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华东师大版数学8年级上册精做课件授课教师：.班级：8年级（）班.时间：.11.5.1提公因式法第11章整式的乘除华东师大版八年级上册11.5.1提公因式法练习题本次练习题紧扣华东师大版八年级上册11.5.1提公因式法核心知识点，是因式分解的第一种基础方法，与之前的整式乘法互为逆运算，是后续公式法因式分解、分式运算、解方程的重要铺垫。本节重点考查因式分解的定义判断、公因式的寻找方法、单项式公因式、多项式公因式的提取、符号变形及化简应用，针对性解决找不全公因式、漏提常数项、符号变换错误、分解不彻底等高频易错问题。习题分层递进、题型贴合课本考点，适配课后巩固与随堂检测，所有题目均配有详细解析，帮助学生熟练掌握提公因式法的规范解题步骤。一、基础填空题（每空3分，共30分）1.把一个多项式化为几个整式的________的形式，叫做因式分解；提公因式法的关键是找出多项式各项的________。2.多项式$$3x^2+6x$$的公因式是________；多项式$$4a^2b-6ab^2$$的公因式是________。3.分解因式：$$5x^2-10x=$$________。4.分解因式：$$3a^2b-9ab^2+12ab=$$________。5. $$-2x^2+4x=$$$$-2x($$________$$)$$。6.分解因式：$$(x-y)^2+(x-y)=$$________。二、基础选择题（每题4分，共20分）1.下列变形属于因式分解的是（）A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+2x=x^2(1+\dfrac{2}{x})$$ D. $$x^2+2x=x(x+2)+0$$2.多项式$$6m^3n-9m^2n^2$$的公因式是（）A. $$3mn$$ B. $$3m^2n$$ C. $$6m^2n$$ D. $$9m^2n^2$$3.分解因式$$4x^2-8xy$$的结果正确的是（）A. $$4x(x-2y)$$ B.$$4x^2(1-2xy)$$ C. $$2x(2x-4y)$$ D. $$4xy(x-2)$$4.多项式$$a(x-y)-b(x-y)$$分解因式的结果是（）A. $$(a-b)(x-y)$$ B. $$(a+b)(x-y)$$ C. $$(x-y)(a-b)$$ D. $$a(x-y-b)$$5.分解因式$$-3a^2+6a$$的结果是（）A. $$-3a(a-2)$$ B. $$-3a(a+2)$$ C. $$3a(a-2)$$ D. $$-3(a^2-2a)$$三、基础解答题（每题10分，共30分）1.用提公因式法分解下列因式：（1）$$8x^3-12x^2$$（2）$$5a^2b-15ab^2+20abc$$2.分解因式（含负号公因式）：$$-6x^3+9x^2-3x$$3.整体提公因式分解：$$2(m-n)^2-4(n-m)$$四、拓展应用题（20分）利用因式分解简便计算：$$2025\times45-2025\times35$$。参考答案与详细解析一、填空题1.积；公因式解析：因式分解是整式乘法的逆运算，提公因式法的核心是提取各项公共因式。2. $$3x$$；$$2ab$$解析：公因式取各项系数最大公因数、相同字母最低次幂。3. $$5x(x-2)$$解析：提取公因式$$5x$$，剩余部分逐项化简。4. $$3ab(a-3b+4)$$解析：完整提取各项公因式$$3ab$$，保证每一项均化简彻底。5. $$x-2$$解析：提取负公因式，括号内各项全部变号。6. $$(x-y)(x-y+1)$$解析：把$$x-y$$看作整体，提取整体公因式。二、选择题1. A解析：因式分解是和差化积，B是整式乘法，C出现分式不是整式，D未化成积的形式。2. B解析：系数最大公因数为3，相同字母最低次幂为$$m^2n$$，公因式为$$3m^2n$$。3. A解析：提取最大公因式$$4x$$，分解彻底，其余选项分解不彻底或因式错误。4. A解析：整体提取公因式$$x-y$$，合并剩余因式即可。5. A解析：首项为负先提负号，括号内各项变号，结果为$$-3a(a-2)$$。三、解答题1.解析：（1）原式$$=4x^2(2x-3)$$；（2）原式$$=5ab(a-3b+4c)$$，提取最大公因式，分解彻底。2.解析：原式$$=-3x(2x^2-3x+1)$$，首项为负提取负公因式，括号内全部变号。3.解析：原式$$=2(m-n)^2+4(m-n)=2(m-n)(m-n+2)$$，先统一整体形式，再提取公因式分解。四、拓展应用题解：原式$$=2025\times(45-35)=2025\times10=20250$$。答：计算结果为20250。利用提公因式法可快速简化大数运算，避免复杂计算。核心易错总结：本节高频易错点为公因式找不完整、分解不彻底、提负号不变号、漏提常数项1；牢记公因式取值规则：系数取最大公因数，字母取最低次幂；首项为负必提负号，括号内各项变号；整体因式要统一形式，分解结果必须为整式积的形式，且分解彻底不能再提取因式。运用前面所学的知识填空：
(1) m(a + b + c) = ；
(2) (a + b)(a - b) = ；
(3) (a + b)2 = .
ma + mb + mc
a2 - b
a2 + 2ab + b2
把下列多项式写成乘积的形式，观察结果有什么特点.
都是多项式化为几个整式的积的形式
(1) ma + mb + mc = ( )( )
(2) a2 - b2 = ( )( )
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2
m a + b + c
a + b a - b
a + b
因式分解
1
定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式.
知识要点
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
x2 - 1 = (x + 1)(x - 1)
等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有
；不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am + bm + c = m(a + b) + c
24x2y = 3x ·8xy
x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1)
(2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1
2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
pa + pb + pc
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.
相同因式 p
这个多项式有什么特点？
因式分解之基本方法 — 提公因式法
2
找 3 x 2 – 6 xy 的公因式.
系数：
最大公约数
3
字母：
相同的字母
x
所以公因式是 3x
指数：
相同字母的最低次数
1
例1 如何确定一个多项式的公因式？
典例精析
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
( a + b + c )
pa+ pb +pc
p
=
知识要点
正确找出多项式各项公因式的关键是：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
找一找：下列各多项式的公因式是什么？
3
a
a2
3mn
-2xy
(1) 3x + 6y
(2) ab - 2ac
(3) a2 - a3
(4) 9m2n - 6mn
(5) - 6x2y - 8xy2
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式：
分析：提公因式法的步骤 (分两步)：
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.
(2) 2a(b + c) - 3(b + c).
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.
典例精析
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
= 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc
= 4ab2(2a2 + 3bc).
如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？
另一个因式将是 2a2b + 3b2c，
它还有公因式是 b.
（2）2a(b + c) - 3(b + c)
= (b + c)(2a - 3).
如何检查因式分解是否正确？
做整式乘法运算去检验.
例3 把下列多项式分解因式：
(1) －5a + 25a； (2) 3a －9ab；
(2) 3a －9ab
= 3a(а－3b).
解：(1) －5a + 25a
= －5a(a－5).
典例精析
1.因式分解：
(1) 3a3c2＋12ab3c；
(2) (a＋b)(a－b)－a－b.
(2)原式＝(a＋b)(a－b－1).
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
练一练
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
错误
公因式没有提尽，还可以提出公因式 2
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
小明的解法有误吗？
小明
当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是 1.
错误
注意：某项提出莫漏 1.
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x
= x(3x - 6y + 1)
小亮的解法有误吗？
小亮
提出负号时括号里的项没变号
错误
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
小华的解法有误吗？
小华
1．[知识初练]下列各式从左到右的变形中：①x2－16＝(x＋4)(x－4)；②(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；③a2b－ab2＝ab(a－b)，________的等号右边是整式的积的形式，左边是多项式，所以属于因式分解的有________．(均填序号)
1星题 夯实四基
①③
①③
2. 【思维生长】下列各式从左到右的变形中是因式分解的是(　　)
A．(a＋1)(a－2)＝a2－a－2
B．3a2－5a－2＝a(3a－5)－2
C
向“逆向思维”生长：若x－5和x＋3都是多项式x2－kx－15的因式，则k＝________．
2
3．[安徽合肥期中]多项式a2＋3ab的公因式是(　　)
A．a B．a2 C．3a D．ab
A
4．下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是(　　)
A．6x2－3y B．x2y－xy2
C．x2＋2xy＋y2 D．16x3y2z＋8x2y3
C
5．多项式x2＋x6提取公因式后，剩下的因式是(　　)
A．x4 B．1＋x3
C．1＋x4 D．x3－1
C
6．[长沙中考]分解因式：mx－2my＝______________.
m(x－2y)
7．填空：
(1)－7a2＋21a＝－7a________；
(2)6x3－18x2＝________(x－3)．
(a－3)
6x2
8. 【新趋势·开放性问题】请写出一个能用提公因式法进行因式分解的多项式：__________________.
xy＋x(答案不唯一)
9．用提公因式法分解因式：
(1)6m2n－15mn2＋30m2n2；
解：原式＝3mn(2m－5n＋10mn)．
(2)－4x3＋16x2－26x；
解：原式＝－2x(2x2－8x＋13)．
(3)2x(a－b)＋4y(b－a)；
(4)(2m－3n)2－2m＋3n.
解：原式＝2(a－b)(x－2y)．
解：原式＝(2m－3n)2－(2m－3n)＝(2m－3n)(2m－3n－1)．
10．计算：(－2)11＋(－2)10的值是________．
－210
2星题 提升四能
11. 【思维生长】若mn＝2，m－n＝1，则代数式m2n－mn2的值等于________．
向“数形结合思想”生长：已知长和宽分别为a，b的长方形，其面积等于15，周长等于16，则2a2b＋2ab2＝________．
向“代数推理”生长：已知a，b，c为三角形ABC的三边， 且满足ab－ac＝b2－bc，则三角形ABC是_______三角形．
2
240
等腰
12．若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于______________．
3a(x－y)2
13．利用提公因式法进行简便计算：
解：原式＝3.2×302.4＋4.7×302.4＋2.1×302.4
＝302.4×(3.2＋4.7＋2.1)＝302.4×10＝3 024.
(2)3.2×302.4＋4.7×302.4＋21×30.24.
14. 【新趋势·代数推理】已知a是正整数，请说明a2＋a一定是2的倍数．
解：a2＋a＝a(a＋1)．
因为a为正整数，所以a与a＋1是两个连续的正整数．
因为连续的两个正整数中必有一个为偶数，
所以a(a＋1)为偶数，所以a2＋a一定是2的倍数．
15.(运算能力)阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
　1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)2(1＋x)
＝(1＋x)3.
(1)上述因式分解的方法是____________；
3星题 发展素养
提公因式法
(2)请用上述方法分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3；
解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋x(1＋x)3
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2]
＝(1＋x)2[1＋x＋x(1＋x)]
＝(1＋x)3(1＋x)＝(1＋x)4.
(3)请用上述方法分解因式：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n(n为正整数)．
解：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n
＝(1＋x)[1＋x＋x(1＋x)＋…＋x(1＋x)n－1]
＝(1＋x)2[1＋x＋…＋x(1＋x)n－2]
＝…＝(1＋x)n＋1.
【元认知·反思】在第(3)问中，请统计上述方法共运用了________次．
n
因式
分解
定义
am + bm + mc = m(a + b + c)
提公因式法
确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号

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