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13.3.1 三角形的内角 暑假预习试题
2026-2027学年初中数学人教版（2024）八年级上学期
一、单选题
1．已知中．，，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知中，，平分，，为上一点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，点是边延长线上一点，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在三角形中，点在上，连接，平分交于点，交于点，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，，将一副三角板如下图摆放，其中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．在下列条件中：①；②；③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，． 若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图．在中，，，分别平分和，且相交于，，于点，则下列结论：；；；；其中正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
9．在三角形纸片中，，点为边上靠近点处一定点，点为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点落在点处．
①如图1，当点落在边上时，；
②如图2，当点落在内部时，；
③如图3，当点落在上方时，；
④当时，或，以上结论正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．有下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论为（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
二、填空题
11．如图，，，，则的度数为______．
12．如图，将一角折叠，若，则_______．
13．如图，在中，和的平分线，相交于点G，若，则的度数为________．
14．如图，将一副三角板按如图方式摆放，，，．若，过点F作，则的度数是__________°．
三、解答题
15．求出下列各图形中x的值：
16．如图，在中，．求x的值．
17．如图，已知：在中，，，点E、F分别为边、上的点，且．求证：．
证明：，
（______），
．
又，
____________．
，
______．
（______）．
18．在，，，求，，的度数．
19．如图，在中，，．
(1)求的度数；
(2)若交于点，求证：是直角三角形．
20．如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点B反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即，如图2，和是两块平面镜，平面镜可以绕F转动一定的角度（），入射光线经过两次反射后，得到反射光线．
(1)当时，则______；
(2)若光线，判断与的位置关系，并说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B B B D B D C A
1．D
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解．
【详解】解：中．，，
∴，
故选：D．
2．D
【分析】先根据角平分线的性质求出和的度数，再利用直角三角形的性质求出的度数，接着根据平行线的性质求出的度数，最后求出的度数．本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形的性质以及平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
【详解】解：平分，
故选：．
3．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，先求三角形内角和定理求出的度数，再由平行线的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
4．B
【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题意易证，推出，由得到，求出，结合，利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，由即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了三角板的角度计算、平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：延长交于I， 由直角三角板可得：，则；由平行线的性质可得，然后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：延长交于I，
由直角三角板可得：，则，
∵，
∴，
∴．
故选B．
6．D
【分析】本题考查三角形内角和的应用和直角三角形的判断．根据三角形内角和为，逐一分析各条件是否能推导出三角形中存在一个直角．
【详解】解：①：
由内角和得，解得，故为直角三角形．
②：
总份数为，最大角，故为直角三角形．
③：
变形得，则，故为直角三角形．
④：
设，则．由，解得，故为直角三角形．
综上，四个条件均成立，
故选：D．
7．B
【分析】根据得到，得到继而得到， ，利用平行线的性质，三角形内角和定理，平角的电柜解答即可．
本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，平角的定义，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．D
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，对等角相等，三角形内角和定理，根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断；只需要证明，，即可判断；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴，，
∵，
∴，故正确；
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，故正确；
∵，
∴，
∵，分别平分和，
∴，，
∴，
∴，故正确；
∴，
∴，故正确；
综上正确的结论是，
故选：．
9．C
【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关键．
①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据
即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可；
【详解】解：①如图1，当点落在边上时，
根据折叠性质可得，
∴，故①正确；
②如图2，当点落在内部时，
根据折叠性质可得
∴
，故②正确；
③如图3，当点落在上方时，；
根据折叠性质可得
∴
，故③正确；
④当时，

∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠性质可得，
∴，
∴；
当时，

∵，
∴
∵，
∴，
根据折叠性质可得，，
∴，
∴，
∴；
综上或；故④错误；
故选：C．
10．A
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，由垂直可得，由平行线的性质得，，进而可得，即得，即可判断①；由平分可得，由已知无法得知，即可判断②；由，可得，进而由，可判断③，综上即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
若平分，则，
∴，
∴，
显然，无法得知，故无法确定是否平分，故②错误；
∵，，
∴，
∵，，
∴，故③正确；
综上，正确的结论为①③，
故选：．
11．/63度
【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等，由，，，得，然后代入即可求解，掌握三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
12．/144度
【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：由翻折的性质可知，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查角平分线和三角形内角和定理，熟练利用角平分线的性质和三角形内角和定理找出题目中角的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知，，再由三角形内角和定理可知，即可求解．
【详解】解：，
，
和分别是和的平分线，
，，
，
故答案为：．
14．75
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，三角板中的角度计算问题，由三角板中的角度可知，由平行线的性质得出，再根据三角形内角和定理得出，最后再根据平行线的性质即可求出的度数．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：75．
15．图（1）中；图（2）中；图（3）中；图（4）中
【分析】本题考查三角形内角和定理，利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：图（1）中：，即；
图（2）中：，解得：，即；
图（3）中：，解得：，即；
图（4）中：，解得：，即．
16．
【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意利用三角形内角和定理求出，由，求出，再利用三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：在中，，
，即，
∵，
∴，
∴，即．
17．垂直的定义；；B；；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键．
由余角的性质推出，得到．判定．
【详解】证明：，
（垂直的定义），
，
又，
，
，
，
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行．
18．，，
【分析】本题考查了三角形内角和定理，一元一次方程的应用，正确的计算是解题的关键．
设，则，，根据三角形内角和定理列方程求解即可．
【详解】解：∵，，
设，则，，
根据题意得，，
解得
∴，
∴，．
19．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查三角形的内角和定理，平行线的性质，直角三角形的判定，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键：
（1）根据三角形的内角和定理进行求解即可；
（2）根据平行线的性质，求出，三角形的内角和定理得到，即可得证．
【详解】（1）解：在中，，，
∴；
（2）∵，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴是直角三角形．
20．(1)25；
(2)，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行线的性质，垂线的定义，三角形内角和定理，正确理解题意是解题的关键．
（1）由镜面反射的性质得到；
（2）由平行线的性质推出，由镜面反射的性质得到，由平角的定义得到，求出，得到，因此．
【详解】（1）解：由镜面反射的性质得到：，
故答案为：25；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
由镜面反射的性质得到：，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴．
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