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4.3.2全等三角形的判定定理(边角边)
刷基础
知识点 1用“边角边”判定两个三角形全等
1下列三角形全等的是 ( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
2在新年联欢会上，老师设计了“你说我画”的游戏.游戏规则如下：甲同学需要根据乙同学提供的三个条件画出形状和大小都确定的三角形.已知乙同学说出的前两个条件是“AB=4，BC=2”.现仅存下列三个条件:①∠A=45°;②∠B=45°;③∠C=45°.为了让甲同学画出形状和大小都确定的△ABC，乙同学可以选择的条件的个数有 个.
知识点2“边角边”判定定理的应用
3如图,点E在AB 上,点 F在AC上,且AE=AF,AB=AC,BF=5,DE=1,则DC的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则∠1 和∠2的关系为 ( )
A.∠1=∠2 B.∠2=2∠1
C.∠1+90°=∠2 D.∠1+∠2=180°
如图,在△ABC中,AB=AC,AE是△ABC 的角平分线,交 BC于点E，点 D 是AE上的一点，连接BD，CD，则下列结论不一定正确的是( )
A. AE⊥BC B.∠ABD=∠DBE
C. BD=CD D. BE=CE
6如图,在△ABC中,D 是BC 延长线上一点,满足CD=BA,过点C作CE∥AB,且CE=BC,连接DE并延长,分别交AC,AB于点 F,G.
(1)求证:△ABC≌△DCE;
(2)若BD=12,AB=2CE,求BC的长度.
刷易错
易错点忽略两边一角中的角是两边的夹角这一特征而致错
7如图,AB=AC,AE=AD,要使△ACD≌△ABE,需要补充的一个条件是 ( )
A.∠B=∠C B.∠D=∠E
C.∠BAC=∠EAD D.∠B=∠E
刷提升
1如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=26°,∠2=33°,连接BE,点 D 恰好在BE上,则∠3= ( )
A.60° B.59°
C.61° D.无法计算
2 如图,在3×3的小正方形网格中，A，B，C，D均为格点，设∠ABC=α,∠BCD=β,∠BAD=γ,则α-β-γ的值为 ( )
A.45° B.60° C.75° D.135°
3如图,在△ABC 中,∠B=2∠A,∠ACB 的平分线 CD交AB 于点 D,已知AC=16,BC=9,则 BD 的长为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
4如图,在四边形ABCD中,AB=20 cm,BC=16 cm,CD=24 cm,∠B=∠C,点E 为AB 的中点.如果点P 在线段BC 上以4 cm/s的速度由 B 点向 C 点运动,同时,点Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点运动，那么当点Q 的运动速度为 时，能够使△BPE 与△CQP 在某一时刻全等.
5如图(1),∠ABC=90°,FA⊥AB 于点A,D是线段AB上的点,AD=BC,AF=BD.
(1)DF 与 DC 的数量关系为 ,位置关系为 .
(2)如图(2),∠ABC=90°,点D 在线段AB 的延长线上,AD=BC,过点 A 在 AB 的另一侧作AF⊥AB,截取AF=BD,连接DC,DF,CF,则(1)中结论是否成立 请说明理由.
刷素养
6八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了数学探究，请你帮他们完成下列问题.
【探究与发现】
(1)如图(1),AD 是△ABC 的中线,延长AD 至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的三角形: .
【理解与应用】
(2)如图(2),EP 是△DEF 的中线,若 EF=5,DE=3,求 EP 长度的最大整数值.
(3)如图(3),AD 是△ABC 的中线,AC 是△ABQ的中线,∠BAC=∠ACB,AB=BC,求证:AQ=2AD.
4.3.2全等三角形的判定定理(边角边)
刷基础
1. A 【解析】①②组合,在 和△EFD 中,因为 所以 (边角边)，所以全等的三角形是①②.其他组合均不能证明两个三角形全等.
2.1 【解析】已知AB=4,BC=2,，则添加的有关角的条件必须是边AB和BC的夹角，即 45°，所以乙同学可以选择的条件的个数有1个.
3. D 【解析】在△BAF 和△CAE中,中级结合∠ACE,所以△BAF≌△CAE(边角边),所以BF=CE.因为 BF=5,DE=1,所以CD=CE-DE=BF-DE=5-1=4.故选 D.
4. D 【解析】如图,由题意得AB=ED,BC=DF,∠EDF = ∠ABC = 90°,所以△ABC≌△EDF(边角边),所以∠DEF=∠1. 因为∠DEF+∠2=180°,所以∠1+∠2=180°.故选 D.
5. B 【解析】在△ABC 中,因为AE 是△ABC 的角平分线,所以∠BAD=∠CAD.又因为 AB=AC,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(边角边),所以 BD =CD,故 C 选项正确.同理可知△ABE≌△ACE (边角边),所以 BE = CE,∠AEB=∠AEC=90°,即AE⊥BC,故 A,D 选项正确.根据已知条件无法证明∠ABD =∠DBE.故选 B.
6.(1)【证明】因为 CE∥AB,所以∠B=∠ECD.在△ABC 与△DCE中, 所以△ABC≌△DCE(边角边).
(2)【解】因为 AB=2CE,CE=BC,所以AB=2BC.因为△ABC≌△DCE,所以AB=CD,所以CD=2BC.因为 BC+CD=BD=12,所以 BC+2BC=12,所以BC=4.
刷易错
7. C 【解析】当∠BAC = ∠EAD 时,∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE,所以∠BAE=∠CAD.在△ACD 和△ABE 中,因为 所以△ACD≌△ABE(边角边),选项 A、B、D的条件都不能推出△ACD≌△ABE，只有选项C的条件能推出△ACD≌△ABE.
刷提升
1. B 【解析】因为∠BAC=∠DAE,即∠1+∠DAC=∠DAC+∠CAE,所以∠1=∠CAE.在△ABD 和△ACE 中, 所以△ABD≌△ACE(边角边),所以∠ABD=∠2=33°,所以∠3=∠1+∠ABD=26°+33°=59°.故选 B.
2. A 【解析】如图,因为BE=AG,∠BEC = ∠AGB = 90°,EC = GB, 所 以 △BEC ≌△AGB (边 角 边 ) ,所 以∠ECB=∠GBA.因为∠ECB+∠EBC=90°,所以∠GBA+∠EBC=90°,所以∠ABC=90°=α.因为β+∠CBD=90°,∠CBD+∠ABD=90°,所以∠ABD=β. 因为∠ADF =∠ABD+∠BAD=45°,所以β+γ=45°,所以α- β-γ=90°-45°=45°.故选 A.
3. B【解析】如图,在AC 上截取 CE=CB,连接 DE.因为∠ACB的平分线CD交AB于点D,所 以 ∠BCD = ∠ECD. 在 △CBD 与
△CED 中, 所以 △CBD≌△CED(边角边),所以BD=ED,∠B=∠CED.因为∠B=2∠A,∠CED=∠A+∠ADE,所以∠A=∠EDA,所以AE=ED,所以 BD=DE=AE=AC-CE=AC-BC=16-9=7.故选 B.
4.4 cm/s或5cm /s 【解析】因为点 E 为 AB 的中点,AB=20 cm,所以 10(cm).设点 P 的运动时间为 t s,则 BP =4t cm.因为 BC=16 cm,所以CP=BC-BP=(16-4t) cm. 因为∠B=∠C,所以①当BE=CP=10 cm,BP=CQ=4t cm时,△BPE≌△CQP(边角边),此时16-4t=10,解得 所以CQ=4t=6 cm,此时点 Q 的运动速度为 6÷ ②当 BE=CQ = 10 cm,BP =CP=4t cm 时,△BPE≌△CPQ(边角边),此时4t=16-4t,解得t=2,此时点Q的运动速度为 10÷2=5(cm/s).综上所述,当点 Q 的运动速度为4 cm/s或5cm /s时,能够使△BPE 与△CQP 在某一时刻全等.故答案为 4 cm/s或5cm /s.
5.【解】(1)因为 AF⊥AB,所以∠DAF=90°.在△ADF 和△BCD 中, 所以△ADF≌△BCD(边角边),所以 DF = CD,∠ADF=∠BCD.因为∠BCD+∠CDB=90°,所以∠ADF+∠CDB=90°,所以∠CDF=90°,即CD⊥DF.故答案为 DF=DC,DF⊥DC.
(2)成立. 理由如下:因为 AF⊥AB,所以∠DAF=90°.因为∠ABC=90°,所以∠CBD=90°,所以∠DAF=∠CBD.在△ADF 和△BCD
中 所以△ADF≌△BCD(边角边),所以 DF=CD,∠ADF=∠BCD. 因为∠BCD+∠CDB =90°,所以∠ADF+∠CDB =90°,即∠CDF=90°,所以CD⊥DF.
6.(1)【解】在 与 中
所以 (边角边).
故答案为
(2)【解】如图(1),延长 EP 至点 Q,使.PQ=PE,连接FQ.
在 与 中
所以 (边角边)，所以FQ=DE=3.
在 中，EF-FQ(3)【证明】如图(2),延长AD到M,使MD=AD,连接BM,所以AM=2AD.
因为AD 是△ABC 的中线,所以BD=CD.
在△BMD与△CAD中,
所以△BMD≌△CAD(边角边),所以 BM=CA,∠M = ∠CAD,所以∠BAC = ∠BAM +∠CAD=∠BAM+∠M.因为∠ACB=∠BAC,所以∠ACB=∠BAM+∠M,所以∠ACQ=180°-∠ACB=180°-(∠BAM+∠M).因为∠MBA=180°-(∠BAM+∠M),所以∠ACQ=∠MBA.因为AC是△ABQ的中线,所以QC=BC.
因为AB=BC,所以QC=AB.在 与△MBA 中, 所以△ACQ≌ (边角边)，所以.AQ=AM=2AD.

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