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2026年山东省聊城市阳谷县九年级考前测试 数学试题
一、单选题
1．如图，在数轴上，被遮挡住的点表示的数可能是（ ）
A． B． C． D．
2．中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知m，n是一元二次方程的两个根，且，则的值是（ ）
A． B． C．2 D．8
6．如图，四边形内接于，它的一个外角，分别连接，，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
7．神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，正方形和正方形的顶点A，E，O在同一直线l上，且，，点M、N分别是线段和的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，分别经过原点O和点的动直线a，b，其夹角，点M是中点，连接，则的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．
二、填空题
11．分解因式：________．
12．在化学元素“H”“”“”“O”中，任意选择两种化学元素，恰好都是水的组成元素的概率是______．
13．一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ．
14．若关于的分式方程无解，则_________．
15．定义：有两个内角的差为的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在中，，，点为边上一点，若为“反直角三角形”，则的长为___________．
三、解答题
16．按要求完成下列各题：
(1)计算：．
(2)先化简，再求值：，其中x满足．
17．随着科技的发展人工智能渐渐走进了人们的生活，现从甲、乙两款人工智能软件调查得分中分别随机抽取了20个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用x表示），共分为四组，A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息．
甲款人工智能软件得分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款人工智能软件在C组内（）的所有得分数据：85，86，87，88，88，88，90，90．
甲、乙两款人工智能软件得分统计表：
软件 平均数 中位数 众数 方差
甲 86 85.5 b 96.6
乙 86 a 88 69.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若本次调查有900名用户对甲款人工智能软件进行了调查评分，有1200名用户对乙款人工智能软件进行了评分，估计其中对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数．
18．如图1是“宇树科技”机器人“”在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，另一腿的大腿部分与所成的角度为，小腿部分刚好平行于地面，即于点，，．已知，，．是机器人“”小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分）求：
(1)的度数；
(2)点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，）
19．在中按以下步骤进行尺规作图．
（1）①以为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；
②以点为圆心，以长为半径画弧交于点；
③以点为圆心，以长为半径画弧交前弧于点；
④作射线交于点．
（2）以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点、．分别以点、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点．
请根据上述尺规作图过程，
(1)证明：；
(2)已知，，求的值．
20．随着智能化家电逐渐走进千家万户，扫地机器人凭借便捷高效的清洁优势备受青睐．小明家购买了一台扫地机器人，经过多次使用后发现，该扫地机器人在工作过程中，打扫面积y（平方米）与显示电量x（）近似满足函数（，不考虑其他耗电问题），且在满电量状态下打扫30平方米后，显示电量为．
(1) ；
(2)为延长扫地机器人的使用寿命，建议电量剩余时开始充电．按此建议，该扫地机器人，在满电量状态下打扫多少平方米后开始充电？
(3)已知该扫地机器人电池容量为，充电功率为，其中电量（）充电功率（W）充电时间（h）．满电量的扫地机器人先打扫了100平方米后停止工作，再充电t小时，电量显示为，求t的值．
21．如图，在中，点D是边的中点，且，点O在边上，经过点C且与边相切于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的面积．
22．在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围．
(3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围．
23．在四边形中，，，分别为边，上的两点，连接，相交于点，且满足．
(1)如图1，如果四边形为矩形时，求证：．
(2)如图2，如果四边形为平行四边形时，试问（）的结论是否依然成立？并说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，，，点M、N分别在边、上，且，求的值 ．
参考答案
1．C
解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0，
∴四个选项中只有C选项中的数符合题意，
故选：C．
2．C
解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
不是中心对称图形；
B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形；
C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴是中心对称图形；
D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，
∴不是中心对称图形．
故选：C．
3．C
解：几何体的主视图为：
即C选项符合题意．
4．C
解：A、，A错误．
B、和不是同类二次根式，， B错误．
C、， C正确．
D、， D错误．
故选C
5．B
解：∵m，n是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
解得，
经检验：是原方程的解，
故选：B．
6．A
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴，
∵，
∴，
∴，
由圆周角定理得，，
故选：A．
7．B
解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得：，
∴，
∵x、y均为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案．
故选B．
8．C
解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意；
B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意；
D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意；
故选：C．
9．D
解：连接，，交直线l于点G，
∵正方形中，，
∴，，
∵正方形的边长，
在中，，，
∴，
∵点M、N分别是线段和的中点，
∴是的中位线，
∴，
故选：D．
10．C
解：作的外接圆，连接，取的中点Q，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴点M在以Q为圆心，4为半径的圆上运动，画出，
当M在与的交点时，连接交于M，此时有最小值，
∵是等边三角形，，
∴，
∵，，
∴．
∴的最小值是，
故选：C．
11．
解：．
12．
解：∵从H、、、O四个元素中任意选择两种化学元素，
∴所有可能的结果有，共6种．
其中，恰好都是水的组成元素（即H和O）的结果只有这1种．
因此，所求概率为．
故答案为：．
13．13
解：如图所示：是的直径，过作，连接，
依题意，，
∵，
∴，，
∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，
∴，
在中，，
即这枚古钱币的半径为，
故答案为：13
14．或1
解：
两边同乘以得，，
整理得，
①当时，该整式方程无解，
此时；
②当时，要使原方程无解，
则，即或，
把代入整式方程，a的值不存在，
把代入整式方程，得，解得．
综合①②得或．
故答案为：或1．
15．或
解：，
，
，
，
，
若为“反直角三角形”，
①当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
②当时，过点作交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，，
，
，
；
③当时，
，，且，
，
，
若，则，即，
此种情况不存在；
④当时，
当点与点重合时，最小，此时，
同③理可证，此种情况不存在；
综上可知，的长为或，
故答案为：或．
16．(1)；
(2)化简结果为，值为；
（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
，
，
将代入，得：原式．
17．(1)86.5，85，20
(2)乙款人工智能软件更受用户欢迎，
理由如下：(本题理由不唯一，合理即可参照给分）
∵甲款和乙款的平均数相同，乙款的方差小于甲款的方差，
∴乙款人工智能软件比较稳定，
∴乙款人工智能软件更受用户欢迎.
(3)估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（90＜x≤100）的总用户数为510名
（1）解：：乙款抽取的名用户的得分中排第，第位的数据为：，，
所以乙款得分的中位数为：，
甲款抽取的名用户的得分中出现的次数最多，所以甲款得分的众数为：，
组人数，
所以，故，
故答案为：，，．
（2）略
（3）∵（名）．
∴估计该次调查对甲、乙两款人工智能软件非常满意（）的总用户数为510名．
18．(1)
(2)点距离地面的高度约为
（1）解：如图，过点作
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
（2）解：如图，过点作，过点作，交于点，则四边形是矩形，
∴，
在中，
∴
∴
答：点距离地面的高度约为．
19．(1)
证明：由作图步骤得：，，
是的外角，
，
是的外角，，
，
；
(2)
【详解】（1）略
（2）解：，，
，
，
，
，
，，
．
20．(1)200
(2)140平方米
(3)
【详解】（1）解：把代入，
得，
所以．
（2）解：由（1）得，
当时，．
答：建议在满电量状态下打扫140平方米后开始充电．
（3）解：当时，代入，
得，解得：，即此时电量为．
由题意得，
解得：．
21．(1)见解析
(2)30
【详解】（1）解：∵点D是边的中点，且，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∵点O在边上，
∴为的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）可知，，
∴在中，，，
∴，
∴，
如图所示，连接，
∵经过点且与边相切于点，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴．
22．(1)抛物线的顶点坐标为
(2)
(3)
【详解】（1）解：把代入抛物线，得
解得．
∴．
∴抛物线的顶点坐标为．
（2）∵，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4，
∴，
∴当时，最小为，当时，最大为，
∴；
（3）∵直线向下平移个单位长度，
∴平移后直线解析式为．
由得，即．
∵直线与抛物线有两个交点，
∴方程有两个不相等的实数根．
∴．
解得．
又当时，，
解得，
∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上，
∴的取值范围为．
23．(1)
证明：四边形为矩形，，
，
，
，
，
，
，
，
，
(2)
仍然成立，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
(3)
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：过点 C 作 于 点H
∵，
∴
又∵
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴．

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