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分课时学案
课题 1.2平行线分线段成比例 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.掌握平行线分线段成比例基本事实及其三角形推论,能正确识别对应线段,进行简单计算与证明。 2.经历观察、猜想、推导、验证过程,提升几何直观、逻辑推理与数学表达能力。 3.体会转化、数形结合、从特殊到一般思想,发展推理意识与几何建模能力。 4.主动参与探究活动,养成严谨论证、规范书写的习惯。
重点 1.平行线分线段成比例基本事实的理解与直接应用。 2.三角形中平行截比例推论的掌握与运用。
难点 平行线分线段成比例的推导过程与“对应线段”的准确识别。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.成比例线段的定义是什么？ 2.若,同底等高的三角形面积有什么关系？ 探究问题 用三根水平平行线截两条倾斜直线,截得线段分别为和,猜测的值,并说明依据。
新知讲解 探究活动一:平行线间的线段 思考：如图,已知直线,直线被直线a,b,c截得的线段分别为和,若,则吗？ 如图,过点作直线,分别与直线a,c相交于点.由于,因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知,. 在和中, , 因此, 从而,所以. 由此可以得到： 两条直线被一组平行线所截,如果在其中一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 探究活动二:平行线分线段成比例 探究：在前面”思考”栏目中,若,如图所示,则与相等吗？任意平移直线与还会相等吗？ 如图,连接 由于底边上的高、底边上的高、底边上的高是同一条高线,因而由三角形的面积计算公式可得,它们的面积比等于底边长之比,即 ,. 又由于底边上的高、底 边上的高、底边上的高也相同, 则它们的面积比也等于底边长之比,即 ,. 由于是平行线a,b之间同底等高的两个三角形, 因此.① 由于是平行线b,c之间同底等高的两个三角形, 因此.② ①+②得, , 即. 于是 , , 同理可得： . 由此得到以下基本事实： 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例.以上基本事实简称为平行线分线段成比例. 方法总结: 探究活动三:平行线分线段成比例的应用 例1:如图1.2=4,已知,,求的长. 例2:如图,在中,已知,求证:. 解：如图,过点作直线,使. , . 因此被一组平行线所截,则由平行线分线段成比例可知, . 议一议：如图,直线分别与的边的反向延长线相交于两点,则 吗？ 一般地,可得以下结论： 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,下列比例式中,不正确的是(　　) A.＝B.＝ C.＝D.＝ 2.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC和DF被l1、l2、l3所截,AB＝5,BC＝6,EF＝4,则DE的长为(　　) A．2B．3C．4D. 3.如图,已知直线l1∥l2∥l3,直线m、n分别与直线l1、l2、l3交于点A、B、C和D、E、F,若DE＝3,DF＝8,则的值为(　　) A.B.C.D. 4.如图,已知DE∥BC,EF∥AB,现得到下列结论:①;②;③;④.其中正确结论的个数是(　　) A.4B.3C.2D.1 5.如图,直线a∥b∥c,点B是线段AC的中点,若DE＝2,则EF＝________． 6.如图,在四边形ABCD中,AD∥EF∥GH∥BC,AE＝EG＝GB.若CD＝12,则CF＝________． 7.如图,在四边形ABCD中,点E是AB的中点,AD∥EF∥BC,对角线BD交EF于点O,若BC＝12,EF＝9,则AD的长为____________． 8.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,求证：＝. 9.如图,E为 ABCD的边CD的延长线上一点,连接BE,交AC于点O,交AD于点F. 求证：BO2＝OF·OE.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.如图,两条直线被三条平行线所截,若=,则的值为( ) A. B. C. D. 2.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC与l1,l2,l3分别交于点A,B,C,直线DF与l1,l2,l3分别交于点D,E,F.若DE=3,EF=6,AB=4,则AC的长是( ) A.6 B.8 C.9 D.12 3.如图,直线AD,BC交于点O,AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为　. 4.如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是( ) A. B. C. D. 5.如图,已知在△ABC中,点D,E,F分别是边AB,AC,BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=4∶7,那么CF∶CB等于( ) A.7∶11 B.4∶8 C.4∶7 D.3∶7 6.如图,练习本中的横格线都平行,且相邻两条横格线间的距离都相等,同一条直线上的三个点A,B,C都在横格线上.若线段AB=4cm,则线段BC=　　cm. 能力提升: 7.如图,在△ABC中,D,E分别是AB和AC上的点,且DE∥BC. (1)如果AD=7,DB=3,EC=2,那么AE的长是多少 (2)如果AB=10,AD=6,EC=3,那么AE的长是多少 8.如图,AB∥CD,OH分别与AB,CD交于点F,H,OG分别与AB,CD交于点E,G,若=,OF=12,则OH的长为( ) A.39 B.27 C.12 D.26 9.如图,l1∥l2∥l3,l4与l5交于点P,PA=a,AB=b,BC=c,PD=d,DE=e,EF=f,则bf=() A.ab B.bd C.ae D.ce 10.如图,△ABC中,D、F在AB边上,E、G在AC边上,DE∥FG∥BC,且AD∶DF∶FB=3∶2∶1,若AG=15,则CE的长为( ) A.9 B.15 C.12 D.6 11.如图,直线l1∥l2∥l3,直线AB分别与l1,l2,l3相交于点A,B,C,直线DF分别与l1,l2,l3相交于点D,E,F,已知=,DE=6,则DF的长为　　. 12.如图,在中,延长至点D,使,在上取一点F,连接交于点E,过F点作交于点H,已知2． (1)________； (2)求AF的长． 拓展迁移: 13.如图,已知四边形ABCD,点E,F分别在BC,CD上,且CE∶BE=2∶3,DF∶CF=1∶2,BF与DE相交于点G,则DG∶GE=　　. 14.如图,在△ABC中,EF∥CD,DE∥BC. (1)求证:AF∶FD=AD∶DB; (2)若AB=15,AD∶BD=2∶1,求DF的长.
参考答案：
1.四条线段中两条线段的比等于另外两条线段的比,即成比例线段。
2.同底等高的三角形面积相等。
3.由比例相等得,解得；依据是平行线截线段对应成比例。
探究一：
探究二：
探究三：
例1：解:由平行线分线段成比例可知,
,即,
因此,.
例2: 解：如图,过点作直线,使.
,
.
因此被一组平行线所截,则由平行线分线段成比例可知,
.
课堂练习：
1.C;2.D;3.B;4.B;5.2;6;8;7.6;
8.证明：∵DE∥BC,
∴＝.
∵EF∥CD,
∴＝.
∴＝.
9.证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC.
∴＝,＝.
∴＝,即BO2＝OF·OE.
课后提升：
1.B;2.D;3.3/2;4.A;5.A;6.12;
7.解:(1)∵DE∥BC,∴=,
∴=,∴AE=.
(2)∵AB=10,AD=6,∴BD=10-6=4,
∵DE∥BC,∴=,
∴=,∴AE=.
8.A;9.D;10.A;11.10;
12.解:(1)因为
所以,
又因为
所以
所以；
故答案为：；
（2）解：因为
所以
因为,
所以,
又因为
所以
13.5:6;
14.解:(1)∵EF∥CD,∴=,
∵DE∥BC,∴=,
∴=.
(2)∵AD∶BD=2∶1,∴BD=AD,
∴AD+AD=15,∴AD=10,
∵AF∶FD=AD∶DB,
∴AF∶FD=2∶1,∴AF=2DF,
∵AF+DF=10,∴2DF+DF=10,
∴DF=.
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