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浙教版新版九上第一单元 新知超前
1.1 二次函数的意义（解析版）
知识点1 二次函数的定义
形如y=ax +bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。等号右边是整式，自变量的最高次数为2，二次项系数不能为0。
知识点2 二次函数的系数
二次函数的一般形式为y=ax +bx+c，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
知识点3 根据二次函数的定义求参数
已知函数是二次函数求参数m时，需满足两个条件：①最高次项的指数等于2；②二次项系数不等于0。由此列出方程或不等式组求解，并注意取舍。
知识点4 实际问题中列二次函数解析式
从实际问题中列二次函数解析式的步骤：①找等量关系；②设自变量和函数；③列出函数解析式；④化简为一般形式y=ax +bx+c。常见情境：面积、增长率、销售利润等。
知识点5 二次函数与一次函数的区别
判断一个函数是二次函数还是一次函数，关键是看化简后自变量的最高次数。最高次数为2且二次项系数不为0的是二次函数；最高次数为1的是一次函数。注意：有些式子列出来看似二次，化简后二次项抵消，实际是一次函数。
考点1 二次函数的定义与识别
【解题思路】判断一个函数是否为二次函数，需同时满足三个条件：①等号右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。逐个检验选项即可。
例1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】二次函数的基本表示形式为．二次函数最高次必须为二次．
【详解】解：A：最高次项为一次，不符合题意；
B：当时，不是二次函数，不符合题意；
C：满足二次函数的定义，符合题意；
D：二次项在分母位置，不符合题意；
故选：C
变式1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B． 是一次函数，故此选项不符合题意；
C．是二次函数，故此选项符合题意；
D． 不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：C．
变式2．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可．
【详解】解：.A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B、不是二次函数，故选项B不符合题意；
C、 不是二次函数，故选项C不符合题意；
D、是二次函数，故选项D符合题意
故选：D．
考点2 二次函数的系数
【解题思路】将函数解析式化为一般形式y=ax +bx+c，则x 前的系数为二次项系数a，x前的系数为一次项系数b，常数项为c。注意系数的符号。
例2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．，， B．，， C．，4， D．，，1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，
先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可.
【详解】解：∵二次函数，
∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为.
故选：B.
变式1．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题；
二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项．
【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，，
因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故答案为：，，．
变式2．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)．
【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1
(2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为
【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案．
（1）将化为，即可求解；
（2）将化为，即可求解.
【详解】（1）解：，
二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1；
（2），
二次项系数为，一次项系数为1，常数项为.
考点3 根据二次函数的定义求参数
【解题思路】根据二次函数的定义，列出关于m的两个条件：最高次项指数=2，二次项系数≠0。解方程或不等式组，并对结果进行取舍。
例3．若函数是二次函数，那么的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可．
【详解】∵是二次函数，
∴
解得
此时函数为，满足二次函数的定义．
故选：D．
变式1．当__________时，函数是二次函数．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数．
【详解】解：由题意可知：，
解得
又∵，即，
综上所述：
故答案为．
变式2．若抛物线是关于的二次函数，那么的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．2或3
【答案】C
【分析】根据二次函数的最高指数是2，二次项系数不等于0列出方程求解即可．本题考查二次函数的定义，要注意二次项系数不等于0，同时也考察了因式分解法进行解方程．
【详解】解：∵抛物线是关于的二次函数，
∴且，
则，
解得，，且，
∴．
故选：C．
考点4 实际问题中列二次函数解析式
【解题思路】分析题目中的等量关系，用含自变量的代数式表示相关量，列出函数解析式并化简为一般形式y=ax +bx+c。注意实际问题中自变量的取值范围。
例4．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二次函数关系式．根据正方形的面积=边长边长即可求得．
【详解】解：由正方形面积公式得：．
故选：D．
变式1．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______．
【答案】
【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据现在的价格等于原价乘以（1降价的百分率）的平方，即可得解．
【详解】解：由题意得：，
故答案为：．
变式2．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式．
【答案】
【分析】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，所以，
故m关于n的函数解析式为： ．
考点5 二次函数与一次函数的区别
【解题思路】将式子化简后观察自变量的最高次数。如果最高次数为2且二次项系数不为0，则为二次函数；如果最高次数为1，则为一次函数。注意化简后二次项可能抵消。
例5．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数
【答案】D
【分析】本题考查了所学四种函数的识别，掌握各函数的特征是解题的关键，求出函数解析式，根据各函数概念进行判断即可．
【详解】解：由题意知，温度随高度的变化是均匀的，那么气温t与高度的函数关系是，这是一次函数关系；
故选：D．
变式1．如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
【答案】D
【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案．
【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系，
故选：D．
变式2．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
【答案】(1)；一次
(2)；反比例
(3)；二次
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数，二次函数，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可得，化简即可得出答案；
（2）根据题意可得，化简即可得出答案；
（3）根据题意可得，，即可得出，，即可得出答案；
【详解】（1）解：∵绳长为，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的一次函数，
故答案为：，一次．
（2）解：∵矩形的面积是，矩形相邻的两边长为，
∴，
即，
∴是的反比例函数，
故答案为：，反比例．
（3）解：∵矩形的周长为，矩形的面积为，
∴，，
∴，
∴，
∴是的二次函数，
故答案为：，二次．
一、选择题
1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的概念，掌握相关知识是解题的关键．形如的函数即为二次函数，据此进行判断即可．
【详解】
解：A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意；
B、不是二次函数，则B不符合题意；
C、是一次函数，则C不符合题意；
D、符合二次函数定义，它是二次函数，则D符合题意；
故选：D．
2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
根据增长率的问题可直接进行求解．
【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，
根据题意得，．
故选：A．
3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为．
把代入求解，注意的取值范围．
【详解】解：把代入得，
解得或，
，
，
故选：B．
二、填空题
4．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________．
【答案】
【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可．
【详解】解：第一年度的产值为，
∴第二年度的产值为，
∴．
故答案为：
5．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____．
【答案】18
【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为．
【详解】解：，
故常数项为．
故答案为：18．
6．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象经过原点，则的值为______．
【答案】
【分析】将原点坐标代入二次函数解析式，列方程求即可．
【详解】解：由题意知，将代入得，，
解得或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
7．（25-26九年级上·北京·课前预习）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项．
①；
②；
③；
④．
【答案】见解析
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的定义．
根据形如是二次函数，可得答案．
【详解】解：①：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是；
②：化简得：，是二次函数，二次项是，一次项是，常数项是2；
③：整理得：，是二次函数，二次项是，一次项是0，常数项是3；
④：化简得：，不是二次函数．
8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数．
【详解】解：由题意可知：，
解得，
又∵，即，
综上所述：
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1.1 二次函数的意义（原卷版）
知识点1 二次函数的定义
形如________________(a,b,c是常数，__________)的函数叫做二次函数。等号右边是__________，自变量的最高次数为__________，二次项系数__________。
知识点2 二次函数的系数
二次函数的一般形式为y=ax +bx+c，其中__________是二次项系数，__________是一次项系数，__________是常数项。
知识点3 根据二次函数的定义求参数
已知函数是二次函数求参数m时，需满足两个条件：①________________；②________________。由此列出________________求解，并注意__________。
知识点4 实际问题中列二次函数解析式
从实际问题中列二次函数解析式的步骤：①找__________；②设自变量和函数；③列出函数解析式；④__________为一般形式y=ax +bx+c。常见情境：面积、增长率、销售利润等。
知识点5 二次函数与一次函数的区别
判断一个函数是二次函数还是一次函数，关键是看________________。最高次数为__________且二次项系数__________的是二次函数；最高次数为__________的是一次函数。注意：有些式子列出来看似二次，化简后__________，实际是一次函数。
考点1 二次函数的定义与识别
【解题思路】判断一个函数是否为二次函数，需同时满足三个条件：①等号右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。逐个检验选项即可。
例1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．下列函数中，一定是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
考点2 二次函数的系数
【解题思路】将函数解析式化为一般形式y=ax +bx+c，则x 前的系数为二次项系数a，x前的系数为一次项系数b，常数项为c。注意系数的符号。
例2．二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　）
A．，， B．，， C．，4， D．，，1
变式1．二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______．
变式2．将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)．
考点3 根据二次函数的定义求参数
【解题思路】根据二次函数的定义，列出关于m的两个条件：最高次项指数=2，二次项系数≠0。解方程或不等式组，并对结果进行取舍。
例3．若函数是二次函数，那么的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式1．当__________时，函数是二次函数．
变式2．若抛物线是关于的二次函数，那么的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．2或3
考点4 实际问题中列二次函数解析式
【解题思路】分析题目中的等量关系，用含自变量的代数式表示相关量，列出函数解析式并化简为一般形式y=ax +bx+c。注意实际问题中自变量的取值范围。
例4．已知正方形，设，则正方形的面积与之间的函数关系式为（ ）
A． B． C． D．
变式1．原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数表达式为______．
变式2．已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，求m关于n的函数解析式．
考点5 二次函数与一次函数的区别
【解题思路】将式子化简后观察自变量的最高次数。如果最高次数为2且二次项系数不为0，则为二次函数；如果最高次数为1，则为一次函数。注意化简后二次项可能抵消。
例5．已知地面温度是，如果从地面开始每升高，气温下降，那么气温t与高度的函数关系是（ ）
A．正比例函数 B．反比例函数 C．二次函数 D．一次函数
变式1．如图，正方形和的周长之和为（为常数），设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，则与x，S与满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
变式2．如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为．
(1)若绳长为，则与的关系式为 ，是的 函数；
(2)若矩形的面积是，则与的关系式为 ，是的 函数；
(3)若矩形的周长为，矩形的面积为，则与的关系式为 ，是的 函数．
一、选择题
1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）下列函数中，y一定是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·安徽六安·阶段检测）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．无法确定
二、填空题
4．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ________________．
5．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____．
6．（23-24九年级上·全国·单元测试）二次函数的图象经过原点，则的值为______．
三、解答题
7．（25-26九年级上·北京·课前预习）下列函数哪些是二次函数？并写出它们的二次项、一次项、常数项．
①；
②；
③；
④．
8．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数，求的值．
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