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13.3.2 三角形的外角 暑假预习试题 2026-2027学年
初中数学人教版（2024）八年级上学期
一、单选题
1．如图，从处观察，两处的视角，从处观察处的仰角为，点，在同一水平线上，则从处观察处的仰角为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，平放在桌面上的烧杯中放着液体，当光线从空气射入液体中时，光线的传播方向会发生改变．若图中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．一副三角板如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．一台起重机的工作简图如图所示，吊杆与吊绳的夹角为，在同一平面内，将逆时针旋转后到的位置，则吊杆与所连吊绳的夹角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直尺上，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，是边上的高，是的平分线，，交于点．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一个平面镜放置在两个互相平行的挡板和之间，平面镜与挡板形成的锐角为．一支激光笔从点处发出的光束投射到平面镜上的点处，反射光束投射到挡板上的点处．设光束所在直线与挡板的交点为，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．把一副直角三角尺如图摆放，点B与点E重合，边与边都在直线l上，将向右平移到，此时边经过点D，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，的边在直线上，与的平分线交于点D，的平分线交于点E．若，，，则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的大小是____．
11．如图，和是的外角，若，则的度数是________．
12．如图，已知三点共线，连接，如果，那么的度数为___________．
13．如图．是的外角的平分线．，．则的度数是_______度．
14．如图，在中，平分，若，则的度数为_______．
15．如图，已知，为的边上的一点，且，．那么________．
16．如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为_____．
三、解答题
17．如图，是的外角，求的度数．
18．如图，两个外角的平分线交于点P．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
19．如图，为的角平分线，点为上的点，过点作交的延长线于点．若，，求的度数．
20．如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的度数．
21．已知：，平分，交于点C，E是射线上一动点，连接．
(1)如图Ⅰ，，，求证：；
(2)如图Ⅱ，点E在直线上方，的度数为m，，求的度数．（用含m的式子表示）
22．在中，．
(1)如图①，若平分平分，则___________．
(2)如图②，若和的外角平分线、相交于点，则___________；
(3)如图③，若的平分线与的外角平分线相交于点，求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 D D D C C C A D A
1．D
【分析】本题考查了三角形外角性质，延长至点，由三角形外角的性质得，据此解答即可，掌握三角形外角性质是解题的关键．
【详解】如图，延长至点，
是的外角，
，
∵，，
，
即从处观察处的仰角为，
故选：．
2．D
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义，熟练掌握性质定理是解题的关键．
根据平行线的性质得出，再根据三角形外角的定义即可得出答案．
【详解】解：如图：
，，
，
，
，
故选D．
3．D
【分析】本题考查了三角形外角的性质，对顶角相等，三角形内角和定理等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键．如图，由题意知，，由三角形外角的性质得到，求出，由对顶角的定义得到，再根据三角形内角和定理得到，最后由对顶角的定义即可得到结果．
【详解】解：如图，由题意知，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，由平行线的性质得，再根据三角形的外角性质求出即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
即夹角为，
故选：．
5．C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据三角板可得，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的有关计算，三角形的外角性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由直角三角形锐角互余以及角平分线得到，再由三角形的外角性质得到，即可求解．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，延长交n于K，由三角形的外角性质得到，由平行线的性质推出．
【详解】解：延长交n于K，
∵平面镜与挡板n形成的锐角为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
8．D
【分析】本题考查了平移的性质、三角形外角的定义及性质、三角板中角度的计算，由平移的性质可得，由题意可得，由三角形外角的定义及性质求出，即可得解．
【详解】解：由平移的性质可得：，
由题意可得：，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9．A
【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和知识点，熟练运用三角形外角的性质是解题的关键；根据与的平分线交于点，的平分线交于点，设，，，可以得到，再结合，根据三角形内角和整理可以得到：．
【详解】解： 与的平分线交于点，
，，
∵的平分线交于点，
，
是的外角，
，
，
是的外角，
，
，
，
，
在中，，
，
，
故选：A．
10．
【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，三角形的外角的性质，先求解，，再利用三角形的外角的性质求解即可.
【详解】解：如图，∵，，

∴，，
∴．
故答案为：．
11．/36度
【分析】本题考查三角形的外角，根据三角形的外角的性质，结合平角的定义，得到，即可得出结果．
【详解】解：∵和是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数是．
故答案为：
12．/度
【分析】本题主要考查了平行线的性质及三角形的外角的性质，根据三角形的外角的性质可得，进而根据平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13．75
【分析】本题主要查了三角形外角的性质．先根据角平分线的定义可得，然后根据三角形外角的性质解答，即可．
【详解】解：∵是的外角的平分线，，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：75
14．
【分析】由三角形的内角和定理可求解的度数，结合角平分线的定义可得的度数，利用垂直的定义以及三角形外角性质得，最后运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
15．
【分析】本题考查了本题主要考查了三角形内角定理、三角形外角的性质，首先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，可以求出，再根据三角形内角和定理求出．
【详解】解：，
，
，
，
在中，，
．
故答案为：．
16．/230度
【分析】本题考查角平分线的定义，四边形的内角和，三角形的外角，先根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角得出，进而求出，根据，进而可得出答案．
【详解】解：∵和的平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，根据三角形外角的性质得到，再由三角形内角和定理得到，据此可得答案．
【详解】解：∵∠1、∠2、∠3是的外角，
∴，
∵，
∴．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键：
（1）三角形的内角和定理，求出的度数，根据外角的定义结合角平分线的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可；
（2）同法（1）进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵两个外角的平分线交于点P，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
（2）由（1）可知：，
∴当时，．
19．
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，三角形外角性质，据三角形内角和定理计算出，再根据角平分线的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，然后利用互余得到的度数，熟知相关概念是解题的关键．
【详解】解：，，
，
为的角平分线，
，
，
，
，
．
20．(1)
证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
(2)
【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键．
（1）由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解；
（2）根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
21．(1)
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
(2)
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线定义理解，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
（1）根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质，求出，即可得出答案；
（2）根据的度数为m，，求出，，根据平行线的性质求出，根据角平分线定义求出，根据平行线的性质求出，最后根据三角形外角的性质求出结果即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵的度数为m，，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理：三角形内角和为．也考查了三角形外角的性质以及角平分线的定义．
（1）根据三角形内角和定理得到，则，再根据角平分线的定义得，则，得，即可求解．
（2）根据三角形内角和定理和外角性质可得到；
（3）根据角平分线的定义得，由三角形外角的性质有，则，即可得到；
【详解】（1）解：，
，
∵平分平分，
，
，
，
，
，
当时，；
故答案为：；
（2）解：，
∵平分平分，
，
，
∵，
，
∵，
，
即．
当时，，
故答案为：70；
（3）解：，
而平分平分，
，
，
，
即．
当时，．
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