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3.1二次根式的概念及性质
课时 1 二次根式的概念及性质
刷基础
知识点1 二次根式的概念
1下列各式： 中，二次根式有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
2下列各式中，一定是二次根式的是 ( )
知识点2 二次根式有意义的条件
3下列各数中，使得 有意义的x的值是 ( )
A.1.5 B.-1 C.-3 D.-9
4若 有意义，则x的值是 .
5下列二次根式中，当x取何值时，各式有意义
知识点3
6 的算术平方根是 ( )
A.7 C.
7
知识点4
8若 则x满足的条件是 ( )
A. x≥1 B. x≤1 C. x>1 D. x<1
9化简： 。
10已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简 2 的结果为 .
刷易错
易错点利用 化简时，不考虑被开方数a的范围致错
11求代数式 的值,其中 a =-2021.以下分别是小亮和小芳的解答过程.
小亮：原式：
小芳：原式：
(1) 的解法是错误的.
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： .
(3)求代数式 的值，其中a=-2 021.
刷提升
1化简 得 ( )
A.2 B.-2 C.-4x+4 D.4x-4
2若等式 在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则 的值是 ( )
A.3 B. C.2 D.
3已知a，b满足等式 则
4已知n是正整数， 是整数，则满足条件的所有n的值为 .
5若 则a的取值范围是
6已 知 a,b 满足 则 ab 的值为
7若m满足关系式 则m= .
8【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方.
推理说明：
解:设m,m+1是连续的正整数(m≥1).
令q=m(m+1),所以q+m+1=m(m+1)+m+
所以对于任意两个连续的正整数，它们的乘积与较大数的和一定为较大数的平方.
【类比猜想】(1)小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.
请你推理说明；
【深入思考】(2)若 (m,n为两个连续奇数,0刷素养
核心素养运算能力[难]先观察下列等式，再回答下列问题：
(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想 的结果，并验证；
(2)请你按照上面各等式反映的规律，计算： (仿照上面三个等式写出过程)；
(3)请你用含 n(n为正整数)的式子表示上面各等式反映的规律.
课时2 积的算术平方根及最简二次根式
刷基础
知识点 1积的算术平方根 (a≥0,b≥0)
1下列式子正确的是( )
A.
B.
C.
D.
2计算 的结果是 ( )
A. B.-7 2 C.28 D.
3若 成立，则 ( )
A. a≥0,b≥0 B. a≥0,b≤0
C. a>0,b>0 D. a>0,b<0
4设 用含a，b的式子表示 则下列正确的是 ( )
A.3ab B.2ab C. ab D. a b
5计算:
知识点2最简二次根式
6下列各式① 中，是最简二次根式的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
7写出一个二次根式，使这个二次根式化成最简二次根式后，与 的被开方数相同，这个二次根式可以是 (写出满足条件的一个即可).
8若y>0，则二次根式 化为最简二次根式为 .
9若 是最简二次根式，则m 的值为 ，n的值为
10下列各式中，哪些是最简二次根式 哪些不是 对不是最简二次根式的式子进行化简.
11已知a，b 是整数，如果 是最简二次根式，求 的值及其平方根.
刷提升
1已知a>0,那么 可化简为 ( )
A. B.
C. D.
2已知k,m,n为整数,若 则k，m，n的大小关系是 ( )
A. kC. m3若二次根式 是最简二次根式，则最小的正整数 a 的值为
4已知m为正整数，若 是整数，则根据 可知m有最小值3×7=21.设n为正整数,若 是大于1的整数，则n 的最小值为 ，最大值为 .
5若等式 成立，则x的取值范围是 .
先来看一个有趣的现象： 根号里的数2经过适当地演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如 等.
(1)猜想: 并验证你的猜想.
(2)请用只含一个正整数n(n≥2)的式子来表示含有上述规律的等式.
(3)请你再写出1个具有“穿墙”性质的数.
刷素养
7我们知道，任意一个二次根式√n(n为正整数)都可以进行这样的分解： (p,q是正整数，且p≤q).在√n的所有这种分解中，如果 最小，我们就称 是√n的最佳分解，并规定： 例如 可以分解成 或 显然 是 的最佳分解，此时
(1)直接写出 的最佳分解： ，F(24)= ;
(2)若正整数m，n满足F(m)=1, 且353.1二次根式的概念及性质
课时 1 二次根式的概念及性质
1. B 【解析】 是二次根式； 的被开方数小于0，不是二次根式； 不符合二次根式的概念，不是二次根式； 因为 所以 所以 被开方数小于0，不是二次根式； 因为 0，所以 被开方数大于0，是二次根式； 因为 所以 所以 被开方数大于 0，是二次根式；
是二次根式； 当a<0时不是二次根式； 当x-2<0,即x<2时，不是二次根式.故选 B.
2. D【解析】A、B、C选项，被开方数可能为负数，二次根式无意义，故错误；D选项，可以变形为 被开方数一定为正数，所以 一定为二次根式.
3. A【解析】由题意得,3x+1≥0,解得 所以只有 A 选项符合题意，故选 A.
4.4【解析】由题意可知 解得 所以x=4.
5.【解】(1)根据二次根式有意义的条件可得33-2x≥0,解得 所以 时， 有意义.
(2)根据二次根式有意义的条件可得 0.因为 所以 所以x为全体实数时， 有意义.
(3)根据二次根式有意义的条件可得： 0,解得:x≥2..根据分式有意义的条件可得 x-x-6≠0,解得.x≠6,所以x≥2且x≠6时， 有意义.
6. C【解析】 的算术平方根是 故选C.
【解析】
8. A【解析】因为 所以x-1≥0,即x≥1,故选 A.
【解析】因为 所以 所以 故答案为
10. a-b【解析】观察数轴得-10,b-1<0,所以 2=|a+1|+|b-1|-2=a+1+1-b-2=a-b,故答案为a-b.
刷易错
11.(1)小芳 【解析】(1)因为a=-2021,所以1-a>0,所以 a|=1-a，故小芳的解法是错误的，故答案为小芳.(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：
(3)【解】 2|a-3|.因为a=-2021,所以a-3<0,所以原式=a+2(3-a)=a+6-2a=6-a=6-(-2021)=6+2021=2027,即代数式a+ 的值是2027.
刷提升
1. A【解析】依题意得,1-2x≥0,所以
所以 2x)=2,故选 A.
2. B【解析】由二次根式的性质可得，a(x-a)≥0,a(y-a)≥0,x-a≥0,a-y≥0.由a(x-a)≥0和x-a≥0可以得到a≥0.由a(y-a)≥0和a-y≥0可以得到a≤0,所以a=0,
所以 所以x=-y,即y=-x.由于x=-y,y=-x.x，y，a是两两不同的实数，所以.x>0,y<0.将y = x代入 原 式 得,原式= 故选B.
4.9,7,1
【解析】因为 所以 所以a-5≥0,所以 故答案为
【解析】因为 当a≥2时，a-2=a+3不成立，所以a<2,则2-a=a+3,解得 因为 所以a-b+1=1或0，解得 或 所以ab= 故答案为
7.201 【解析】由题意可得 所以 所以x+y=199,①所以 所以3x+5y-2-m=0,②2x+3y-m=0,③联立①②③，解得 所以m的值为201.故答案为201.
8.【解】(1)设m,m+1是连续的正整数(m≥1).令q=m(m+1),所以 所以任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方.
(2)因为m,n为两个连续奇数,0所以 2(m+1),所以p一定是偶数.
刷素养
9.【解】
验证：
(n为正整数).
积的算术平方根及最简二次根式
刷基础
1. D 【解析】A 选项,原式 故本选项错误. B选项，原式 运算过程中，被开方数为非负数，故本选项错误. C选项，原式不能化简，故本选项错误. D选项，原式 故本选项正确.故选 D.
2. C 【解析】原式 故选 C.
3. B 【解析】因为 成立，所以a≥0,b≤0.故选 B.
4. A 【解析】
5.(1)84 (2)268
【解析】 12×7=84.
6. B 【解析】 是最简二次根式； 不是最简二次根式； 是最简二次根式； 不是最简二次根式； 不是最简二次根式，所以最简二次根式为①③，共2个.故选 B.
(答案不唯一)【解析】因为 所以 满足题意.故答案为 (答案不唯一).
【解析】因为二次根式 中 所以 所以 故答案为
9.0-1【解析】因为 是最简二次根式，所以：2n+3=1,3m+1=1,所以m=0,n=-1.
10.【解】 不是最简二次根式.
不是最简二次根式.
不是最简二次根式.
不是最简二次根式.
不是最简二次根式.
不是最简二次根式. 是最简二次根式.
不是最简二次根式.
11.【解】因为 是最简二次根式，所以a=a=1,2b-5=1,解得a=1,b=3,所以 所以 的平方根为：±2.
刷提升
1. C【解析】因为a>0,所以b<0,所以 故选 C.
2. D 【解析】因为
所以.k=3,m=2,n=5,所以m3.2【解析】因为a为正整数，所以当a=1时， 不是最简二次根式；当a=2时， 是最简二次根式，所以二次根式. 是最简二次根式时，最小的正整数a的值为2，故答案为2.
4.3 75 【解析】
5.0≤x≤2【解析】因为 所以 即 所以 解得( 2.故答案为0≤x≤2.
6.【解】 验证：
(答案不唯一)
7.【解】 可以分解为 显然 是 的最佳分解，此时 故答案为
(2)因为 所以可设
其中 k 为正整数，所以 n =n= 因为35因为F(m)=1,所以m 是一个正整数的平方数.因为35

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