平区2025－2026学年第二学期初一年级期末质量抽测数学
一、选择题(共16分，每小题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.
1.下图中，和互为对顶角的是( )
A. B. C. D.
2.下列调查中，适宜采用全面调查的是( )
A. 调查某班全体同学的身高情况 B. 调查某型号手机的使用寿命
C. 调查某水库中鱼的种类情况 D. 调查市场上销售的某种蔬菜农药残留情况
3.某超市统计了三类商品某天的销售金额占比分别为：食品，日用品，文具，在绘制扇形统计图过程中，计算各部分对应圆心角的度数如下，其中正确的是( )
A. B.
C. D.
4.如果，那么下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
6.某种新型纳米涂层的厚度为米．将层这样的涂层叠加，总厚度用科学记数法表示为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.已知关于，的二元一次方程组和的解相同，则的值为( )
A. B. C. D.
8.某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是( )
A. 甲是后卫，乙年龄最小 B. 乙是后卫，丙年龄最小
C. 甲是后卫，丙年龄最小 D. 乙是后卫，乙年龄最小
二、填空题(共16分，每小题2分)
9.用不等式表示“的倍大于”为 ．
10.如图，请添加一个条件，使得，这一条件可以是 ．
11.命题“若，那么”的逆命题是： ；该逆命题是一个 命题填真或假．
12.因式分解： ．
13.已知，用含的代数式表示，得 ．
14.王清同学将个数据录入表格并排序，计算中位数为，平均数为，事后核对发现，他将其中一个数据“”错录成了“”，修正后得到的中位数，平均数，则有 用“”“”或“”填空， 用含的式子表示．
序号 数据
中位数
平均数
15.“今有甲、乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱一百，乙得甲太半即而钱亦一百．问甲、乙持钱各几何？”意思是：甲、乙两人各有一些钱，如果甲得到乙所有钱的，那么甲共有钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱．设甲持有钱，乙持有钱，根据题意可列二元一次方程组为 ．
16.阅读材料，并填空：
索菲杰曼是世纪法国著名女数学家，被誉为“数学花木兰”．
她猜想并证明了“，且为自然数一定是合数”为了纪念她的发现，后人称为杰曼合数．她的证明过程就是对二项式进行因式分解．此二项式既没有公因式可提，也不能直接利用公式．她发现该二项式可化为平方和形式：，与完全平方式“”对比，缺少了中间项“”于是原式加上，为了不改变原式的值再减去，原式变为，化简得到 ，最后利用平方差公式再进行一次因式分解，可得 ，由此得证：当且为自然数时，一定能化为两个非“”整数乘积的形式，所以一定是合数．
三、解答题(共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题，每小题6分，第27，28题，每小题7分)
17.计算：．
18.先化简，再求值：已知，求代数式的值．
19.解不等式，并把解集表示在数轴上．
20.解方程组：
21.解不等式组：
22.在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点均为小正方形的顶点．现将三角形平移，使的中点平移到点，点，，的对应点分别是点，，．
画出平移后的三角形；
连接，，这两条线段之间的位置关系是 ，数量关系是 ；
平移过程中线段所扫过的面积为 ．
23.昌平区某校新增了甲、乙、丙三门校本课程，为了解学生对这三门课程的满意度，从每门课程的学生中分别随机抽取了名学生，记录他们对所选课程的满意度评分分值为的整数，并对数据进行了整理，描述和分析．下面给出了部分信息．
课程乙的学生满意度评分统计图：
课程丙的学生满意度评分：

三门课程的满意度评分的平均数和中位数如下：
课程名称 平均数 中位数
甲
乙
丙
根据以上信息，回答下列问题：
补全信息中的统计图；
信息中的值为 ，信息中的值为 ；
按照如下方法评估这三门课程：
首先比较平均数，平均数较大者学生满意度更高；
若平均数相等，则比较中位数，中位数较大者学生满意度更高；
若平均数和中位数均相等，则比较高于平均分人数，高于平均分人数较多者学生满意度更高．
按照这种评估方法，三门课程中满意度最低的是课程 ，最高的是课程 用“甲”“乙”或“丙”填空．
24.如图，点，分别在线段，的延长线上，直线与，交于点，，，，求证：．
证明：直线交于点，
．
，
．
填推理的依据
填推理的依据
，
．
．
25.某种植园需要Ⅰ、Ⅱ两种型号的化肥．Ⅰ型化肥需用原料，按进行配制；Ⅱ型化肥需用原料，按进行配制，原料现有千克，需要购入原料，，完成配制任务，若购入原料，共计千克，配制完成后所有原料刚好用完．求购入的原料，各多少千克．
26.通常用表示不大于的最大整数，如：，，，．
；
在解关于的方程时，张宏同学的思考过程如下：
设不大于的最大整数为，即；，可得的取值范围： ．
则原方程可以改写为：
整理得：
变形为：
，
．
解得：．
为整数，
，，即 ．
仿照中张宏同学的解法，解关于的方程．
27.如图，，射线交，于点，，点是射线上一点，连接，．
如图，点在线段上，求证：；
与的平分线分别是和，
如图，点在线段上，和交于点，猜想与的关系，并证明；
点在何处时，，并证明．
28.对于数轴上的点和线段，线段上存在点使得，则称点对应的数为线段的“邻数”点，在数轴上对应的数分别为和．
对于，
线段，，中，是线段 的邻数；
当，是线段的邻数时，求的取值范围；
当，且关于的方程的解是线段的邻数时，直接写出的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】答案不唯一．
11.【答案】若，那么
真

12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】解：
．

18.【答案】解：
，
，
，
原式．

19.【答案】解：，
，
，
，
画图如下：

20.【答案】解：
，得，
解得：，
将代入，得
解得，
方程组的解为．

21.【答案】解：
解不等式得，
解不等式得，
原不等式组的解集为．

22.【答案】【小题】
【小题】
平行
相等
【小题】

23.【答案】【小题】
在统计图中分位置补画高度为的条形即可。
【小题】
【小题】
甲
乙

24.【答案】
内错角相等，两直线平行
两直线平行，同位角相等

25.【答案】解：设购入的原料为千克，原料为千克，
由题意得，
解得
答：购入的原料为千克，原料为千克．

26.【答案】【小题】
【小题】

【小题】
解：设，为整数，，其中，
将其代入方程得，
整理得，变形得，
，
，
解得，
为整数，
或，
当时，，
；
当时，，
；
综上：或．

27.【答案】【小题】
证明：如图，过点作，
，
，
，．
，
．
【小题】
，证明如下：
由得，，
同理可证：，
与的平分线分别是和，
，，
．
如图，当点为射线与射线的交点时，，证明如下：
，
，
与的平分线分别是和，
，，
，
．

28.【答案】【小题】
解：
解：由题意得，点表示的数为，点表示的数为，
因为是线段的邻数，所以线段上存在点使得，
在数轴上，距离为的点有和，
所以线段必须包含或，
若线段包含，则
解得，
若线段包含，则
解得，
综上，的取值范围为；
【小题】
解：由得，
，
，
，
线段表示的数为到，
是线段的邻数，
线段上存在点使得到距离为，
即线段包含或，
即线段包含或，
当线段包含时，
解得，，
当线段包含时，
解得，，
综上，的取值范围为或．

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