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2026-2027浙江省高三年级阶段性检测
高中数学试卷
一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1． 样本数据6，8，4，5，12的中位数为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．9
2．若（i为虚数单位），则（　　）
A． B． C． D．
3．我国国旗的标准尺寸有五种通用规格（用“长×宽”表示），其中长与宽之比均为3：2.
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸（单位：cm） 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64
根据上表，可以判断五种规格国旗的（　　）
A．周长构成等差数列 B．周长构成等比数列
C．面积构成等差数列 D．面积构成等比数列
4．数据2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为（　　）
A．3 B．5 C．6 D．7
5．设直线与圆交于M，N两点，则当取最小值时，（　　）
A．1 B．2 C． D．
6． 已知函数的最大值为1，则（　　）
A． B． C． D．
7．设一个随机事件的样本空间为，事件，则下列结论中不一定成立的是（　　）
A． B．
C．若，则 D．若，则
8．若关于的方程在上恰有3个根，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9． 设，则（　　）
A． B． C． D．
10．已知函数，则（　　）
A．的最小正周期为 B．
C．的值域为 D．是图象的一个对称中心
11． 已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点，且被，，截得的弦长分别为，，，则（　　）
A．可以取任意实数
B．满足的直线共有3条
C．满足的直线多于3条
D．当时，的最大值为
三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．设函数，则　 　.
13．已知向量=（2，6），=，若∥，则　 　.
14． 已知 是偶函数，在区间单调递增，则　 　，　 　.
四、解答题：本题共5小题,每小题5分,共77分.
15．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
（1）求角C及边c的值；
（2）求的最大值.
16．在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）点在边上，连接，且，记和的内切圆半径分别为，，求的值．
17．如图，在四棱台中，上、下底面均为正方形，底面，，，，点为棱的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值.
18．已知曲线与点，O为原点，动点，且的最大值为．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知有个点，，，…，按逆时针顺序依次在E上，且，．
（ⅰ）当，关于y轴对称，且的面积为1时，求直线的斜率；
（ⅱ）当的面积都相等时，记多边形的周长为．若对于，都有，求整数的最小值．
19．在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的.
（1）求6次姿态修正后达到个单位的概率；
（2）以下三种情况将导致校准流程终止：
情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）；
情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）；
情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）.
（ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率；
（ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：样本数据从小到大排为4，5，6，8，12，则中位数为6.
故答案为：B.
【分析】先将数据从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：C.
【分析】先根据复数代数形式的乘除运算化简，再根据复数模的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】等差数列概念与表示；等比数列概念与表示
【解析】【解答】解：由题意得
规格 一号 二号 三号 四号 五号
尺寸 288×192 240×160 192×128 144×96 96×64
周长 960 800 640 480 320
面积 55296 38400 24576 13824 6144
则，周长构成等差数列，
，周长不构成等比数列，
，面积不构成等差数列，
，面积不构成等比数列.
故答案为：A.
【分析】分别计算每个规格的周长和面积，再根据等差数列与等比数列的定义求解判断即可.
4．【答案】D
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列：2，3，3，5，6，7，8，10，
因为，不是整数，所以该组数据的第70百分位数为第6个数字，
即数据 2，3，3，5，6，7，8，10的第70百分位数为 7.
故答案为：D.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分数的定义求解即可.
5．【答案】C
【知识点】用斜率判定两直线垂直；恒过定点的直线；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：直线化为，则直线过定点，
易知圆的圆心为，半径，
因为点到圆心的距离，所以直线与圆相交于M，N两点，
且与垂直时，最小，此时，且，则.
故答案为：C.
【分析】化简直线为，求得直线恒过定点，易知圆心为，和半径，由题意可得与垂直时，最小，利用斜率公式，结合直线垂直斜率之积为-1，求解即可.
6．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
令，解得，即，
由题意可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】求函数定义域，再求其导函数，令，求得，由题意可得，求得，代入即可得的值.
7．【答案】D
【知识点】概率的基本性质；互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；事件的包含与相等；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【解答】解：对于A，任意事件的概率都满足，故成立；
对于B，因为是事件的对立事件，所以，
则，故成立；
对于C，因为，所以，事件包含事件所有的样本点，
则，故成立；
对于D，由，仅能说明事件和事件的并集为样本空间，
但并未说明事件和事件是否互斥，
由概率的加法公式，得，
因此，只有当时，即当时，才成立，故不一定成立.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和概率的基本性质，则判断出选项A；利用对立事件定义以及互斥事件加法求概率公式，则判断出选项B；利用集合间的包含关系判断出，则判断出选项C；利用并事件求概率公式和交事件求概率公式，则判断出选项D，从而找出不一定成立的选项.
8．【答案】A
【知识点】函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：如图，作出的函数图象，其中，是函数的对称轴，
当与有三个交点时，
则，，
所以，，
则.
故答案为：A.
【分析】利用余弦型函数图象的对称性和函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，从而得出的值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：A、由复数，可得，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据共轭复数的定义求解即可判断A；根据复数的模长公式求解即可判断B；根据复数代数形式的乘法运算求解即可判断C；根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的概念即可判断D.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的值；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为函数，
所以，的最小正周期为，故选项A错误；
因为，，
故选项B正确；
因为，，
所以的值域为，故选项C正确；
当时，，
因为，
所以是图象的一个对称中心，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】由正弦型函数的最小正周期公式，则判断出选项A；利用代入法计算函数值，则判断选项B；利用已知条件和正弦型函数求值域的方法，则判断出选项C；利用已知条件和正弦型函数判断对称性的方法，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】直线与圆相交的性质；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：易知圆心分别为，，
设圆心到直线的距离为，则，且，
，
当时，直线不可能与同时交两个点（如图），故A错误；
B、当 时， ，
由，可得，平方得，即或，
①当时，直线为，由，可得，解得，，符合条件，对应直线条；
②当时，直线为，由得，解得，
此时，符合条件，对应直线条，综上，共条直线满足条件，故B正确；
C、当时， ，，
令，则，即 ，
令，即，
平方整理可得，解得或，即或，
经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，故C正确；
D、当时，，，
则 ，，
令，则，即 ，
设，求导得，
令，解得，取最大值，
则 的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】易知圆心和半径，设圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式表示，再利用勾股定理表示弦长，取，作出图象，直线不可能与同时交两个点，即可判断A；若，则，分和讨论求直线的条数，即可判断B；当时，令，则，即 ，平方整理求得k的值，经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，即可判断C；当时，，，再表示，，， 令，换元可得，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最大值即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：2.
【分析】根据函数的解析式，直接代值计算即可.
13．【答案】-3
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：由∥，
可得
故答案为：-3.
【分析】利用已知条件和向量平行的坐标表示，从而得出实数的值.
14．【答案】；1
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数 是偶函数 ，则，
因为，所以或，
当时，函数，不满足在区间单调递增 ，故舍去；
当时，函数，当时，，因为在区间单调递增 ，则，解得，因为，所以或，
则函数或，
或.
故答案为：.
【分析】由函数为偶函数结合的范围，求得或，当时，函数不满足函数在上单调递增，舍去，则，当时，函数，根据函数在区间单调递增，求得a的值，确定函数解析式，再计算即可.
15．【答案】（1）解：，由余弦定理可得，
因为，所以，
由，得，根据正弦定理，可得；
（2）解：由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用余弦定理，结合正弦定理求解即可；
（2）由（1）知，利用基本不等式求解即可.
（1）由，
根据余弦定理，得，
因为，则.
由，得，
根据正弦定理，得，则.
（2）由（1）知，，
则，即，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为4.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，且，
则，可得，
所以.
（2）解：由（1）可知：且，，
由余弦定理，
可得，
则，所以，
则且，
可得，
在中，则，
解得；
在中，则，
解得，
所以.
【知识点】余弦定理的应用；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可得，再结合三角形中角的取值范围和不等式的性质，从而结合正弦型函数的图象，进而得出角A的值.
（2）利用（1）和余弦定理可得的值，再利用勾股定理和中点的性质，从而得出角B的值和、的长，再利用三角形等面积法得出和的值，进而得出的值.
（1）因为，即，
且，则，
可得，所以.
（2）由（1）可知：，且，，
由余弦定理可得，即，
则，则，
且，可得，
在中，则，解得；
在中，则，解得；
所以.
17．【答案】（1）证明：连接交于点，如图所示：
由是正方形，得点为的中点，
因为为的中点，
所以为的中位线，
则，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面，，
则以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示：
因为，
所以，
又因为点为棱的中点，所以，
设平面的一个法向量为，
因为，
则，所以，
令，则，所以，
设平面的一个法向量为，
又因为，
则，所以，
令，则，
记平面与平面的夹角的大小为，则：
由图可知，平面与平面的夹角为锐角，
则.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 利用三角形中位线性质以及线面平行的判定定理证明即可；
（2）利用线面垂直和线线垂直，从而建立空间直角坐标系，则求出相应的点的坐标和向量坐标，求出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式得出平面与平面夹角的正弦值.
（1）证明：连接交于点，如图所示：
由是正方形得为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，
于是，又因为平面，平面，
所以平面.
（2）由已知，平面，，
所以以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
因为，
所以，
因为点为棱的中点，所以，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，则，
设平面的一个法向量为，
又，
则，即，
令，则，
记平面与平面的夹角的大小为，则：
，
由图可知平面与平面的夹角为锐角，
故.
18．【答案】（1）解：设过点的切线为．
联立．
因为是切线，则，
化简得，则，
又取最大值时，为切线，且．
.
（2）解：（i）由（1）知椭圆为．
设.
则.
又.
因，则得，
故，即直线的斜率为．
(ii)设，
.
则．
题目条件为各面积相等，．
当时，设．
记．
则，
设，则，
.
又，
.
当时，若存在，由得．
又，其余各，这与矛盾．
．
记．则
.
故.
又，
.
由柯西不等式，．
又．
又．
取，则满足面积相等，
且．
又对一切满足条件的，都有．
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设过点的切线为，利用判别式求出即可；
（2）（i）设，根据面积可得，再求斜率即可；
（ii）设，写出相关面积表达式，再分和时讨论即可.
（1）设过点的切线为．
联立．
因为是切线，则，
化简得，则，
又取最大值时，为切线，且．
.
（2）（i）由（1）知椭圆为．
设.
则.
又.
因，则得，
故，即直线的斜率为．
(ii)设，
.
则．
题目条件为各面积相等，．
当时，设．
记．
则，
设，则，
.
又，
.
当时，若存在，由得．
又，其余各，这与矛盾．
．
记．则
.
故.
又，
.
由柯西不等式，．
又．
又．
取，则满足面积相等，
且．
又对一切满足条件的，都有．
19．【答案】（1）解：若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，
且每次正方向和负方向修正的概率均为，
故6次姿态修正后达到个单位的概率为.
（2）解：（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为，“能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种，
则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择，
故“完成6次修正”总的路线共有种，
“校准到位”的路线有共有4种，
故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为.
（ⅱ）随机变量的取值为2，4，6，
表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故，
表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向，
故，
，
的分布列如下：
2 4 6
故

【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据题意，6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，再结合二项分布的概率公式即可求解，
（2）（i）列举所有的路线，再根据概率公式求解；（ii）随机变量的取值为2，4，6，再求出对应概率，写出分布列并计算期望.
（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正，
且每次正方向和负方向修正的概率均为，
故6次姿态修正后达到个单位的概率为.
（2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为，
“能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种，
则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择，
故“完成6次修正”总的路线共有种，
“校准到位”的路线有共有4种，
故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为.
（ⅱ）随机变量的取值为2，4，6，
表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故，
表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向，
故，
，
的分布列如下：
2 4 6
故
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