资源简介

4.5等腰三角形
课时1 等腰三角形的性质
刷基础
知识点1 等腰三角形“等边对等角”性质的应用
1如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A的度数为 ( )
A.30° B.36° C.45° D.70°
2如图,l ∥l ,点 A 在直线l 上,点 B 在直线 l 上,AB=BC,∠C=25°,∠1=60°,则∠2的度数是 ( )
A.70° B.65° C.60° D.55°
3如图,△ABC 中,点A,C在直线l上,∠B=120°,∠ACB=40°,若点 P 在直线l上运动，当△ABP 成为等腰三角形时,∠ABP 的度数是 .
知识点2 等腰三角形“三线合一”性质的应用
4如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,∠B=25°,则∠CAD 的度数为 ( )
A.55° B.65° C.75° D.85°
5如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是从电线杆 DE 上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB 和AC，当固定点B，C到E 处距离相等,点B,E,C在同一直线上,且A,B,C,E在同一平面内时，电线杆DE 就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是 .
6如图,在△ABC 中,点 E是边 AB 上一点,连接 CE,BE=CE,过点 E 作ED⊥BC于点 D.若△ACE的周长为20,BD=3,则△ABC 的周长为 .
7如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC 于点D,E,F是AD上的两点.若BD=2,AD=3，则图中阴影部分的面积是 .
8[2025 河南周口质检]如图,AD 是等腰△ABC的底边 BC 上的中线,过点 D 作 DE∥AB,交AC于点 E.
(1)求证:△ADE 是等腰三角形.
(2)求证:AE=CE.
刷易错
易错点 未分类讨论导致漏解
9如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=20°,BP 平分∠ABC,点 D 是射线 BP 上一点，如果点 D 满足△BCD 是等腰三角形，那么∠BDC 的度数是
刷提升
1如图,在△ABC 中,∠A 为钝角,AB =20cm,AC=12 cm,点 P 从点 B 出发以3 cm/s的速度向点 A 运动，点Q 同时从点 A 出发以2cm /s的速度向点 C 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( )
A.2.5s B.3s C.3.5s D.4s
2如图,将△ABC 沿DE,EF 翻折,顶点A,B 均落在点O处,且EA 与EB 重合于线段EO.若∠CDO+∠CFO=100°,则∠C 的度数为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.60°
3如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边 BC 上任意一点,OE,OF 分别与两腰垂直，等腰三角形的腰长为6,面积为15,则OE+OF 的值为 .
4如图,在第 1 个△A BC中,∠B=30°, ,在边 A B上任取一点D,延长CA 到A ,使 得到第2个△A A D;在边 A D 上取一点 E,延长A A 到A ,使 ,得到第3个△A A E,…,按此作法继续下去，则第2 024 个三角形的底角度数是 .
5如图，在等腰三角形ABC中,AB=AC,D 为BC延长线上一点,EC⊥AC且AC=CE,垂足为C,连接BE,若BC=6,求△BCE 的面积.
刷素养
6如图,△ABC中,∠ABC=∠ACB,点 D 在 BC 所在的直线上,点 E 在射线 AC 上,且AD=AE,连接DE.
(1)如图(1),若∠B=∠C=35°,∠BAD=80°,求∠CDE 的度数;
(2)如图(2),若∠ABC=∠ACB=75°,∠CDE=18°,求∠BAD的度数;
(3)当点D 在直线BC上(不与点B，C重合)运动时，试探究∠BAD 与∠CDE 的数量关系，并说明理由.
课时2 等腰三角形的判定
刷基础
知识点1 等腰三角形的判定
[2025 湖南邵阳期末] △ABC 中,∠A,∠B,∠C分别对应a，b，c，根据下列选项不能判定△ABC是等腰三角形的是 ( )
A. ∠A:∠B:∠C=2:2:3
B. a:b:c=2:2:3
C.∠B=50°,∠C=80°
D.2∠A=∠B+∠C
2如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=36°,BD 平分∠ABC 交 AC 于 D,CE平分∠ACB 交 BD 于 E，图中等腰三角形的个数是 ( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3如图,∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点 F,过点 F 作 DE∥BC交AB 于点D,交AC 于点 E.下列结论:①△BDF,△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE 的周长等于AB+AC，其中正确的是 ( )
A.①② B.①③
C.②③ D.①②③
在△ABC 中,∠A=40°,当∠B= 时,△ABC是等腰三角形.
4如图,已知∠AOB,作∠AOB 的平分线 OC,将直角尺 DEMN 如图所示摆放，使EM 边与 OB 边重合，顶点 D 落在OA 边上,DN边与OC交于点 P.
(1)猜想△DOP 是 三角形;
(2)请将猜想到的结论进行证明.
知识点2 等腰三角形性质与判定的综合应用
6如图,在△ABC 中,AB=AC,点 M 在 CA 的延长线上,MN⊥BC 于点N,交AB于点 O.若AO=3,BO=4,则MC的长度为 ( )
A.12 B.9 C.10 D.11
7如图,在△ABC 中,∠A=∠BCA,∠ABC=100°,D 为AC的中点,延长BC 至点 E,使 CE=CD,连接 BD 和 DE,则∠BDE 的大小为 °.
8如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是△ABC 的中线,AE 是∠BAD 的平分线,DF∥AB交AE 的延长线于 F.
(1)若∠BAC=120°,求∠BAD 的度数;
(2)求证:△ADF 是等腰三角形.
刷提升
1 如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=20°.若某个三角形与△ABC 能拼成一个等腰三角形(无重叠)，则拼成的等腰三角形有 ( )
A.3种 B.5种 C.7种 D.9种
2如图,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE,AB=5,BE=3,则AC= ( )
A.10 B.11 C.13 D.15
3如图,O 是△ABC内的点,AB=AC,∠BAC=90°,∠BOC=130°,将△AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 90°,得到△ADC,连接OD.设∠AOB 为α,当△COD 为等腰三角形时，α为 .
微专题2角平分线+平行→等腰三角形
[2025 浙江宁波校级期末,中]如图(1),P为∠AOB 的平分线 OC 上一点,过点 P 作 PD∥OB 交OA 于点 D,易得△POD为等腰三角形.
【基本运用】(1)如图(2)，把长方形纸片ABCD沿对角线 AC 折叠,使点 B 落在点 B'处，重合部分△ACE 是等腰三角形吗 为什么
【类比探究】(2)如图(3),△ABC 中,内角∠ABC 与外角∠ACG的平分线交于点O，过点O作DO∥BC分别交AB,AC于点D,E,试探究线段 BD，DE，CE 之间的数量关系并说明理由；
【拓展提升】(3)如图(4),四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD边的中点,AE平分∠BAD,连接BE,求证:AE⊥BE.
刷素养
5( 1)操作实践：如图，△ABC中,∠A=90°,∠B=22. 5°,请画出一条直线把△ABC 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；(要求用两种不同的分割方法)
(2)分类探究:△ABC中,最小内角∠B=24°,若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC 最大内角的所有可能值；
(3)猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件 (请你至少写出两个条件，无需证明)
你学过的每一样东西，你遭受的每一次苦难，都会在你一生中的某个时候派上用场。 71
课时3 等边三角形的性质及判定
刷基础
知识点1 等边三角形的性质
1如图,l ∥l ,等边三角形ABC的顶点B,C分别在l ,l 上.若∠1=20°,则∠2的大小为 ( )
A.65° B.70° C.80° D.85°
2如图，在等边三角形ABC中,AB=2cm,BD平分∠ABC,交AC于点D,点 E 在 BC 的延长线上,连接 DE,∠E=30°,则CE的长是 ( )
A.1 cm B.2cm C.3c m D.4 cm
3如图,△ABC 是等边三角形，D是线段 BC上一动点(不与点B,C重合),连接AD,点E,F分别在线段AB,AC的延长线上,连接 DE,DF,使 DE=DF=AD,则点 D 从 B 运动到 C 的过程中,△BED周长的变化规律是 ( )
A.先变大后变小 B.不变
C.先变小后变大 D.一直变小
4如图所示,△ABC 是等边三角形,且BD=CE,∠1=15°,则∠2的度数为 .
知识点2 等边三角形的判定定理
5在△ABC中,∠A+∠C=2∠B,∠A+∠B=2∠C, 则△ABC是 ( )
A.锐角且不等边三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
6在△ABC中,∠A=60°,请你添加一个适当的条件，使△ABC是等边三角形，添加的条件可以是 .(只要写出一个符合题意的条件即可)
知识点3 等边三角形性质与判定的综合应用
7如图,在△ABC中,BC=5,AD 为 BC 边上的中线,∠ADB = 60°,将△ABD 沿AD 所在直线翻折,点 B 翻折到点 B'的位置,连接CB',则CB'的长为 ( )
A.5 B.2.5 C.3 D.4
8如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,点 D 为△ABC 内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD 延长线上一点,CE=CA.
(1)求∠CDE 的度数;
(2)点 F在DE上,若DC=DF,则EF与BD相等吗 说明理由.
4.5等腰三角形
课时 1 等腰三角形的性质
刷基础
1. B 【解析】设∠A=x°. 因为 BD=AD,所以∠A=∠ABD=x°,所以∠BDC=∠A+∠ABD=2x°.因为 BD=BC,所以∠BDC=∠BCD=2x°.因为AB=AC,所以∠ABC=∠BCD=2x°.在△ABC中,x+2x+2x=180,解得.x=36,，所以∠A=36°.故选 B.
2. A 【解析】设 AC 交直线 l 于 E.因为 AB=BC,∠C=25°,所以 .因为 所以 所以 .因为∠BEA=∠C+∠2,所以. 故选 A.
3.10°或80°或20°或 140°【解析】如图,在△ABC 中,. .①当AB=AP 时,点 P在P ,P 处, ②当 PA=PB时,点 P 在 P 处, ③当 BA = BP 时,点 P 在 P 处, 180°-20°-20°=140°.综上所述,满足条件的∠ABP 的度数为 10°或80°或20°或140°.
4. B 【解析】因为AB=AC,AD 是BC 边上的中线,所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD,所以∠B+∠BAD=90°.因为∠B=25°,所以∠BAD=65°,所以∠CAD=65°.
5.等腰三角形“三线合一”的性质 【解析】因为AB=AC,BE=CE,所以AE⊥BC,所以工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质.
6.26 【解析】因为 BE=CE,DE⊥BC,所以BD=CD=3,所以BC=6. 因为△ACE 的周长为20,所以AC+CE+AE=AC+BE+AE=AC+AB=20,所以△ABC 的周长为AC+BC+AB=20+6=26.故答案为26.
7.3 【解析】因为在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC于点D,所以 BD=CD,所以 因为BD=2,AD=3,所以 故答案为3.
8.【证明】(1)因为AD是BC上的中线,AB=AC,所以AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.因为 DE∥AB,所以∠ADE=∠BAD=∠CAD,所以AE=DE,所以△ADE 为等腰三角形.
(2)由(1)得AD⊥BC,所以∠ADC=90°
因为∠ADE =∠CAD,∠EDC =90°-∠ADE,∠C=90°-∠DAE,所以∠EDC=∠ACD,所以ED=EC.又因为DE=AE,所以AE=CE.
刷易错
9.40°或70°或100°【解析】①当 BC=CD 时,如图 (1) 所示. 因为 ∠A = 20°,AB = AC,所以∠ABC=80°. 因为 BP 平分∠ABC,所以∠CBD=40°. 因为 BC = CD,所以∠CBD =∠BDC=40°.②当BD=BC时,如图(2)所示.由 ① 可知 ∠CBD = 40°. 因为 BD = BC,所以∠BDC=70°.③当 DB=DC 时,如图(3)所示.由①可知∠CBD=40°.因为 BD=CD,所以∠BDC=100°.故答案为40°或70°或100°.
刷提升
1. D 【解析】设运动的时间为 xs.在△ABC 中,∠A 为钝角,AB=20cm,AC=12 cm,点 P 从点B 出发以3c m/s 的速度向点 A 运动,点 Q 同时从点 A 出发以2cm /s的速度向点 C 运动，所以AP=20-3x,AQ=2x.当△APQ 是等腰三角形时,AP=AQ,即20-3x=2x,解得x=4.
2. A 【解析】如图,连接AO,BO.由题意得EA=EB=EO,所 以 ∠EAO = ∠EOA,∠EBO = ∠EOB. 又 因为∠EAO+∠EOA+∠EBO+∠EOB=180°,所以∠OAB+∠OBA=90°.因为 DO=DA,FO=FB,所以∠DAO=∠DOA,∠FOB =∠FBO,所以∠CDO = 2 ∠DAO, ∠CFO = 2 ∠FBO. 因为∠CDO + ∠CFO = 100°, 所 以 2 ∠DAO +2∠FBO=100°,所以∠DAO+∠FBO=50°,所以∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO= 140°,所以∠C = 180° - ( ∠CAB +∠CBA)= 180°-140°=40°,故选 A.
3.5 【解析】连接AO,如图.因为 OF=15,所以
OF)=15,所以OE+OF=5.故答案为5.
【解析】因为在△CBA 中,∠B=—30°,A B=CB,.所以 因为 是△A A D 的外角,所以 同理可得 75°，…，所以第2024个三角形的底角度数是
5.【解】如图,过A作AH⊥BC于H,过 E 作 EF⊥BD 于F,所以∠AHC = ∠EFC =90°,所以∠CAH+∠ACH=90°.因为AB=AC,BC=6,所以BH=HC=3.因为∠ACE=90°,所以∠ACH+∠ECF=90°,所以∠ECF=∠CAH.在△ACH与△CEF 中, 所以△ACH≌△CEF(角角边),所以EF=CH=3,所以△BCE 的面积为 3=9.
刷素养
6.【解】(1)因为∠B=∠C=35°,所以∠BAC=110°.因为∠BAD=80°,所以∠DAE=30°.因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=75°,所以∠CDE=180°-35°-30°-75°=40°.
(2)因为∠ACB=75°,∠CDE=18°,所以∠E=75°-18°=57°.因为 AD=AE,所以∠ADE =∠AED=57°,所以∠ADC=39°. 因为∠ABC=∠ADB +∠DAB = 75°,所以∠BAD = 75°-39°=36°.
(3)2∠CDE=∠BAD,理由如下:设∠ABC=∠ACB=y,∠ADE = ∠AED =x,∠CDE =α,∠BAD=β. 如图(1),当点 D 在点 B 的左侧时,∠ADC=x-α,所以yy=x+x,①,②①-②得2α-β=0,所以2α=β;如图(2),当点 D 在线段BC上时,∠ADC=x+α,所以 ②②-①得α=β-α,所以2α=β;
如图(3),当点 D 在点 C右侧时,∠ADC=x-α,所以 ①
②-①得2α-β=0,所以2α=β.
综上所述，∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD.
课时2 等腰三角形的判定
刷基础
1. D 【解析】A 选项,因为∠A:∠B:∠C=2:2:3,∠A+∠B+∠C = 180°,所以∠A = ∠B = 所以△ABC 是等腰三角形;B选项,因为a:b:c=2:2:3,所以可以设a=b=2x,即AC=BC,所以△ABC是等腰三角形;C 选项,因为 ∠A+∠B+∠C=180°,所以 所以∠A=∠B,所以△ABC 是等腰三角形;D 选项,因为 2∠A=∠B+∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A+2∠A=180°,所以∠A=60°,所以∠B+∠C=120°,不能判定△ABC 是等腰三角形.故选D.
2. C 【解析】因为AB=AC,∠A=36°,所以△ABC是等腰三角形，且 72°.又因为 BD 平分∠ABC,CE 平分∠ACB,所以∠ABD=∠EBC=∠ACE=∠ECB=36°,所以△EBC 是等腰三角形. 因为∠ABD = ∠A =36°,所以△ABD 是等腰三角形. 因为∠CED=∠ECB+∠EBC = 72°, 且∠CDE = ∠ABD +∠A=72°,所以∠CED=∠CDE=∠ACB=72°,所以△EDC 和△BCD 是等腰三角形.综上所述，共有5 个等腰三角形.故选 C.
3. D 【解析】①因为 BF 是∠ABC 的平分线,所以∠ABF = ∠CBF. 又因为 DE∥BC,所以∠CBF=∠DFB,所以 所以△BDF 是等腰三角形，同理可得△CEF 是等腰三角形,故①正确.②因为∠DBF=∠DFB,所以DB=DF. 同理可得.EF=EC,所以DE=DF+EF=BD+CE,故②正确.③因为 DF=BD,EF=EC,所以△ADE 的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF=AD+BD+AE+CE=AB+AC,故③正确.故选 D.
4.40°或70°或100°【解析】①当AB=BC 时,∠A=∠C=40°,所以∠B=180°-∠A-∠C=100°;②当AC=BC 时,∠A=∠B=40°;③当AB=AC 时, 故答案为40°或70°或100°.
5.(1)等腰
(2)【证明】因为OC平分∠AOB,所以∠DOP=∠BOP.因为 DN∥EM,所以∠DPO=∠BOP,所以∠DOP =∠DPO,所以△DOP 是等腰三角形.
6. C 【解析】因为 MN⊥BC 于点 N,所以∠C+∠M=90°,∠B+∠BON=90°.因为AB=AC,所以∠B=∠C,所以∠M=∠BON=∠AOM,所以AM=AO=3.因为AC=AB=AO+BO=3+4=7,所以CM=AC+AM=7+3=10.故选 C.
7.110 【解析】因为∠A=∠BCA,∠ABC=100°,所以 BC.因为D为AC 的中点,所以BD⊥AC,所以∠BDC= 90°. 因为 CE = CD,所以∠CDE =∠CED.又因为∠BCD=∠CDE+∠CED=40°,所以∠CDE = 20°,所以 ∠BDE = ∠CDE +∠BDC=110°,故答案为110.
8.(1)【解】因为AB=AC,AD 是△ABC 的中线,∠BAC= 120°,所以 120°=60°.
(2)【证明】因为AE 是∠BAD 的平分线,所以∠BAF=∠DAF.因为 AB∥DF,所以∠BAF=∠AFD,所以∠DAF=∠AFD,所以AD=DF,所以△ADF 是等腰三角形.
刷提升
1. C 【解析】设△DEF为另一个三角形.如图,共有7种拼法：
故选 C.
2. B 【解析】延长 BE 交 AC 于 M,如图. 因为BE ⊥ AE,所 以∠AEB=∠AEM=90°,所 以 ∠3 =90°-∠1, ∠4 =90° -∠2. 因为∠1=∠2,所以∠3=∠4,所以AB=AM=5.因为 BE⊥AE,所以 BM=2BE=6. 因为∠4 是△BCM 的外角,所以∠4 =∠5+∠C. 因为∠ABC=3∠C,∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5,所以3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C,所以∠5=∠C,所以 CM=BM=6,所以AC=AM+CM=11.故选 B.
3.85°或 115°或145° 【解析】因为 AB=AC,∠BAC=90°,所以∠ABC+∠ACB=90°,∠ABC=∠ACB=45°,所以∠ABO+∠OBC+∠OCB+∠ACO=90°. 因为∠BOC=130°,∠AOB=α,所以∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=50°,α=360°-∠BOC-∠AOC = 230°-∠AOC,所以∠ABO+∠ACO = 90° - (∠OBC +∠OCB) =40°,∠AOC=230°-α.因为将△AOB 绕点A 按逆时针方向旋转 90°，得到 △ADC，所以△AOB≌△ADC,∠OAD=90°,所以∠ACD =∠ABO,AD =AO, ∠ADC = ∠AOB =α,所以∠OCD=∠ACD+∠ACO = ∠ABO+∠ACO =40°,∠AOD = ∠ADO = 45°, 所以∠COD =∠AOC-∠AOD = 230°-α-45°= 185°-α,∠CDO=∠ADC-∠ADO=α-45°,所以△COD中,∠OCD=40°,∠COD=185°-α,∠CDO=α-45°.当△COD 为等腰三角形时，分以下三种情况:①OC=OD,所以∠ODC=∠OCD,所以α-45°=40°,解得α=85°;②OC=CD,所以∠COD=∠CDO,所以α-45°=185°-α,解得α=115°;③CD=OD,所以∠COD=∠OCD,所以185°-α=40°,解得α=145°.综上所述,α=85°或α=115°或α=145°,故答案为 85°或115°或145°.
4.(1)【解】△ACE 是等腰三角形.理由:在长方形ABCD中,因为DC∥AB,所以∠ACD=∠BAC.由折叠的性质可得∠BAC = ∠B'AC,所以∠ACD=∠B'AC,所以AE=CE,所以△ACE 是等腰三角形.
(2)【解】BD = DE+CE. 理由:同(1) 可证△BDO 为等腰三角形,则 BD=OD.因为 CO平分∠ACG,DO∥BC,所以∠OCG=∠ECO=∠EOC,所以 CE=OE,所以 BD = DO= DE+EO=DE+CE.
(3)【证明】如图,延长AE 交 BC的延长线于 F.因为AD∥BC,所以∠F=∠DAE,∠D=∠ECF.因为AE平分∠BAD,所以∠BAF=∠DAF,所以∠BAF=∠F,所以 BA=BF.因为E 是 CD 的中点,所以 DE=CE.在△ADE 和△FCE 中, 所以 △ADE≌△FCE(角角边),所以AE=EF.又因为 AB=BF,所以点 E 是AF的中点,所以BE⊥AE.
刷素养
5.【解】(1)如图(1)所示:
(2)设分割线为AD，相应的角度如图所示图(2) 中△ABC 的最大内角是 39°+78°=
,图(3)中, 的最大内角是 ,图(4)中. 的最大内角是 图(5)中. 的最大内角是
故 的最大内角可能值是 或 或 或
(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：
①该三角形是直角三角形；
②该三角形有一个角是最小角的2倍；
③该三角形有一个角是其中一个角的 3 倍.(写出其中两个即可)
课时3 等边三角形的性质及判定
刷基础
1. C 【解析】如图,因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°. 因为 所以∠ACD=∠1+∠ACB=80°. 因为 所以∠2=∠ACD=80°.故选 C.
2. A 【解析】因为在等边三角形 ABC 中,∠ACB=60°,AB=2cm,BD 平分∠ABC,所以AC=2cm ,所以 DC=AD=1 cm. 因为∠E=30°,∠E+∠EDC=∠ACB,所以∠EDC=60°-30°=30°=∠E,所以CD=CE=1 cm,故选 A.
3. C 【解析】因为△ABC 是等边三角形,所以∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60°,所 以∠EBD=∠DCF =120°. 因为 DF =AD,所以∠CAD = ∠F. 又 因 为 ∠BAD + ∠CAD =∠BAC=60°,∠CDF+∠F=∠ACB=60°,所以∠BAD=∠CDF.因为 DE=AD,所以∠BAD=∠E,所以∠E = ∠CDF.
在△BDE 和△CFD中， 所以△BED≌△CDF(角角边),所以BE=CD,所以△BED 的周长
为 BE+BD+DE=CD+BD+AD=BC+AD.因为在点 D 从B 运动到 C 的过程中，BC 长度不变，AD 长度先变小后变大，其中当点 D 运动到BC 的中点位置时，AD 长度最小，所以在点 D从B 运动到 C 的过程中，△BED 周长的变化规律是先变小后变大，故选 C.
4.60°【解析】因为△ABC 为等边三角形,所以AB=BC,∠ABC =∠ACB = 60°. 在△ABD 和△BCE 中, 所以 △ABD ≌△BCE,所以∠1= ∠CBE. 因为 ∠2 = ∠1 +∠ABE,所以∠2=∠CBE+∠ABE =∠ABC =60°.故答案为60°.
5. D 【解析】因为∠A+∠C=2∠B,∠A+∠B+∠C=180°,所以3∠B=180°,所以∠B=60°.因为∠A+∠B=2∠C,∠A+∠B+∠C=180°,所以3∠C=180°,所以∠C=60°,所以∠A=180°-∠B-∠C=60°,所以∠A=∠B=∠C=60°,所以△ABC是等边三角形,故选 D.
6.∠B=60°(答案不唯一) 【解析】因为在△ABC 中,∠A = 60°,所以添加∠B = 60°或∠C=60°或AB=AC或AC=BC 或AB=BC,即可得出△ABC为等边三角形.
7. B【解析】由折叠可知. DB'=DB,所 以. .因为BC=5,AD为BC边上的中线,所以DC=DB=DB'=2.5,所以△B'DC为等边三角形，所以CB'=DC=2.5,故选 B.
8.【解】(1)因为△ABC 为等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以∠BAC=∠ABC=45°.
因为∠CAD = ∠CBD = 15°,所 以 ∠DAB =∠DBA=45°-15°=30°,所以AD=BD.
在△ACD与△BCD中, 所以△ACD≌△BCD(边角边),所以∠ACD=∠BCD=45°,所以∠CDE = ∠CAD+∠ACD =15°+45°=60°.
(2)相等. 理由:连接 CF. 因为∠EDC= 60°,DC=DF,所以△DCF为等边三角形,所以CD=CF,∠DCF = 60°,∠CDB = ∠EDC+∠EDB =∠EDC + ∠DAB + ∠DBA = 120°, ∠CFE =∠CDF+∠DCF=120°,所以∠CFE=∠CDB.因为 CE = CA,所以∠CAE =∠CEA = 15°. 因为∠CAD=∠CBD=15°,所以∠CEA=∠CBD.在△CFE和△CDB中, 所以△CFE≌△CDB(角角边),所以EF=BD.

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