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3.2.1单调性与最大（小）值 学习案
一、基础梳理
【1】概念填空
设函数的定义域是D，区间，如果对于任意的，，当时，都有_________，则称在区间I上是________，（也称在区间I上单调递增），如图所示.
当时，都有_________，则称在区间I上是________，（也称在区间I上单调递减）如图所示.
两种情况下，都称函数在区间I上具有___________（区间I称为函数的________，也可分别称为___________和______________）
【答案】 增函数 减函数 单调性 单调区间 单调递增区间 单调递减区间
【2】概念巩固练习 判断正误（正确的打正确，错误的打错误）
（1）函数，若，则函数在R上是增函数.( )
（2）函数在上是减函数.( )
（3）若在R上是减函数，则.( )
（4）若在]和上均单调递增，则在上单调递增.( )
【答案】 错误 错误 正确 错误
【详解】对于（1），根据单调递增函数定义，对于，总有，函数在R上是单调递增函数，
而只有不能判断函数在R上的单调性，故错误；
对于（2），函数在上是减函数，在不具备单调性，故错误；
对于（3），若在R上是减函数，因为，所以，故正确；
对于（4），如函数，在]和上均单调递增，

但在上不具备单调性，故错误.
故答案为：①错误；②错误；③正确；④错误.
【3】阅读例题归纳用定义法证明单调性的步骤
【答案】基本步骤如下：
①设值：设 ，且 ；
②作差： ；
③变形：对 变形，一般是通分，分解因式，配方等。 这一步是核心，要注意变形到底；
④判断符号， 得出函数的单调性。
【4】函数的增减性的等价形式有哪些？
【答案】设 ，且 ，那么
①
② 在 是减函数。
【5】函数的最大值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_______；
（2），使得________.
那么，我们称是的最大值.
【答案】
【6】函数的最小值
设函数的定义域为，如果存在实数满足：
（1），都有_____；
（2），使得_____.
那么，我们称是的最小值.
【答案】
【7】概念巩固练习 判断正误．
（1）任何函数都有最大（小）值．( )
（2）函数在上的最值一定是（或）．( )
（3）函数的最大值一定比最小值大．( )
（4）若函数在区间上是减函数，则函数在区间上的最大值为．( )
【答案】 错误 错误 正确 正确
【详解】（1）不是任何函数都有最大（小）值，如，其端点值取不到，就没有最值，故错误；
（2）若函数在上不单调，则最值不是（或），故错误；
（3）由最值的概念可以判断其正确；
（4）函数在区间是减函数，则函数在区间上的最大值为正确.
考点归纳
①求函数的单调区间；②由函数的单调性求参数；③根据函数的图象求单调区间和最值；④求最值或由最值求参数；⑤图利用单调性解不等式；⑥函数不等式成立（有解）问题；⑦分段函数的单调性求参数；⑨分段函数的最值求参数；⑩函数单调性的应用.
巩固训练
一、单选题
1．函数的单调递减区间为（　　）
A． B．
C． D．
2．“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．函数的图象如图所示，则该函数的定义域和单调递增区间分别是（ ）

A．定义域为；单调递增区间为
B．定义域为；单调递增区间为，
C．定义域为；单调递增区间为
D．定义域为；单调递增区间为
4．函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
5．函数的值域为（ ）
A． B．
C． D．
6．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数在上是减函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
11．(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（ ）
A．[0，4] B．[，2]
C．[，2] D．[1，2]
三、填空题
12．函数的单调递增区间是________.
13．函数在区间上单调递减，则a的取值范围为________
14．已知函数对于任意的，都有，则的大小关系为___________
四、解答题
15．已知函数，证明：函数在上单调递减；
16．求下列函数的单调区间
(1)；
(2)函数的单调递增区间是_____.
17．设函数．
(1)求的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)求在区间的最大值和最小值．
18．已知函数的解析式为
(1)画出函数的图象，写出函数的单调减区间并求函数的最大值；
(2)解关于的不等式.
19．已知函数的定义域为，且，当时，．
(1)求，判断的正负，并给出证明；
(2)判断在上的单调性，并给出证明；
(3)若关于x的不等式有解，求实数a的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A D B C C B A CD ABD BC
1．A
【详解】当时，，此时函数单调递增，
当时,，此时函数单调递减，
即函数的单调递减区间为.
2．A
【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】函数，函数的单调递增区间是，
由函数在上单调递增，得，则，因此，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
3．D
【分析】根据函数定义域和单调区间的定义，即可由图象判断.
【详解】由图象可知定义域为，函数的单调递增区间有2个，即，.
故选：D.
4．B
【分析】先确定函数的定义域，继而根据复合函数的单调性进行判断，即可得答案.
【详解】由题意知函数满足，解得或，
即函数定义域为，
令，则的图象开口向上，且对称轴为直线，
则在上单调递减，在上单调递增，
又在上单调递增，
故的单调递减区间是.
故选：B
5．C
【分析】求二次函数的对称轴，根据单调性确定闭区间上的最值.
【详解】函数的对称轴为，
在单调递减，在单调递增，
所以，，
当，，
故原函数的值域为.
6．C
【分析】写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可.
【详解】由题设，且函数连续，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以单调递减区间为.
故选：C
7．B
【分析】先判断的单调性,再根据函数的单调性将转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】 ，
当时,,则在时,单调递增；
当时,,根据幂函数单调性可知,在时,单调递增；
又在处,，
,是定义域为单调增函数，
，
，即 ，
解得:，
故不等式的解集为:.
故选：B.
8．A
【分析】根据分段函数的单调性确定时的的范围，再根据函数的值域为列不等式组即可求得的取值范围.
【详解】当时，，则函数在递增，
所以，则此时；
当时，，要使得的值域为，
则，解得，
所以的取值范围是.
故选：A.
9．CD
【分析】根据不等式的性质，整理不等式，利用减函数的性质，可得答案.
【详解】由，则，
因为函数在上是减函数，所以，
则，.
故选：CD.
10．ABD
【详解】函数的单调递增区间为，
依题意，，则，解得，
因此的可能取值是，ABD是，C不是.
11．BC
【详解】
∵ y＝x2－3x－4＝(x－)2－，作出函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上的图象如图所示．由图象可知，当x＝时，ymin＝－.令y＝x2－3x－4＝－4得出x＝0或x＝3.当0＜m＜时，函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上单调递减，此时ymin＝m2－3m－4＞－，不符合题意；当≤m≤3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝－4，符合题意；当m＞3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围是[，3].故选BC.
12．
【分析】利用数形结合，作出分段二次函数的图象，即可写出单调增区间.
【详解】由作图：

可得函数的单调递增区间是，
故答案为：
13．
【分析】先求解函数的定义域，再利用复合函数“同增异减”的单调性规则，结合二次函数的性质确定的取值范围．
【详解】由已知，，解得或，所以函数的定义域为，
令，其对称轴为，结合函数定义域可知，
在上单调递减，在上单调递增，
因为在上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，要使函数在区间上单调递减，
则函数也要在区间上单调递减，且，
所以，所以
14．（或）
【分析】由函数单调递减的性质即可求解.
【详解】因为函数对于任意的，都有，
所以在区间上是减函数，
所以，所以.
故答案为：(或).
15．证明见解析
【分析】通过作差法即可求证.
【详解】设是区间上的任意两个实数，且，
则
由于，
所以，
所以，
即，
所以函数在区间上单调递减.
16．(1)单调增区间为，，单调减区间为，.
(2)
【分析】（1）通过去绝对值，得到，画出函数图象即可求解；
（2）通过去绝对值，，画出函数图象即可求解.
【详解】（1）因为 ，
画出函数图象如图所示，
所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，.
（2），
函数的大致图象如图所示.
由图易知函数的单调递增区间是.
17．(1)
(2)的单调递增区间是；单调递减区间是
(3)；
【分析】（1）根据定义域的定义和一元二次不等式的解法求解即可
（2）根据复合函数的单调性求解即可
（3）根据函数单调性求最值即可
【详解】（1）由，
所以的定义域
（2）由（1）知的定义域，
令，开口向下，对称轴，
根据复合函数的单调性可知，
的单调递增区间是；单调递减区间是
（3）由（2）知在单调递增，在单调递减，
在区间的最大值为，又
所以在区间的最小值为，
故在区间的最大值为，最小值为，
18．(1)；单调减区间为，最大值为4
(2)或
【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求单调递减区间和最值；
（2）分段求解不等式，再求并集即可得.
【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象（在答案处）
则函数的单调减区间为，
当时，取得最大值4；
（2）当时，，所以恒成立；
当时，，所以；
当时，，所以；
综上可知，或，
所以不等式的解集为或.
19．(1)；对于，为正；证明见解析
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）令，求出，再令，结合时的正负性判断；
（2）利用定义判断单调性；
（3）利用单调性结合一元二次函数的性质判断.
【详解】（1）令，则，
因为当时，，所以；
令，则，
若，则，，则，
故对于，为正；
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，且，则，则，
则，
因为，所以，即，
故在上单调递增；
（3）因为关于x的不等式有解，且在上单调递增，
所以有解，即在上有解，
故，得或，
故实数a的取值范围为试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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