资源简介 2025-2026 学年下学期期末考高二数学答案一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知 ，则 （ ）A．3 B． C． D．【答案】B【详解】由 求导得： ，则 .2．对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是（ ）A． B．C． D．【答案】A【详解】对四个散点图分析：对选项 A：散点明显呈上升趋势，且非常接近一条直线，因此样本数据有较强的相关关系且 ；对选项 B：散点呈下降趋势，且比较接近一条直线，所以 ，一定有 ；对选项 C、D：散点分布非常分散，线性相关性极弱， 都接近 ，都小于.因此相关系数最大的是 .3．已知向量 ，则 等于（ ）A．2 B．1 C．－1 D．0【答案】A【详解】 ，故选项 A正确.试卷第 9页，共 12页4．已知事件 A，B满足 ， ，，若 A与 B相互独立，则（ ）A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24【答案】D【详解】当 A与 B相互独立，可知 也相互独立，则5．已知曲线 在点 处的切线为 ，则 （ ）A．2 B．1 C． D．【答案】C【详解】因为 ，所以 ，又切线方程为：所以 ，解得6．若函数 在区间 上存在减区间，则实数 的范围是( )A． B． C． D．【答案】D【详解】函数 的定义域为 ，求导得 .函数 在区间 上存在减区间，等价于 在 内有解，即 在 上有解.当 时， ，故 ，即实数 的取值范围是 .7．某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为 600，400，200.已知小明做对型题目的概率分别为 ， ， ，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】设小明选 1道 类试题为事件 ，试卷第 10页，共 12页小明选 1道 类试题为事件 ，小明选 1道 类试题为事件 ，又 设小明答对试题为事件 ，则由已知得： ， ， ，由全概率公式得：.8．如图，已知正方体 中，F为线段 的中点，E为线段 上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A．存在点 E，使 平面B．存在点 E，使 平面C．三棱锥 的体积随动点 E变化而变化D．直线 与 所成的角不可能等于【答案】B【详解】在正方体 中，以点 D为原点，直线 分别为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则，由 在线段 上运动，设（ ），则 ，平面 的法向量 ，显然 ，则直线 与平面 不平行，A错误；设平面 的法向量为 ， ，则 ，令 ，得 ，当 时， ，因此 平面 ，B正确；，设直线 与 所成角为 ，则 ，试卷第 9页，共 12页显然当 时， ， ，即存在点 E使得直线 与 所成的角为，C错误；点 在正方体 的对角面矩形 的边 上，则，而 平面 平面 ，则 ，又 ，可得 平面 ，点 到平面 的距离为 ，则三棱锥的体积为定值，D错误.故选：B二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0 分）9．某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费 （单位：万元）与销售利润 （单位：万元）之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为 ．已知投入的广告费 ，销售利润 ，则（ ）A．线性回归方程过点 B．C． 与 呈正相关 D．当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4 万元【答案】ABC【详解】由回归直线的性质可知 A正确，把点 代入到 ，得 ，故 B正确， ， 与 呈正相关，故 C正确，当投入的广告费为 6万元时，销售利润估计为 10.4 万元，故 D错误.10．已知 ，则（ ）A． B．C． D．【答案】AC【详解】A选项，由 可得 ，所以 A选项正确；试卷第 10页，共 12页B 选项，由 可得 ，所以 B选项错误；C选项，利用正态曲线的对称性可知， ，故 ，所以 C选项正确；D选项，利用正态曲线的对称性可知， ，而 ，故 ，所以 D选项错误.11．如图，在直三棱柱 中， ， ， 是棱 的中点， 在底面 内（包括边界），则下列说法正确的是（ ）A． 的最小值为B．当 时，点 的轨迹长度为C．存在唯一 ，使D．若 ，则三棱锥 外接球的半径为【答案】BCD【详解】选项 A：作 关于平面 的对称点 ，则 ，所以 的最小值为 ，故 A项错误；选项 B：以 为原点，以 ， ， 所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，设 ，则由得 即点 的轨迹是 的中位线，长度为 ，故 B项正确；选项 C：以 为原点，以 ， ， 所在的直线分别为 x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，设 ，则试卷第 9页，共 12页，所以 ，所以 ，即 为 的中点，故 C项正确；选项 D：因为 ， ，所以三棱锥 外接球的直径为 ，又 ，所以外接球的半径为 ，故 D项正确．故选：BCD三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。）12．若函数 在 处有极值，则实数 ________．【答案】【详解】因为 ， ， 在 处有极值，所以 ，所以 ，解得 ．经检验 时， ，当 或 时， ；当时， ，所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，函数在 处有极大值，满足题意．故答案为： .13．已知事件 A和 B满足 ， ， ，则 __________．【答案】【详解】由 ，得 .所以 .14．跑步是不少中学生锻炼身体的运动方式之一，学校作了一次调查，已知被调查的女生人数是被调查的男生人数的 ，热爱跑步的男生人数占男生人数的 ，热爱跑步的女生人数占女生人数的 ，若根据 的独立性检验，认为中学生热爱跑步与性别有关，则男生至少有_____人.试卷第 10页，共 12页附： ， 其中 ， .【答案】30【详解】设男生人数为 x，由题意得列联表如下；热爱跑步 不热爱跑步 合计男生 x女生合计计算 解得又 ，所以 ，即根据 的独立性检验，认为中学生热爱跑步与性别有关，所以男生至少有 30 人.四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本小题 13 分）已知函数 .(1)当 时，若曲线 在点 处的切线与 轴平行，求点 的坐标；(2)若 恒成立，求 a的取值范围.【详解】（1）当 时， ， ，设点 的坐标 ，由题意得： ，解得： ， ―――――――――――4分所以 ，因此点 的坐标为 .―――6分（2） ，令 ，―――8分试卷第 9页，共 12页所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 ，所以 ，――――――12 分即：a的取值范围是 .―――――――――――――13 分16．（本小题 15 分）在正三棱柱 中，已知分别是棱的中点．(1)证明：平面 平面 ；(2)求二面角 的余弦值．【详解】（1）在矩形 中， 分别为的中点，连接 ，则 ，在 与 中，易得 ， ，因为 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ， ――――――――4分同理， ，因为 平面 ， 平面 ，所以 平面，又因 平面 ，故平面 平面 .――――7分（2）以 中点 为坐标原点， 所在直线为 x轴正方向， 所在直线为 y轴正方向，过点 和平面 垂直的直线为 z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，――――――――――――9分设平面 的法向量为 ，因 ，试卷第 10页，共 12页则 ，即 令 ，则 ，设平面 的法向量为 ，――――――――――12 分所以 ，所以所求二面角的余弦值为 ．――――――――――――15 分17．（本小题 15 分）某商场推出消费抽奖活动，顾客到店消费 100 元及以上，可参加一次抽奖活动，抽奖规则如下：从装有 15 张形状大小完全相同的卡片（5 张红卡，10 张黑卡）的抽奖箱中，一次取出 1张卡片，若取到红卡，则享受 8折优惠，否则不享受优惠.若某时间段内有 5 位消费者参加抽奖，且每位消费者抽奖结果互不影响.(1)求该时间段内恰好有 2 位消费者获得 8 折优惠的概率；(2)该时间段内的这 5 位消费者每人通过抽奖，若他获得 8 折优惠，则售货员可获得 3 元奖金，求售货员获得奖金金额的数学期望和方差.【详解】（1）解：由题意可知，消费者抽奖获得 8 折优惠的概率为 ，且且每位消费者抽奖结果相互独立，设该时间段内获得 8折优惠的消费者的人数为 X，则 ，则该时间段内恰好有 2 位消费者获得 8 折优惠的概率为.――――――――――――7 分（2）解：由（1）知：随机变量 ，――――――8 分所以 X的数学期望 ，X的方差 .―――――――――12 分记售货员获得奖金金额为 Y，则 Y=3X,, ――――――15 分试卷第 9页，共 12页18．（本小题 17 分）如图，在四棱锥 中，四边形 是边长为 2的正方形，平面 平面 ，(1)证明： 平面 ；(2)线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)因为四边形 是正方形，所以 ，因为平面 平面 ，且平面 平面 平面 ，所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，――――――――――――3分在 中， ，因为 ，所以 ，――――――――――――――5分又因为 ，且 平面 ，所以 平面 .―――――――――――――7分（2）如图，过点 作 ，因为 平面 平面 ，所以，所以 ，又，所以 两两垂直，如图，以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系 ，，，―――――――9分，设 ，因此 的坐标为 ，所以试卷第 10页，共 12页.――――――――――――――11 分因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，即 ，解得 （舍去），――――15 分因此存在 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .－――17分19．（本小题 17 分）已知函数 ．(1)当 时，讨论 的单调性；(2)设 ，若 ， 为 的两个极值点，求 的取值范围．【详解】（1）函数 的定义域 ，，令 得 ， .―――――――――――――2分当 时，令 得， 或 ；令 得， .所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.当 时， ，当且仅当 时取等号，此时 在 上单调递增.当 时，令 得， 或 ；令 得， .所以， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.―――――7分综上所述，当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减.――――8分试卷第 9页，共 12页（2） ，定义域为 ，，――――――――9分因为 和 是 的两个极值点，所以方程 有两个不同的正实根 和 ，即方程 有两个不同的正实根 和 ，则 ，解得 .―――――――――――11 分，，将 和 代入上式得，，―――――――――13 分令 ，则 ，由 得， ，即 ，所以 在 上单调递减，当 时， ，得 ，当 时， ，得 的范围为 ，即 的取值范围为 .―――――――――――17 分试卷第 10页，共 12页2025-2026学年下学期期末考高二数学试卷(考试时间：120分钟总分：150分)一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1.已知f(x)=hx,则f(3)=()A.3BC.e2D.1n32.对四组样本数据进行统计获得如下散点图，则对应样本相关系数最大的是()A.B.D.r24-202434-20244024图一：相关系数1图：用天系数图三：相关系数八图三：相关系数3.已知向量a=1,1,0),b=(0,2,1),则ab等于()A.2B.1C.-1D.04.已知事件A,B满足P(A)=02,P(B)=0.7,若A与B相互独立，则P(AB)=()A.0B.0.1C.0.14D.0.245.已知曲线y=x+alnx在点(1,1)处的切线为3x-2y-1=0,则a=()A.2B.1C.D.36.若函数/)=-血x在区间（分，2）上存在减区间，则实数a的范围是(）A.（-0,2B.-n21-n,2D.(-0,2)7.某知识题库中有三种难度的题目，数量分别为600,400,200.已知小明做对4BC型题目的橛率分别为，？，子，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（)A子B.C.2D.7试卷第1页，共4页8.如图，已知正方体ABCD-AB,CD中，F为线段BC的中点，E为线段AC上的动点，则下列四个结论正确的是(DA.存在点E,使EFII平面ABCDBB.存在点E,使EF⊥平面AB,CDC.三棱锥B,-ACE的体积随动点E变化而变化D.直线EF与AD所成的角不可能等于30二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分)9.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费x(单位：万元)与销售利润y(单位：万元)之间的关系，由收集的数据，计算得出线性回归方程为y=2+x.已知投入的广告费x=5,销售利润y=9,则()A.线性回归方程过点(5,9)】B.b=1.4C.x与y呈正相关D.当投入的广告费为6万元时，销售利润一定为10.4万元10.已知x~N(u,o2),则（)A.E(X)=LB.D(X)=C.P(X≤+)+P(X≤-G)=1D.P(X≥4+2σ)>P(X≤u-σ)11.如图，在直三棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,AB=BC=A4=1,F是棱CC的中点，P在底面AB,C,内（包括边界），则下列说法正确的是()AA.PA+P的最小值为V6+E6B.当AP⊥BF时，点P的轨迹长度为}C.存在唯一P,使PA⊥PFD.若PA1PR,则三棱锥P-ABF外接球的半径为子试卷第2页，共4页 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