资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
13.3.2 三角形的外角 暑假预习练 2026-2027学年
初中数学人教版（2024）八年级上学期
一、单选题
1．如图，飞机要从地飞往地，因受大风影响，一开始就偏离航线（）（即），飞到了地，经地的导航站测得．此时飞机必须沿某一方向飞行才能到达地．则这一方向与方向的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，直线，点A在直线上，点在直线上，且，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，直线，，．若．则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，为延长线上一点，与的平分线相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若，则；
结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
二、填空题
10．如图，，，，则____．
11．墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图1，在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点，另一端固定在另一个点，绷紧并提起墨线中段，此时，如图2，则的度数为_______．
12．如图，在中，，点，分别是边，上的两个定点．若点在线段上运动，当时，则_____．
13．如图，、分别为的内、外角平分线，、分别为的内、外角平分线，若，则_______．
14．如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在外的点处，若，则的度数为_____．

15．如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则______°，______°．
16．图1是消防云梯作业图，图2是小明绘制的示意图．示意图由救援台、延展臂在的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成．在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平，图中所有的点在同一竖直平面内，已知延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，且，则这时展角的度数为_____．
17．如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为_________度．
三、解答题
18．如图，中，于点D，平分，点F在的延长线上，过点C作直线，且．求的度数．
19．如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E，
(1)若，，求的度数．
(2)探究，，的关系，并说明理由．
20．综合与探究
【感知】如图1，在中，、分别是和的角平分线．
【应用】
（1）若，则___________；若，则________；
（2）求与之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形中，、分别是和的角平分线，求与的数量关系．
21．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．
（1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明：
（2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题：
【类比探究】
①如图2，已知，求的度数；
【拓展延伸】
②如图3，已知，求的度数．
22．中，，点D，E分别是边上的点，点P是一动点，令，．
初探：
（1）如图1，若点P在线段上，且，则________；
（2）如图2，若点P在线段上运动，则之间的关系为__________；
（3）如图3，若点P在线段的延长线上运动，则之间的关系为__________．
再探：
（4）如图4，若点P运动到的内部，写出此时之间的关系，并说明理由．
（5）若点P运动到的外部，请在图5中画出一种情形，写出此时之间的关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B B C A A C C A C
1．B
【分析】本题主要考查了三角形外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，据此可得结论．
【详解】解：∵是的外角，
∴．
∴这一方向与方向的夹角的度数为．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质．根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．延长交于点．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求解．
【详解】解：如图，延长交于点．
，，
，
．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直定义，角平分线定义，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．延长交直线于点，由，，可得，通过平行线的性质可得，最后通过角平分线定义和三角形外角性质即可求解；
【详解】解：延长交直线于点，如图，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
故选：．
5．A
【分析】此题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先求出，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】如图所示，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴．
故选：A．
6．C
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，由角平分线的定义得到，再根据得到，则．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7．C
【分析】此题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，三角形的外角性质．由平行线的性质得到，再由三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
9．C
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质的应用等知识，熟练掌握以上知识并会利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可求出，再根据角平分线的定义和三角形外角性质即可求出；根据角平分线的定义和三角形外角性质求解的度数即可；
【详解】解：，为 的平分线，
，
，
为 的平分线，
,
故结论Ⅰ正确；
，
又 为 的平分线，
，
为 的平分线，
，
，
故结论Ⅱ正确；
故选：C．
10．25
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据邻补角的定义得到，根据平行线的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：25．
11．/120度
【分析】本题考查的是邻补角的性质，三角形的外角的性质，先求解，再利用三角形的外角的性质可得答案.
【详解】解：如图，
由邻补角的性质可得：；
∴，
故答案为：
12．/125度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，连接，根据三角形外角的性质可得，再根据，即可求解．
【详解】解：连接，
∵是的一个外角，是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
13．/度
【分析】此题考查了三角形内角和外角角平分线的相关知识，涉及到三角形外角等于与其不相邻的两内角和的知识，掌握以上知识是解题的关键．根据，分别为的内、外角平分线分别设，，再根据，分别为的内，外角平分线，得到和 ，最后根据 和 求出 即可．
【详解】解：，分别为的内、外角平分线，
，，
设，，
，，
又，分别为的内，外角平分线，
，，
，，
又，
，
又，
，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：如图：

，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案是：．
15．
【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，的平分线，
∴，，
∴
，
∵是的平分线，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
又，
，
，解得：，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了角平分线的意义，直角三角形两个锐角互余，三角形外角的性质，邻补角的意义，解题关键是利用三角形外角的性质求解．
16．166
【分析】本题主要考查平行线的性质，垂线的定义，解答的关键是作出正确的辅助线．延长，，相交于点，延长交的延长线于点，利用平行线的性质可求得，再利用三角形内角和定理求出的度数，从而求得的度数．
【详解】解：延长，，相交于点，延长交的延长线于点，如图：
平行，，
，
延展臂与支撑臂所在直线互相垂直，
，
∴，
．
故答案为：166．
17．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据题意找出角度之间的数量关系是解题关键．连接，并延长至点，由内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，求出的度数即可．
【详解】解：如图，连接，并延长至点，
在中，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
应调整为．
故答案为：．
18．11°
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据平行线的性质可求解，根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后感觉三角形外角的性质可得，然后根据垂直的定义以及角的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴ ，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵于点D，
∴，
∴．
19．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，角平分线的性质；熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.
（1）先根据三角形外角的性质得出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论；
（2）先由三角形外角的性质得出，故可得出，再由即可得出结论；
【详解】（1）解：∵，，
∴，
平分，
∴，
，
；
（2）解：，理由：
，，
，
，
，
；
20．(1) ； ；
(2)，证明见解析；
(3)
【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可；
（2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解；
（3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解．
【详解】（1）解：若，
∵分别是和的平分线，，，
∴，
∴．
若，
∵分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；；
（2）解：；理由如下：
∵分别是和的平分线，
∴，，
∴
；
（3）解：．
如图，延长，交于点E，由（2）知，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
即．
21．（1），证明见解析；（2）①；②．
【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题．
（1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可；
（2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解；
（3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解．
【详解】解：（1）．
证明：如图，连接，并延长至点，
∵，，
∵
∴
∴；
（2）①如图，连接，
由（1）可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴；
②如图，在直线上取一点，连接，
由①可知，
∵
∴
∵
∴
∴
∴．
22．（1）130
（2）
（3）
（4），理由见解析
（5）或，图见解析，理由见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，对顶角相等等，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
（1）如图1所示，连接，证明即可得到答案；
（2）只需要证明即可得到答案；
（3）利用三角形外角的性质求解即可；
（4）利用三角形外角的性质求解即可；
（5）根据题意画出图形，利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图1所示，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，，，
∴
故答案为：；
（3）解：设与交于F，
∵，，
∴，
故答案为：；
（4）解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴；
（5）解：如图5-1所示，
∵，
∴
如图5-2所示，
∵，
∴
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑