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4.2命题与证明
4.2.1 定义,命题
知识点1 定义的判断
1下列语句中属于定义的是 ( )
A.直角都相等
B.作已知角的平分线
C.连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D.两点之间，线段最短
知识点2命题
2下列语句中，是命题的是 ( )
①若∠1=60°,∠2=60°,则∠1=∠2.②同位角相等吗 ③画线段AB=CD.④如果a>b,b>c,那么a>c.⑤直角都相等.
A.①④⑤ B.①②④
C.①②⑤ D.②③④⑤
3下列命题是真命题的是 ( )
A.三角形中至少有一个角大于或等于60度
B.经过线段中点的直线是线段的对称轴
C.三角形按边分可以分为不等边三角形和等边三角形
D.三角形按角分可以分为钝角三角形、锐角三角形和等腰直角三角形
4命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 (填“真命题”或“假命题”).
知识点3 命题的构成(
5命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件是 ，结论是这两条直线平行.
6把下列命题写成“如果……，那么……”的形式，并指出其条件和结论.
(1)等角的余角相等.
(2)三角形内角和等于180°.
知识点4 互逆命题与逆命题
7给出下列命题：①若x≠0,则x >0;②锐角都相等;③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.以上命题的逆命题是假命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
8下列说法正确的是( )
A.原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题
B.每个命题都有逆命题
C.真命题的逆命题是真命题
D.假命题的逆命题是真命题
9命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 命题2：如果一个三角形的三条边长分别为a,b,c,且 那么这个三角形是直角三角形.则命题1 与命题 2 是 命题.
10写出下列命题的逆命题.
(1)同旁内角互补，两直线平行.
(2)如果两个角是直角，那么这两个角相等.
(3)能被4整除的数一定能被8整除.
4.2.2 证明,举反例
刷基础
知识点1 证明
1[2025 安徽芜湖质检]证明:如果a>b>0,c<0,那么
知识点2 举反例
2能说明命题“如果两个角互补，那么其中一个是锐角，另一个是钝角”为假命题的反例是 ( )
A.120°,60° B.95°,105°
C.30°,60° D.90°,90°
3指出下列命题的条件和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
(1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角；
(2)内错角相等；
(3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
知识点3 反证法
4.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，下列假设正确的是 ( )
A.三角形中最少有一个角是直角或钝角
B.三角形中没有一个角是直角或钝角
C.三个角全是直角或钝角
D.三角形中有两个(或三个)角是直角或钝角
5用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”时，假设“ ”,则与“ ”矛盾，所以原命题正确.
6(填空)用反证法证明：两直线平行，同位角相等.
已知:如图,直线l ,l 被l 所截,A,B 为交点,l ∥l .
求证:∠1=∠2.
证明：假设所求证的结论不成立，即 ≠ .如图,过点A 作直线l ,使l 与l 所成的∠3 与∠2 相等,则∠3 ∠1,所以直线l 与直线 l 不重合.但l ∥l ( ),又已知l ∥l ，这与基本事实“ ”产生矛盾，所以 不成立，所求证的结论成立.
7用反证法证明：已知：a<|a|,则a必为负数.
4.2.3 定理,推论
刷基础
知识点1定理
1下列可以作为定理的有( )
①一个能被2 整除的数也必能被4 整除；②相等的角是对顶角；③25 与x的平均值是3；④三角形内角和为180°.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2下列说法错误的是( )
A.命题不一定是定理，定理一定是命题
B.定理不可能是假命题
C.真命题是定理
D.如果真命题的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题就是定理
3定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知:如图,∠ACD是△ABC的外角.
求证:∠ACD=∠A+∠B.
证法1：如图， 因为∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理),又因为∠ACD+∠ACB=180°(平角定义),所以∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+∠ACB(等量代换),所以∠ACD=∠A+∠B(等式性质).
证法2：如图， 因为∠A=76°,∠B=59°, 且∠ACD=135°(量角器测量所得), 又因为 (计算所得)， 所以∠ACD=∠A+∠B(等量代换).
下列说法正确的是 ( )
A.证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B.证法1用严谨的推理证明了该定理
C.证法2由特殊到一般证明了该定理
D.证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
定理“两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同位角相等”有逆定理吗 如果有，请将其逆定理写出.
知识点2 推理证明
5 如图,AB⊥ BC,DC ⊥BC,∠1=∠2,求证:BE∥CF.现有下列步骤：①因为∠2=∠1;②所以∠ABC=∠BCD=90°;③所以BE∥CF;④因为AB⊥BC,DC⊥BC;⑤所以∠EBC= ∠FCB.那么正确的证明顺序是 ( )
A.①②③④⑤ B.③④⑤②①
C.④②①⑤③ D.⑤②③①④
6仔细阅读下面的推理过程：
因为a=b≠0,所以
所以 即(a+b)(a-b)=b(a-b),②
所以a+b=b,③
所以a=0.④
根据推理过程，由条件“a=b≠0”，推理得到结论“a=0”，开始出现错误的步骤是第 步.(填序号)
7如图,在△ABC 中,AD,BE分别是∠BAC,∠ABC 的平分线.
(1)若∠C=70°,∠BAC=60°,则∠BED 的度数是 ;
(2)探究∠BED 与∠C 的数量关系，并证明你的结论.
4.2命题与证明
4.2.1 定义,命题
刷基础
1. C【解析】A选项是直角的性质，不符合题意；B选项是作图语言，不是定义，不符合题意；C选项符合题意；D选项是线段的基本事实，不是定义，不符合题意.
2. A 【解析】①若. 则 ，是命题，故①正确.②同位角相等吗 不是命题，故②错误.③画线段，AB=CD,不是命题，故③错误.④如果(a>b,b>c,那么a>a>c,是命题，故④正确.⑤直角都相等，是命题，故⑤正确.故选 A.
3. A【解析】A选项，三角形中至少有一个角大于或等于60度，是真命题，该选项符合题意；B 选项，经过线段中点且垂直于该线段的直线是这条线段的对称轴，原命题是假命题，该选项不符合题意；C选项，三角形按边分可以分为不等边三角形和等腰三角形，原命题是假命题，该选项不符合题意；D选项，三角形按角分可以分为钝角三角形、锐角三角形和直角三角形，原命题是假命题，该选项不符合题意.故选 A.
4.真命题 【解析】根据三角形内角和定理判断即可.三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题.
5.两条直线平行于同一条直线 【解析】本命题可以改写成如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行.“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，所以条件为两条直线平行于同一条直线.
6.【解】( 1)如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等.
条件：两个角是等角的余角，结论：这两个角相等.
(2)如果三个角是一个三角形的内角，那么这三个内角的和等于1 条件：三个角是一个三角形的内角，结论：这三个内角的和等于180°.
7. B 【解析】①“若:x≠0,则 的逆命题为“若 则x≠0”,，正确，是真命题，不符合题意；②“锐角都相等”的逆命题为“相等的角都为锐角”，错误，是假命题，符合题意；③“一个角的补角大于这个角”的逆命题为“大于一个角的角是它的补角”，错误，是假命题，符合题意；④“两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，正确，是真命题，不符合题意.故选B.
8. B【解析】A选项，原命题是假命题，它的逆命题不一定也是假命题，错误，不符合题意；B选项，每个命题都有逆命题，正确，符合题意；C选项，真命题的逆命题不一定是真命题，错误，不符合题意；D选项，假命题的逆命题不一定是真命题，错误，不符合题意.故选 B.
9.互逆 【解析】根据互逆命题的定义可知命题1 与命题 2是互逆命题，故答案为互逆.
10.【解】( 1)“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是“两直线平行，同旁内角互补”.
(2)“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是直角”.
(3)原命题的逆命题是“能被8 整除的数一定能被4 整除”.
4.2.2 证明,举反例
刷基础
1.【证明】因为a>b>0,所以 所以 ab+ bc.因为a>b,c<0,所以 bc> ac,所以 ab+ bc> ab+ ac,所以
2. D 【解析】90°+90°=180°,但这两个角并不是锐角和钝角.
3.【解】(1)条件：两个角的和等于平角，结论：这两个角互为补角.该命题是真命题.
(2)条件：两个角是内错角，结论：这两个角相等.该命题是假命题，如图，∠1 与∠2是内错角,∠2>∠1.
(3)条件：两个角是两条平行线被第三条直线所截得的同旁内角.结论：这两个角互补.该命题是真命题.
4. D【解析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，所以假设正确的是“三角形中有两个(或三个)角是直角或钝角”.故选 D.
5.三角形的三个内角都小于 60° 三角形的内角和是180°【解析】用反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”时，假设“三角形的三个内角都小于60°”，则与“三角形的内角和是180°”矛盾，所以原命题正确.
6.∠1 ∠2 ≠ 同位角相等，两直线平行过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 ∠1≠∠2 【解析】假设所求证的结论不成立，即∠1≠∠2.如题图，过点 A 作直线l ,使l 与l 所成的∠3 与∠2 相等,则∠3≠∠1，所以直线l 与直线l 不重合.但l ∥l (同位角相等，两直线平行)，又已知l ∥l ，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾，所以∠1≠∠2不成立，所求证的结论成立.故答案为∠1，∠2；≠；同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；∠1≠∠2.
7.【证明】假设a≥0,则|a|=a,这与已知a<|a|相矛盾，所以假设不成立，所以a必为负数.
4.2.3 定理,推论
刷基础
1. A【解析】能被2 整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理；相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理；25 与x的平均值是 所以③是假命题，不能作为定理；三角形的内角和为1 ，经过证明是正确的，所以④可以作为定理.故可以作为定理的有1个，故选 A.
2. C【解析】经过证明为真的命题是定理，并不是所有的真命题都是定理，所以 C 错误.故选 C.
3. B【解析】证法 1给出的证明过程是完整正确的，故选项 A 不符合题意，选项 B 符合题意；证法2用量角器度量两个内角和外角的度数，只能验证该定理的正确性，缺少理论证明过程，故选项 C 不符合题意；证法 2 只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，但还需用理论证明，故选项D不符合题意.故选 B.
4.【解】有.逆定理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
5. C【解析】由垂直的性质及已知条件可以得出 进而得出 正确证明顺序为④②①⑤③.
6.③ 【解析】因为(a=b,所以a-b=0,，所以等式两边不能同时消去a-b,，所以开始出现错误的步骤是第③步.
7.【解】(1)因为 所以 因为 AD,BE 分别是
的平分线，所以 所以 所以 故答案为
(2)结论: 证明：因为AD,BE 分别是. 的平分线，所以 所以

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